1、1 此文件可在网址 http:/ 下载 2 第五章 贝塞尔函数 5.1 贝塞尔方程的引出 3 设有半径为 R的薄圆盘 , 侧面绝缘 , 边界温度保持为零摄氏度 , 初始温度已知 , 求圆盘内的瞬时温度分布规律 . 这归结为求解下述定解问题 : 2 2 2222 2 2 2222 2 20, , 0 , ( 5.1 )| ( , ) , , ( 5.2)| 0. ( 5.3 )tx y Ru uua x y R tt xyu x y x y Ru 用分离变量法解这个问题 , 先令 u(x,y,t)=V(x,y)T(t), 代入 (5.1)得 4 或 22222VVV T a Txy 22222(
2、 0 )VVT xya T V 得 22222( ) ( ) 0 ( 5.4)0 ( 5.5 )T t a T tVVVxy 从 (5.4)得 2( ) e atT t A (5.5)称为 亥姆霍兹 (Helmholz)方程 . 5 为了求出这个方程满足条件 2 2 2| 0 ( 5 . 6 )x y RV 的解 , 将 (5.5)与 (5.6)写成极坐标形式 : 222 2 2110 , , 0 2 , ( 5.7 )| 0 , 0 2 . ( 5.8 )RV V VVRV 再令 V(,)=P()Q() 代入 (5.7)并分离变量可得 22( ) ( ) 0 , ( 5 . 9 )( ) (
3、 ) ( ) ( ) 0 . ( 5 . 1 0 )P P PQ Q 6 由于 u(x,y,t)是单值函数 , 所以 V(x,y)也必是单值的 , 因此 Q()应该是以 2为周期的周期函数 , 这就决定了 只能等于如下的数 : 0,12,22, n2, 对应于 n=n2, 有 Q0()=a0/2 (为常数 ), Qn()=ancos n + bnsin n (n=1,2,). 以 n=n2代入 (5.10)得 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 5 . 1 1 )P P n P 这是 n阶贝塞尔方程 . 若再作代换 r 并记 () 2rF r P 7 则得 2 2 2( ) (
4、) ( ) ( ) 0r F r r F r r n F r 这是 n阶贝塞尔方程最常见的形式 . 由条件 (5.8)及温度 u是有限的 , 分别可得 ( ) 0 ,( 5.1 2)| ( 0) | .PRP 因此 , 原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程 (5.11)在条件 (5.12)下的特征值与特征函数 . 8 5.2 贝塞尔方程求解 9 用 x,y来表示自变量和函数值 , 则 n阶贝塞尔方程为 22 2 22dd ( ) 0 , ( 5. 13 )ddyyx x x n yxx 其中 n为任意实数或复数 . 在本书中 n只限于实数 , 且由于方程的系数中出现 n2项 , 所以不妨假
5、定 n0. 设方程有一个级数解 , 其形式为 20 1 200(), 0 , ( 5 .1 4)ckkckkky x a a x a x a xa x a 10 002 2 2 201002020, 0 ,( ) ( )( ) , ( )( ) ( 1 )( ) ( 1 )ckkkckkkc k c kkkkkckkkckkky a x ax n y x n a xy c k a x x y c k a xy c k c k a xx y c k c k a x 11 2 2 22 2 2 20020220( ) 0( ) ( )()( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) 0c
