1、演绎、归纳和类比,推理,推理就是从一个或几个已知判断推出一个新判断的思维形式。 任何推理都是由两部分组成，一部分是推理所依据的已知判断，即前提；一部分是推出的新判断，即结论。 推理分为演绎推理、归纳推理和类比推理,演绎推理,所谓演绎推理，是由一般性知识的前提，推出个别性知识结论的推理，即从一般到个别的推理。 三段论：大前提、小前提和结论 公理一：凡肯定一类就能肯定一类中的一部分 公理二：凡否定一类就能否定一类中的一部分 演绎法,归纳推理,归纳推理是以个别知识的判断为前提，推出一般性知识的判断为结论的推理。 根据前提中是否考察了某类事物的全部对象，归纳推理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理两种。
2、,归纳推理的几个特点,1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上,归纳推理的一般步骤：,试验、观察,概括、推广,猜测一般性结论,结论 对于所有的自然数n,前五个均是质数,“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和”,-歌德巴赫猜想,结论:,目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理 .“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果
3、为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。,例1.已知数列an的第1项a1=1，且 （n=1 , 2 , ),试归纳出这个数列的通项公式.,分别把n=1,2,3,4代入 得:,归纳:,例2.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=2时,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,归纳:,例2:数
4、一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.,4,6,4,5,5,6,5,9,8,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,7,7,9,16,9,10,15,10,15,F+V-E=2,猜想,欧拉公式,类比推理,类比推理是两个对象在一系列属性上相同，而且已知其中一个对象还具有其他属性，由此推断另一个对象也具有同样属性的推理。 类比的推理是一种“合情推理”，不是证明，它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。但是，它是获得新思路，新发
5、现的一种观点、一种手段。 类比推理是探索真理的重要逻辑形式。,类比推理的逻辑形式 类比推理可用如下公式表示： A对象具有a、b、c、d属性， B对象具有a、b、c属性， 因此，B对象可能也有d的属性 类比推理的特征 (1) 类比推理的方向是从个别到个别，或从一般到一般。 (2) 类比推理的结论是或然的。 类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能., 检验猜想。,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,类比推理的一般步骤:, 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；, 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想；,即,1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯;,
6、2.人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.,3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星是绕太阳运行、绕轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.,科学家猜想;火星上也可能有生命存在.,若 ， 则,若 ， 则,利用平面向量的性质类比得空间向量的性质,例3.在平面几何里,有勾股定理: “设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理， “设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的
7、关系,可以得出的猜想是_.”,c2=a2+b2,类比平面内直角三角形的勾股定理, 得空间中四面体性质的猜想,3个面两两垂直的四面体,PDFPDEEDF90 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S,例4、试将平面上的圆与空间的球进行类比.,圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.,球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.,圆 弦 直径周长 面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,圆的概念和性质,球的概念和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长,以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(
8、x-x0)2+(y-y0)2 = r2,圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦,球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大,以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2,例5:利用圆的性质类比得出球的性质,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,例6.利用等差数列性质类比得等比数列性质,n+m=p+q时, am+an= ap+aq,n+m=p+q时, aman= apaq,任意实数a、b都有等差中项 ，为,当且仅当a、b同号时才有等
9、比中项 ，为,成等差数列,成等比数列,下标等差,项等差,下标等差,项等比,例4：试根据等式的性质猜想不等式的性质。,等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;等等。,猜想不等式的性质：,(1) aba+cb+c;,(2) ab acbc;,(3) aba2b2;等等。,思考：这样猜想出的结论是否一定正确呢？,又如,在平面内，若ac,bc,则a/b.类比到空间，你会得到 什么结论？并判断正误.,错误,（可能相交）,猜想:在空间中，若a g，b g, 则a/b。,归纳推理和类比推理的共同点,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、
