1、4.1 复数的概念,阜阳杨奎,4.1 复数的概念,知识回顾,对于实系数一元二次方程 ，当时 ，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？,解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？,数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.
2、 如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集,有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集,因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决
3、了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数,4.1 复数的概念,4.1 复数的概念,形如 的数，叫做复数,全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .,N Z Q R C,新授课,很明显, 引进虚数单位后, 有 i 2 = -1, (-i)2=i 2=-1, 所以方程 x2=-1 的解是 x=I 虚数单位的幂的性质:i 4n =1, i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =-i ( nN
4、 )以上性质叫 i 的周期性.,4.1 复数的概念,新授课,当 时，z 是实数a,当 时，z 叫做虚数,当a=0且 时，z =bi 叫做纯虚数,复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：,两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+di 有 a=c，b=d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时
5、才不能比较大小,复平面、实轴、虚轴： 复数z=a+bi(a、bR)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi (a、bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.,点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，
6、0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数,复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数 复平面内的点 复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.z=a+bi(a、bR)是复数的代数表示法,共轭复数 （1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数） （2）复数z的共轭复数用 表示若 z=a+bi(a、bR) ，则 z=abi （
7、3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数 （4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称,例1请说出 复数的实部和虚部，有没有纯虚数？ 例2 复数2i+3.14的实部和虚部是什么？ 例3实数m取什么数值时，复数 z=m+1+(m1)i是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 例4 已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x，yR，求x与y.,课堂练习： 1.设集合C=复数，A=实数，B=纯虚数，若全集S=C，则下列结论正确的是( ) A.AB=C B. A=B C.AB= D.BB=C 2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x2)i为虚数，则实数x满足( ) A.
8、x= B.x=2或 C.x2 D.x1且x2,3.已知集合M=1，2，(m3m1)+(m5m6)i，集合P=1，3.MP=3，则实数m的值为( ) A.1 B.1或4 C.6 D.6或1 4.满足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是_. 5.复数z=a+bi，z=c+di(a、b、c、dR)，则z=z的充要条件是_.,6.设复数z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR)，如果z是纯虚数，求m的值. 7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.,8.已知mR，复数z= +(m2+2m3)i，当m为何值时，(1
9、)zR; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z= +4i.,4.1 复数的概念,例1 实数m取什么值时，复数 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？,解： （1）当 ，即 时，复数z 是实数,（2）当 ，即 时，复数z 是虚数,新授课,小结 ： 1在理解复数的有关概念时应注意：（1）明确什么是复数的实部与虚部；（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；（3）弄清复平面与复数的几何意义；（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。,2复数集与复平面上的点注意事项：（1）复数 中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而
10、不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：,自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。,英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus （石卵）演变来的。中国古藉易系辞中说：上 古结绳而治，后世圣人易之以书契。直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数 理论。,自然数,返回,零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良
11、好的条件。印度阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是空或空白。 中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。,整数,返回,分 数,原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八部对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数
12、。古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。,返回,为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。 15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。 法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。由于有理数可表示成有限小数或无限循环小
13、数，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。,无理数,返回,实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯（1859年 开始）、梅雷（1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872 ）作出了杰出的贡献。,实数,返回,复数,从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开 平方的问题。卡尔达诺在大法（1545）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843年提出了四元数的概念，其后不久，凯莱又 用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为超复数，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。,返回,
