1、2.2.1 条件概率【学习要求】1理解条件概率的定义2掌握条件概率的计算方法3利用条件概率公式解决一些简单的实际问题【学法指导】理解条件概率可以以简单事例为载体，先从古典概型出发求条件概率，然后再进行推广；计算条件概率可利用公式 P(B|A)也可以利用缩小样本空间的观点计算.PABPA1条件概率的概念设 A， B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A) 为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率P( B|A)读作 发生的条件下 发生的概率2条件概率的性质(1)P(B|A) (2)如果 B 与 C 是两个互斥事件，则P(BC|A) .一点通 求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题
2、目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A) ，其中 n(AB)表示事件 AB 包含的基本事件个数， n(A)表示事件 A 包含nABnA的基本事件个数二是直接根据定义计算，P(B|A) ，特别要注意 P(AB)的求法PABPA例 1 一只口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球，那么：(1)先摸出 1 个白球不放回，再摸出 1 个白球的概率是多少？(2)先摸出 1 个白球后放回，再摸出 1 个白球的概率是多少？思路点拨 先摸出 1 个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同精解详析 (1)设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A， “再摸出 1 个
3、白球”为事件 B，则 “先后两次摸到白球”为 AB，先摸 1 球不放回，再摸 1 球共有43 种结果P(A) ，P(AB) .2343 12 2143 16P(B|A ) .PABPA 13(2)设“先摸出 1 个白球放回”为事件 A1， “再摸出 1 个白球”为事件 B1，两次都摸到白球为事件 A1B1.P(A 1) ，P(A 1B1) .2444 12 2244 14P(B 1|A1) .PA1B1PA11412 12故先摸 1 个白球不放回，再摸出 1 个白球的概率为 ；先摸 1 个白球后放回，13再摸出 1 个白球的概率为 .121抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为 1
4、,2,3,4,5,6，记事件 A2,3,5，B1,2,4,5,6，则 P(A|B) ( )A. B. C. D.12 15 25 35解析：P(B) ，P(AB) ，P (A|B) 56 13 PABPB1356 252已知 P(A|B) ，P(B ) ，则 P(AB)_.12 13解析：P (A|B) ，PABPBP(AB)P( A|B)P(B) .12 13 163甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为 20%和 18%，两地同时下雨的比例为 12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多
5、少？解：设“甲地为雨天”为事件 A， “乙地为雨天”为事件 B，由题意，得 P(A)0.20，P(B) 0.18，P(AB)0.12.(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P(A|B) 0.67.PABPB 0.120.18(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P(B|A) 0.60.PABPA 0.120.2探究点一 条件概率问题 1 3 张奖券中只有 1 张能中奖，现分别由 3 名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？答 最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 ，不比其他同学小13问题 2 如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少
6、？答 按照古典概型的计算公式，此时最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 .12小结 已知第一名同学的抽奖结果会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率，这就是条件概率例 1 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题如果不放回地依次抽取 2 道题，求：(1)第 1 次抽到理科题的概率；(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率；(3)在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率解 设“第 1 次抽到理科题”为事件 A， “第 2 次抽到理科题 ”为事件 B，则“第 1 次和第 2 次都抽到理科题”就是事件 AB.(1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为 n()A 20
7、.25根据分步乘法计数原理，n(A)A A 12.13 14于是 P(A) .nAn 1220 35(2)因为 n(AB)A 6，23所以 P(AB) .nABn 620 310(3)方法一 由 (1)(2)可得，在“第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题”的概率为 P(B|A) .PABPA31035 12方法二 因为 n(AB)6， n(A)12，所以 P(B|A) .nABnA 612 12小结 利用 P(B|A) 解答问题的关键在于明确 B 中的基本事件nABnA空间已经发生了质的变化，即在 A 事件必然发生的前提下，B 事件包含的样本点数即为事件 AB 包含的样本点数跟踪