10、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.,从具体问题出发,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,提出猜想,分割问题中的类比,1 问题：5个平面最多把空间分为几个部分？平面互相尽可能多地相交，才能分割最多。如果 5个平面全都平行，那末空间分成的是6部分，就较 少。但5个平面如何相交最多以致分割最多，一时也 想不清楚，先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。,2问题一般化：n个平面最多把空 间分为几个部分？记分为 个部分，再令 把问题特殊化。,3问题特殊化：从简单的情况做起，以 便“类比”4个平面的情况不易想清楚了。但想到要使 平面相交最多，才能把空间分
11、割最多。平面相 交最多，有两个含义，一是每个平面都与其它 的所有平面相交，二是每个平面都不过它以外 任意三个平面的交点（三个平面一般情况下相 交于一个点）。,由此我们想到了空间的四面体，这似 乎是四个平面相交最多（从而分割最多） 的情况，把四面体的四个面延展成四个平 面，是否就能把空间分为最多的部分呢？ 到底现在把空间分成了几个部分呢？暂难想 象。由此我们想到去类比“直线分割平面”的情 形。,4 类比3条直线分割平面的情形这也可以看成是把三角形的三条边均 延长为直线，看这3条直线把平面分为几 部分。数一数，是7部分。这对我们有什 么启示？,我们分析一下这7个部分：是有限的 部分，原三角形内部；
12、而几个无限部分， 或与原三角形有公共顶点（， ），或与原三角形有公共边（， ）。把它们加起来，于是1+3+3=7。所以 3条直线分割平面，最多分为7个部分。,5类比考虑四面体的四个面延展成4个平 面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体 内部）数为1；无限部分与原四面体或有一个 公共顶点（有4个部分），或有一条公共棱（有6个部 分），或有一个公共面（有4个部分），于是所分空 间总的部分数为 1+4+6+4 = 15 。以下仍要考虑这就是一开始提出的问题：5个平面最多把空间 分为几个部分？,这一问题在平面上的类似问题是什么？是 5条还是4条直线分割平面？又如何类比？想不 清楚了。对我们来说，不如
13、在“一般情形”下考 虑问题： 个平面分割空间和 条直线分割平面。条直线“处于一般位置”的要求也可以说是：任 何两条不平行；任何三条不共点。 个平面“处 于一般位置”的要求是：任两平面不平行；任 四平面不共点（或说任三平面不共线）这是四 平面不共点的必要条件，并非充分。,进而，我们类比直线上的问题： 个一般 位置的点分割直线的问题。这一问题比较简单： 个点最多把直线分为 个部分。这 对我们会有启发。如果我们把极端情况有零个分割元素 的情况也考虑在内，那么被“分割”成的部 分数是1。下图综合列出点分直线、直线分平面、平 面分空间的已取得的结果。,6 类比一般化（解释记号 ，然后看图）,于是，我们得
14、到了一系列待解决的问 题。孤立的问题有时难于理解，而解决系 列问题有时比解决弧立问题好入手。现 在，原问题 “ ” 已处在系列问题之 中，比之原来的情形，求解已有进展。,7（用类比的观点）猜想观察上表中已得到的结果，表中的数字间有什么 联系？有什么规律性？从最右一列，先以为有“2的方幂”的规律，但8后 边的 表明这个猜想不对。反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有 3 4； 7 8 7 15 ， 以及联想到 3+4=7，7+8=15。这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可 由它“头上”的数与“左肩”上的数相加而得到。,这是我们解决原问题的钥匙吗？我们 猜想它确是规律。那我们把表按此规律，
15、顺沿到 ，原问题的解就是 ？,类比不是证明,但这种类比不是证明，只是合理的猜 测；还需要分析这一猜测，以便证实这一 猜测，或者否定这一猜测。这才是用类 比、归纳的方法去研究问题的决定性步 骤。,8分析、推理我们的分析从 “ 时直线分平面”入手，我们 已经通过“顺沿上表”猜想：4条直线最多把平面 划分为11个部分。它是正确的吗？我们在3条直线分 平面 为7个部分的基础上，再添加一条直线（用红 色），这条直线与原来的每条直线都相交，但又不过 任意两条直线的交点。如右图。我们数一下，现在确 实把平面分成了11个部分。所以这猜测是对的，但它 为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认 识，也许还能从
16、中找到理解一般情形的线索。,3条直线分平面为7个部分；4条直线就分平面为 11个部分了，即增加了4部分；从3条直线添一条直 线，为什么分割平面正好多出4部分？分析一下：新 添的直线与原来3条直线每条都相交，而且交在与原 交点不同的点，这就交出了3个新交点，这3点把新添 的直线分为4段，每一段把它穿过的（由前3条直线分 成的）那个区域一分为二，因此“平面分割”增加了4 个部分，这就是“4”的来历，而且这个分析表明，这 个“4”也正是3点把直线分为4部分的“4”，也就是“11” 左肩上的“4”。11=4+7原来是这样产生的。这种分析 已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对 所发现的规律的信
17、心。,9再类比得一般情形的公式 及我们再类比分析 时平面分空间的情 况。这时我们不容易在平面的黑板上作立体图 了，只能借助于刚才四面体延展的那个图来想 像。但是我们可以从思维上、语言上类比刚才 的情形。,我们在3个平面分空间为8个部分的基础 上，再添加一个平面，这个平面与原来的3个 平面都相交，并且又不过原来3平面的交点， 从而不过原来任两平面的交线，这就交出了3 条新直线，这3条直线把新添加的平面分为7个 部分（就是上面“类比一般化”的大表格中的 “7”），每一部分把它穿过的（由前3个平面分 成的）区域一分为二，因此“空间分割”增加了 7个部分，而原有8个部分，这就是15=7+8的来 历。,
18、这里的 到 的过渡，并没有任何特殊 的地方，我们可以完全类似地分析由 向 过渡时 发生的情况，得到一般的表达式。与段落 “8” 类似地可以得到公式：与段落 “9” 类似地可以得到公式： 这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波 那契数列的递推公式有区别，但思想精神是相通的。,我们只再叙述一遍较为复杂的公式得到的过程。它实际上只要在上面的叙述中， 把“3个平面”换为“ 个平面”，把“8个部分” 换为“ 个部分”，把“3条新直线”换为 “ 条新直线”，把“7个部分”换为“ 个 部分”，把“15”换为“ ”就完成了。 简单说，是在“上上屏”的叙述中，做下边的 代换： ， ，。,个平面把空间最多分为
19、 个部分，求 ， 不厌其繁地详细说一遍，就是：我们在 个平面分空间为 个部分的基 础上，再添加一个平面，这个平面与原来的 个 平面都相交，并且又不过原来任3个平面的交点，从 而不过原来任两平面的交线，这就交出了 条新直 线，这 条直线把新添的平面分为 个部 分，每一部分把它穿过的（由前 个平面分成的） 区域一分为二，因此，“空间分割”增加了 个 部分，而原有 个部分，所以现在，空间共被分 割成的“部分数”是 。这就是推出这一公式的逻辑推理过程。,10 推出显公式 及上边得到的还只是递推公式、关系公式，我 们希望进一步得到像 那样的、关于 及 的显公式，即直接用 的解析式来 表达 及 。下边的技巧是常用的。,1） 直线分平面的情形 2） 平面分空间的情形,
