1、函数的起源与发展今天的数学大厦已有数千年历史，这是世界数代数学家不断建设完善的结果，伴随着数学思想的发展，函数概念由模糊逐渐严密，对于数学和科学来说，函数是一个最重要，最有意义的数学概念，是人类心智发展的重要标志。 引言众所周知，函数概念是在集合论的基础上产生的。设 A，B 是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 和它对应，那么就称 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 或。这个概念的产生也是有一段故事的，而故事的背后是时间的推动，是艰辛的岁月。十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展
2、航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度。要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题， 这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。 这期间， 随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于 1665 年开始研究微积分之后，一直用“流量”（ flu
3、ent）一词来表示变量间的关系。1673 年，莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。（定义 1）这可以说是函数的第一个“定义”。例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示 x , x2, x3,。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。以“变量”为基础的函数概念在 1718 年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的
4、一个解析表达式。并在此给出了函数的记号 x。这一定义使得函数第一次有了解析意义。十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔 （DAlembert）和欧拉（ Euler）在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，在 1748 年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。在此之前的 1734 年，欧拉也给出了一种函数的符号 f(x),这个符号我们一直沿用至今。实际上，这两种定义就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解析式来定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数。177
5、5 年，欧拉在微分学原理一书的前言中给出了更广泛的定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖与另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程 ,但未提到两个变量之间的对应关系，因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显，只从运动中变量“变化”观点来理解函数，对函数概念的了解就
6、有一定的局限性。如对常值函数 ,不好解释。十九世纪初，拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量，前者就是后者的函数。 1834 年 ,俄国数学家罗巴契夫斯基（）进一步提出函数的定义： x 的函数是这样的一个数，它对于每一个 x 都有确定的值，并且随着 x 一起变化，函数值可以由解析式给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。（定义 5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是 x 值，另一栏是与它相对应的 y 值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的
7、本质与核心。十九世纪法国数学家柯西（ Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。直到 1930 年，现代的函数概念才“出炉” ， 若对集合 M 的任意元素 x，总有集合 N 确定的元素 y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数。函数的应用领域是非常广泛的，几乎每个领域都有它的身影。下面来看一道千古谜题。题目要求相当简单：只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。（尺规作图）要作正十七边形，还只能用尺规，谈何容易。然而一个数学天
8、才只用一个晚上就解决了，他的名字就是高斯。作图方法：步骤一： 给一圆 O，作两垂直的半径 OA、OB， 作 C 点使 OC1/4OB， 作 D点使OCD1/4OCA， 作 AO 延长线上 E 点使得DCE45 度。 步骤二： 作 AE 中点 M，并以 M 为圆心作一圆过 A 点，此圆交 OB 于 F 点，再以D 为圆心，作一圆过 F 点，此圆交直线 OA 于 G4 和 G6 两点。 步骤三： 过 G4 作 OA 垂直线交圆 O 于 P4， 过 G6 作 OA 垂直线交圆 O 于 P6， 则以圆 O 为基准圆，A 为正十七边形之第一顶点 P4 为第四顶点，P6 为第六顶点。 连接 P4P6，以
9、1/2 弧 P4P6 为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。证明方法：设正 17 边形中心角为 a,则 17a=360,即 16a=360-a 故 sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a因 sina 不等于 0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由 2cosacos2a=cosa+cos3a 等,有 2(cosa+cos2a+cos8a)=-1 注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos
10、2a+cos4a+cos8a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又 xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+cosa+cos15a) 经计算知 xy=-1 又有 x=(-1+根号 17)/4,y=(-1-根号 17)/4 其次再设x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有 x1+x2=(-1+根号 17)/4 y1+y2=(-1-根号 17)/4 最后,由 cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求 cosa 之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正 17 边形可用尺规作出三角函数的神奇之处体现于此。同学们，数学如此奇妙，无限轮回，轮回转生，山重水复疑无路时，灵光一闪，柳暗花明又一村。同学们，不要抱怨数学题目的难度，方法总是人想出来的，让我们享受数学，享受函数的神奇魅力。
