1、1第一章 函数的极限与函数的连续性一、学习目的与要求1、了解函数极限的 定义，会用它证明一些简单函数的极限。2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。5、了解在闭区间上连续函数的性质。二、学习重点函数极限的概念及计算三、内容提要1、数列极限与函数极限（I）概念综述类型 定义式 说明axf)(lim0 时当 ),(,00xfx)(li0 时当 ),(,0趋于定值aafxli0 0时当 ),(,0xU|)(|axf为有0,x限值， ),(0U为 x与
2、),(0之并nlim时当 Nn,axf)(li 时当 Xx,0fx)(li 时当 ,趋于无穷大 axm时当 Xx|,0|)(|axf将“ ”换作“+ ”或“- ”时，则得到正无穷大，负无穷大的定义。（II）极限的主要性质设 表示数列变量 或函数变量，在同一个极限过程中 该极限过程可vu,nx ,lim,liBvAu以是数列极限或函数极限中的任一种,A 、B、 、 是常数，则极限有以下性质。a运算性质 线性规则： vuvaulilim)li(乘积规则：2商规则： )0(lim/lili vuv比较性质 （1）若 ，则 u（2）若 ，则在某个范围 X 上有limli vu有界性质 （1）若 收敛，
3、则 有界nxnx（2）若 ，则 在某个范围 X 上有界。A)(li)(u存在性质 （1）单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。（2）夹逼准则：若 ，且 、 趋于 A，则 亦趋于 A（三v个变量 、 、 极限过程相同） 。uv注 的形式与极限过程相关，当 、 是数列时， ， 是某个自然数；Xun|N当 、 是函数变量，极限过程是 时， ，极限过程是uv0x),(0xX，其余类推。),(,00xUx时（III）基本极限公式，enn )1(lim,1lim)0(li,0)( an不存在nn )1(li,21li2 ,lim,)1(lim0 exexxx ,1li,snli 0xx sn1)(0不存
4、在， 不存在。xe10limx|lim0（IV ）极限之间的联系（1） )(li)(li)(li 000 fAfAf xxx （2） .（3） 对任意趋于 的数列 ，有fx)(lim0 0xnAxfn)(lim32无穷小量与无穷大量（I）概念无穷小量 在指定极限过程中以零为极限的变量无穷大量 在指定极限过程中趋于无穷大的变量表示 是较 高阶的无穷小量，即)(vouuv0/limvu表示 与 是同阶的无穷小量，即 是非零常数。Oa,表示 与 是等价无穷小量，即 1/li无穷小的主部 设 为常数， 若 ，则说 ra, ,0ra )0()(xoxrr )(xuar是的主部， 称作基本无穷小， 称作
5、关于 的阶数。xu（II）运算性质设 、 是无穷小量， 为有界变量， 为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算，uvB有（1） 均是无穷小量。1,（2） 均是无穷大量。)0(,u（III）等价无穷小替换原理设 ，则 。vuvvulimli,lilim（IV）常用等价替换公式在寻求无穷小量 的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果（其中 、 可以是函uv数变量如 ，也可以是数列，如 等)(),1(lnsi xex nxnx1l,1等） ；积与商 若 ，则uvvuv/,和 ,1,)(lo若若常用公式 设 ，则0u ueu1)ln(arctrsintasin ,21co,1)(是 常 数 361sin
6、),0(lnuaau3函数的连续性（I）概念在一点 连续 函数 在 的某个领域)(xf0)(xf0 ,),(0上 有 定 义x4。)(lim00xfx且在一点 左（右）连续 函数 在 的某个左（右）邻域)(f )(xf0上有定义，且),00 ).(lim)(li 0000 xffxx 在 连续 函数 内的每个点连续。)(xf,ba),(baxf在在 上连续 函数 在 连续，且在左端点 右连续，右端点 左连续。 , ab间断点 当 不成立时，称 于 处间断，间断点 可分为以)(lim00xffx)(xf00x下几种类型： 名称 特 征可去间断点 不等)()(000xffxf但 与第一类跳跃间断点
7、与)(0f均存在x第二类 与 至少有一个不存在f)(0f（II）主要性质（1）若 均在点 连续，则 也)(,xgf0),(xgf),(xf )0(),/xgf在点 连续；若 有定义， 连续， 在 连续，则0)(tf0tt在 0t在 连续。)(tf0t（2）局部保号性 若 在 连续, 的某邻域)(xf000)(xaf则 在axfU)(,(0上（3）若 的反函数为 ，且 在 连续，则 连)(fy1y 01yf在续。（4）基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。（III）闭区间上连续函数的性质设函数 在闭区间 上连续，则有)(xf,ba（1） 在 上有界并取得最大值与最小值（最值定
8、理） 。,（2）若 则存在 （零点存在定理） 。,0)(bfa0)(,(fba使（3）若实数 在 之间，则存在 （介值定值） 。A),f Af)(,使5（4） 上一致连续，即任给,)(baxf在 |,0, yxbayx满 足当存 在时便有 。|)(|yf四、思考题1、在函数极限 的定义中，回答下列问题:Axflim0（1）为什么 要任意给定？（2）对于给定的 ，对应的 是否唯一？若不唯一，是否要找其中最小的？（3）定义中两个不等式 00，存在 =2，当 00 时， ，它在 x=2 的任何邻域内均有异于 x=2 而属于函数定义4sin2x域的点，所以 x=2 是函数 的间断点。又由 不存在，所以 x=2 是函数)(f 4sinlm2x的第二类间断点。)(f10当 x0，所以 )(f)(ff(0)f(3)0，由闭区间上连续函数的零点定理知, 在（0,3 ）内至少存在一点 ，使 f( )=0，即方程 x=sinx+2 至少有一个不超过 3 的正根。
