1、2.3 函数模型,例1.某工厂生产A，B两种产品，分别需要原材料每件2千克，3千克。消耗能源每件1百元，6百元。劳动力每件需要4个人工，2个人工，获利每件5千元，6千元。库存原材料有1750千克，能源消耗总额不超过2405百元，全厂工人2500人。试问怎样安排生产任务，可获得最大利润？并求出最大利润？,分析：这是一道线性规划的建模题，可用图象解法或几何解法。,解：设安排生产A种产品,件，B种产品,件，获利为S千克，,根据题意得,显然满足以上条件的点,在,这五条直线组成的凸五边形内,化为,，,见图2-1阴影部分，而,其几何意义是一族斜率为-5/6的平行直线。过阴影区域的直线,轴上有最大的截距。,
2、与,的交点时S取得最大值。,何时在,显然过直线,由,解得,此时，,即当生产,种产品500件，,种产品250件时，可获得最大利润，,回顾：几何法求最值问题就是将约束条件转化为约束闭区域，再认清目标函数的几何意义，根据实际情况求其最值。,最大利润为4000千元。,例2,、,两地分别生产同一规格产品12千吨，8千吨，而,、,、,三地分别需要8千吨，6千吨，6千吨，每千吨运费如下表。,怎样确定调运方案，可使运费最少？,表2-1 单位产品运费表,分析：这是一道求运费最小值的优化问题，仍是线性规划问题，用几何法解之。 设从,运到,为,千吨，从A运到D为,千吨，根据题意如下表：,表2-2 单位产品运费函数表
3、,约束条件为：,图2-2线性示意图,目标函数,整理得,作出,四条直线围成凸五边形，见图2-2阴影部分，目标函数化为,其几何解释为与约束闭区域相交的斜率为3的一族平行线中，取在y轴有最小截距者，另外由常识知，一定在凸五边形的,顶点处取得最,值，由此列出表2-3。显然在（8，0）点取得最小值f为76.其实际意 义是从A运到F4千吨，从B运到E6千吨，从B运到F2千吨，总运费 最省，运费为76万元。,表2-3 运费示意图,例3 某商场在促销期间规定，商场内所有商品按标价80% 出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后获得相应的金额奖券。 表2-4 促销方法,根据上述促销方法，顾客在商场购物可获得双
4、重优惠。例如购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为,购买商品的优惠率为 优惠率=购买商品获得的优惠额/商品标价,试求： 购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠率是多少？ 对标价在500，800之内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于1/3的优惠率？,分析：这是商品的打折销售问题，为了准确计算必须对优惠率有清楚的了解。,解： 根据题意得消费金额为,的奖券为130元，因此，得优惠率为,元，这时获得, 设商品标价为,元，则,.消费金额为,，即,由已知得： 当,时,此时无解；,当,时，,得,，,因此当顾客购买标价在625，750元内的商品时可得到不小于1/3
5、的优惠率。,回顾：实际上本题中的优惠率为分段函数，即优惠率y与标价x的函数关系式为,因此要分段进行计算，同时对打折销售的商品要保持数学的头脑， 防止上当受骗。,例5 某新建商场设有百货部，服装部和家电部三个营销部，共有190名售货员，计划全商场日营业额为60万元。根据调查各部商品每一万元营业额所需售货员人数如表2-5，每一万元营业额获得利润如表2-6，商场计划将日营业额分配给三个营业部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为 S(万元)，且满足19S20, 又已知商场分配给经营部的日营业额为正整数万元。 问这个商场怎样分配日营业额给三个营业部？各部分别安排多少名售货员？,表2-
6、5各部每万元营业额所需人数,表2-6各部每万元营业额所得利润,解：设商场分配给百货，服装，家电部营业额分别,正整数）则，,解得,又,即,解得,即,或,例10 旅客在候车室等候检票，并且排队的旅客按一定的速度在增加，设检票的速度一定，若车站开放一个检票口，需要半小时方可将旅客全部检票进站，若同时开两个检票口，只需10分钟便可将旅客全部检票进站，现在有一辆增开列车，到站必须5分钟内将旅客全部检票进站，问此时车站至少应同时开几个检票口？,解：设开始检票时，等候检票为,人，排队每分钟增加,人，每个检票口每分钟检票,人，又设5分钟内检完票，,个检票口,则有,至少需要开设,由（1），（2）可得,代入（3）
7、,得,，且,即要使5分钟内检完票使旅客全部上车，至少需同时开放4个检票口。,例20 一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距,（千米）,（千米/时），船在静水中的最大速度为,(千米/时),已知船每小时的燃料费用（以元为单位）与船在水中,（千米/小时）的平方成正比，比例系数为,。,水速为常量,的速度,(1) 把全程燃料费用,（元）表示为船在静水中的速度,（千米/小时）,定义域； (2) 为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应为多少？,的函数，并指出这个函数的,分析：这是一个实际船速及费用问题，题目中涉及的数量关系较多， 应在认真审题的基础上弄清它们之间的关系而后建立“函数模型” 求解，特别
8、要注意：水速,，船在静水中的最大速度,为常量，,，船在实际前进时的速度,为变量。,而船在静水中的速度,解： （1）依题意知，船由甲地均匀行驶到乙地所用的时间为,，用此全程燃料费用为,（其中k为常数）,所求函数为,，,，,(2) 设船的实际前进速度,，则由,知，,由题意可知,都是正数，由均值不等式得,当且仅当,即,时取等号。, 若,，,即当,时，全程燃料费用,最少。, 若,，即,时，设,先证明当,时，,是减函数 。,设,， 则,，且,，,，,故,在区间,上是减函数，,当,时有,，当且仅当,时取等号，,即当,时全程燃料费用最少。,综上所述，为使全程燃料费用最少，当,时，船的实际前进,（千米/小时）；当,时，船的实际前进速度应为,（千米/小时）。,速度为,回顾：本题建模要求并不高，但对数学知识要求较高，在解答第（2）问的过程中，首先使用换元法，使函数解析式简化，这是解决有关分式函数问题时常用的方法，在求函数的最值时，必须考虑最值能否取到，即最值是否在定义域内，正因为如此，引起了本题的讨论，这种方法又是分类讨论思想的体现。,