6、kkkckkkckkkckkkx y x y x n yx n y x n a xx y c k a xx y c k c k a xc k c k c k x n a x 12 化简后写成 220 ( ) ( 1 ) ( ) ( ) 0ckkkc k c k c k x n a x 2 2 2 2 1012222( ) ( 1 ) ( ) 0 ,ccckkkkc n a x c n a xc k n a a x 要上式成为恒等式 , 必须各个 x幂的系数全为零 , 从而得下列各式 : 1 a0(c2n2)=0; 2 a1(c+1)2n2=0; 3 (c+k)2n2ak+ak2=0 (k=2,
7、3, ) 13 1 a0(c2n2)=0; 2 a1(c+1)2n2=0; 3 (c+k)2n2ak+ak2=0 (k=2,3, ) 由 1 得 c=n, 代入 2 得 a1=0. 现暂取 c=n, 代入3 得 4 2 .( 2 )kkaak n k因为 a1=0, 由 4 知 a1=a3=a5=a7= =0, 而a2,a4,a6, 都可以用 a0表示 , 即 14 4 2 .( 2 )kkaak n k因为 a1=0, 由 4 知 a1=a3=a5=a7= =0, 而a2,a4,a6, 都可以用 a0表示 , 即 0024060202,2( 2 2) 2 4( 2 2)( 2 4),2 4
8、6( 2 2)( 2 4)( 2 6)( 1 )2 4 6 2 ( 2 2)( 2 4) ( 2 2 )( 1 )2 ! ( 1 ) ( 2) ( )mmmmaaaan n naannnaam n n n mam n n n m 15 由此知 (5.14)的一般项为 202( 1 ) ,2 ! ( 1 ) ( 2 ) ( )nmmmaxm n n n m a0是一个任意常数 , 让 a0取一个确定的值 , 就得 (5.13)的一个特解 . 把 a0取作 01 ,2 ( 1 )nan这样选取 a0可使一般项系数中 2的次数与 x的次数相同 , 并可以运用下列恒等式 : (n+m)(n+m1)(n
9、+2)(n+1)(n+1)= (n+m+1) 16 这样 (5.14)中一般项的系数变成 2 21( 1 ) , ( 5.15 )2 ! ( 1 )mm nma m n m 代入 (5.14)得 (5.13)的一个特解 21 20( 1 ) ( 0 ) .2 ! ( 1 )nmmnmnxynm n m 用级数的比率判别法 (或称达朗贝尔判别法 )可以判定这个级数在整个数轴上收敛 . 这个无穷级数所确定的函数 , 称为 n阶第一类贝塞尔函数 , 17 n阶第一类贝塞尔函数 : 220( ) ( 1 ) ( 0) .2 ! ( 1 )( 5. 16 )nmmn nmnxJ x nm n m 至此
10、, 求出了贝塞尔方程的一个特解 Jn(x). 当 n为正整数或零时 , (n+m+1)=(n+m)!, 故有 220( ) ( 1 ) ( 0 , 1 , 2 , ) .2 ! ( ) !( 5. 17 )nmmn nmmxJ x nm n m 18 取 cn时 , 用同样方法可得 (5.13)的另一特解 220( ) ( 1 )2 ! ( 1 )( 1 , 2 , ) ( 5 .1 8 )nmmn nmmxJxm n mn 比较 (5.16)式与 (5.18)式可见 , 只要在 (5.16)的右端把 n换成 n, 即可得到 (5.18)式 . 因此不论 n是正数还是负数 , 总可以用 (5.