8、训练 1 一个盒子中有 6 个白球、4 个黑球，每次从中不放回地任取 1 个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率解 方法一 记“第一次取到白球”为事件 A， “第二次取到黑球”为事件 B.显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率为 P(AB) 64109.415由条件概率的计算公式，得 P(B|A) .PABPA415610 49方法二 这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩 9 个球，其中 5个白球，4 个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率当然是 .49探究点二 条件概率的性质及应用问题 条件概率满足哪些性质？答 条件概率具有一般概率的性质，即对
9、 P(B|A)来说有：0P (B|A)1；如果 B，C 为互斥事件，则 P(BC|A)P(B| A) P(C|A)例 2 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可从 09 中任选一个某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过 2 次就按对的概率解 设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i1,2) ，则 AA 1( A2)表示“不超过A12 次就按对密码” (1)因为事件 A1 与事件 A2 互斥，由概率的加法公式得A1P(A)P (A1)P( A2) .A1110 9110
10、9 15(2)用 B 表示“最后一位按偶数 ”的事件，则P(A|B)P (A1|B)P( A2|B) .A115 4154 25小结 本题条件多，所设事件多，要分清楚事件之间的关系及谁是条件，同时利用公式 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)可使有些条件概率的计算较为简捷，但应注意这个性质在“B 与 C 互斥” 这一前提下才成立跟踪训练 2 在某次考试中，从 20 道题中随机抽取 6 道题，若考生至少能答对其中的 4 道即可通过；若至少能答对其中 5 道就获得优秀已知某考生能答对其中 10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率解 设事件 A 为“该考生 6 道题全答对
11、事件 B 为“该考生答对了其中 5 道题，另一道答错” ，事件 C 为“该考生答对了其中 4 道题，另两道答错”,事件 D 为“该考生在这次考试中通过 ”，事件 E 为“该考生在这次考试中获得优秀” ，则 A、B、C 两两互斥，且 DABC ，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)P(A BC)P(A)P (B)P(C) C610C620 C510C10C620 C410C210C620 12 180C620P(AD) P (AD)P( A)，P(BD)P(B D)P(B)，P(E|D) P( AB|D) P (A|D)P( B|D) PAPD PBPD .C610C62012 180C6
12、20C510C10C62012 180C620 1358所以他获得优秀成绩的概率是13581.某种动物能活到 20 岁的概率为 0.8，能活到 25 岁的概率为 0.4，现有一只 20岁的这种动物，问它能活到 25 岁的概率是_解析 设事件 A 为“能活到 20 岁” ，事件 B 为“能活到 25 岁” ，则 P(A)0.8，P(B) 0.4，而所求概率为 P(B|A)，由于 BA ，故 ABB ，于是 P(B|A) 0.5，所以一只 20 岁的这种动物能活到 25 岁的概率是 0.5.PABPA PBPA 0.40.821,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A“取到的 2 个数之
13、和为偶数” ，事件 B“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)等于（）A. B. C. D.18 14 25 12解析 P(A) ，P( AB) ，C23 C2C25 25 C2C25 110P(B|A) .PABPA 143某人一周晚上值班 2 次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚值班的概率为_解析 设事件 A 为“周日值班” ，事件 B 为“周六值班”则 P(A) ，P(AB ) ，故 P(B|A) .C16C27 1C27 PABPA 164考虑恰有两个小孩的家庭若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的
14、概率( 假定生男生女为等可能)解 ( 男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) 设 B“有男孩” ，则 B(男，男)，(男，女)，(女，男)A“有两个男孩” ，则 A(男，男)，B1“ 第一个是男孩” ，则 B1(男，男)，(男，女)于是得 P(B) ，P( BA)P(A ) ，34 14P(A|B) ；PBAPB 13P(B1) ，P (B1A)P (A) ，12 14P(A|B 1) .PB1APB1 121条件概率：P( B|A) .PABPA nABnA2概率 P(B|A)与 P(AB)的区别与联系： P(AB)表示在样本空间 中，计算 AB发生的概率，而 P(B|A)表示在缩小的
15、样本空间 A中，计算 B 发生的概率用古典概型公式，则 P(B|A) ，P (AB)AB中 样 本 点 数A中 样 本 点 数.AB中 样 本 点 数中 样 本 点 数方法 规律 小结1计算条件概率要明确：(1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约；(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件 A 发生” “事件 A 发生并且事件 B 也发生” “事件 B 在事件 A 发生的条件下发生 ”的概率之间的关系2互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系.名称 区别 联系定义 事件个数互斥事件在一次试验中不能同时发生的事件两个或两个以上 两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立；两事件独立，则不一定互斥(或对立) ；两事件互斥(或对立)，则不相互独立对立事件在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件两个独立事件一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个或两个以上