11、16)式统一地表达第一类贝塞尔函数 . 19 当 n不为整数时 , 这两个特解 Jn(x)与 Jn(x)是线性无关的 , 由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道 , (5.13)的通解为 y=AJn(x)+BJn(x), (5.19) 其中 A,B为两个任意常数 . 当然 , 在 n不为整数的情况 , 方程 (5.13)的通解除了可以写成 (5.19)式以外还可写成其他的形式 , 只要能够找到该方程的另一个与 Jn(x)线性有关的特解 , 它与 Jn(x)就可构成 (5.13)的通解 , 这样的特解是容易找到的 . 例如 , 在 (5.19)中取A=cot n, Bcsc n, 则得到 (5
12、.13)的一个特解 20 显然 , Yn(x)与 Jn(x)是线性无关的 , 因此 , (5.13)的通解可写成 y=AJn(x)+BYn(x). (5.21) 由 (5.20)式所确定的函数 Yn(x)称为 第二类贝塞尔函数 , 或称 牛曼函数 . ( ) c o t ( ) c sc ( )( ) c o s ( )sinn n nnnY x n J x n J xJ x n J xn(n整数 ). (5.20) 21 5.3 当 n为整数时贝塞尔方程的通解 22 当 n 不为整数时 , 贝塞尔方程 (5.13) 的通解由(5.19) 或 (5.21) 式确定 , 当 n 为整数时 , J
13、n( x ) 与J n( x ) 是线性相关的 . 事实上 , 不妨设 n 为正整数 N , 则在 (5.18) 中 , 1( 1 )Nm 当m =0,1,2, ,( N 1) 时均为零 , 这时级数从 m = N起才开始出现非零项 . 于是 (5.18) 可以写成 23 这时 JN(x)与 JN(x)已不能构成贝塞尔方程的通解了 . 为了求出贝塞尔函数的通解 , 还要求出一个与 JN(x)线性无关的特解 .定义第二类贝塞尔函数为 222424( ) ( 1 )2 ! ( 1 )( 1 )2 ! 2 ( 1 ) ! 2 ( 2) ! 2 !( 1 ) ( )NmmN NmmNN N NNN N
14、 NNNxJxm N mx x xN N NJx 24 求上式的极限可得 ( ) c o s ( )( ) l imsinn nJ x J xYx (n为整数 ) (5.22) 2100 200( 1 )2 2 12( ) ( ) ln( ! ) 12mmmmkxxY x J x cmk 2102110002 1 ( 1 ) !( ) ( ) ln!22( 1 )111 2! ( ) ! 11( 1 , 2 , 3 , ) , ( 5.23 )nmnnnmnmmn m mkkmnmxxY x J x cmxm n m kkn 25 根据这个函数的定义 , 它确是贝塞尔方程的一个特解 , 而且与
15、 Jn(x)是线性无关的 (因为当 x=0时 , Jn(x)为有限值 , 而 Yn(x)为无穷大 ). 综上所述 , 不论 n是否为整数 , 贝塞尔方程 (5.13)的通解都可表示为 y=AJn(x)+BYn(x). 其中 A,B为任意常数 , n为任意实数 . 其中1 1 1l i m 1 l n23nc nn =0.5772 , 称为 欧拉常数 . 26 5.4 贝塞尔函数的递推公式 27 考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系 . 在 (5.17)中令 n=0及 n=1得 : 2 4 60 2 4 2 6 32223 5 71 3 5 72121( ) 12 2 ( 2 ! ) 2 ( 3
16、! )( 1 ) ,2 ( ! )()2 2 2 ! 2 2 ! 3 ! 2 3 ! 4 !( 1 )2 ! ( 1 ) !kkkkkkx x xJxxkx x x xJxxkk 28 取出第一个级数的第 k+2项求导数 , 得 2 2 2 112 2 2 2 2 22121d ( 2 2)( 1 ) ( 1 )d 2 ( 1 ) ! 2 ( 1 ) ! ( 1 )2 ! ( 1 ) !kkkkkkkkkx k xx k kxkk 这个式子正好是 J1(x)中含 x2k+1这一项的负值 , 且知 J0(x)的第一项导数为零 , 故得关系式 01d ( ) ( ) . ( 5 .2 4)dJ x
17、 J xx将 J1(x)乘以 x并求导数 , 又得 29 即 241322213 2 12 2 2222 2 2dd ( ) dd 2 2 2 !( 1 )2 ! ( 1 ) !( 1 )2 2 ( ! ),1 ( 1 )2 2 ( ! )kkkkkkkkkxxx J xxxxkkxxxkxxxk 10d ( ) ( ) ( 5 .2 5 )dx J x x J xx30 以上结果可以推广 , 现将 Jn(x)乘以 xn求导数 , 得 2220211210dd ( ) ( 1 )d d 2 ! ( 1 )( 1 ) ( )2 ! ( )nmnmn nmmnmn m nnnmmxx J xx x m n mxx x J xm n m 即 1d ( ) ( ) . ( 5 .2 6)dnnnnx J x x J xx 同理可得 1d ( ) ( ) . ( 5 .2 7 )dnnnnx J x x J xx
