1、 一元一次不等式（组）解应用题精讲及分类练习识别不等式（组）类应用题的几个标志，供解题时参考.一.下列情况列一元一次不等式解应用题1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少” 、 “至多” 、 “不超过”等.例 1为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从 1 月起进行居民峰谷用电试点，每天 8：00 至22：00 用电千瓦时 0.56 元(“ 峰电” 价),22：00 至次日 8：00 每千瓦时 0.28 元(“谷电” 价), 而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时 0.53 元.当“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?分析：本题的一个不
2、等量关系是由句子“当峰电用量不超过每月总电量的百分之几时,使用峰谷电合算”得来的，文中带加点的字“不超过”明显告诉我们该题是一道需用不等式来解的应用题.解:设当“峰电”用量占每月总用电量的百分率为 x 时,使用“峰谷”电合算,月用电量总量为 y.依题意得 0.56xy+0.28y(1x)0.53y.解得 x89答：当“峰电”用量占每月总用电量的 89时，使用“峰谷”电合算2应用题仍含有一个不等量关系，但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的，而是用比较隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断例 2周未某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发设甲、乙两组行进
3、同一段路程所用的时间之比为 2：3直接写出甲、乙两组行进速度之比；当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰处，且处离山顶的路程尚有 1.2 千米试问山脚离山顶的路程有多远？在题所述内容（除最后的问句外）的基础上，设乙组从处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰 B 处与乙组相遇请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答（要求：问题的提出不得再增添其他条件；问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件） 解：甲、乙两组行进速度之比为 3：2设山腰离山顶的路程为 x 千米，依题意得方程为 ，23.1x解得 x （千米） 经检验 x 是所列方程的解，6.36.答：山脚离山顶的路程为
4、 千米.3可提问题：“问 B 处离山顶的路程小于多少千米？ ”再解答如下：设 B 处离山顶的路程为千米（0）甲、乙两组速度分别为 3k 千米时，2k 千米时（k0）依题意得 ，解得0.72(千米).km32.1答:B 处离山顶的路程小于 0.72 千米.说明:本题由于所要提出的问题被两个条件所限制 ,因此,所提问题应从句子“乙组从 A 处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰 B 处与乙组相遇”去突破,若注意到“甲组到达山顶后休息片刻”中加点的四个字,我们就可以看出题中隐含着这样一个不等关系:乙组从 A 处走到 B 处所用的时间比甲组从山顶下到 B 处所用的时间来得少,即可
5、提出符合题目要求的问题且可解得正确的答案.二.下列情况列一元一次不等式组解应用题1.应用题中含有两个(或两个以上 ,下同) 不等量的关系.它们是由两个明显的不等关系体现出来 ,一般是讲两件事或两种物品的制作、运输等.例 3.已知服装厂现有 A 种布料 70 米,B 种布料 52 米,现计划用这两种面料生产 M,N 两种型号的时装共 80 套.已知做一套 M 型号的时装需用 A 种布料 0.6 米,B 种布料 0.9 米,可获利 45 元;做一套 N 型号的时装需用 A 种布料 1.1 米,B 种布料 0.4 米,可获利润 50 元.若设生产 N 型号码的时装套数为 x,用这批布料生产这两种型号
6、的时装所获的总利润为 y 元.(1)求 y(元) 与 x(套)的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围 ;(2)服装厂在生产这批时装中,当 N 型号的时装为多少套时,所获利润最大?最大利润是多少?分析:本题存在的两个不等量关系是 :合计生产 M、N 型号的服装所需 A 种布料不大于 70 米;合计生产 M、N 型号的服装所需 B 种布料不大于 52 米.解:(1) ,即 .yx5084360y依题意得 .24.)(9. ;716解之,得 40x44.x 为整数,自变量 x 的取值范围是 40,41,42,43,44.(2)略2.两个不等关系直接可从题中的字眼找到,这些字眼明显存在着上下限.例
7、 4.某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送 3 本,则还余 8 本;如果前面每人送 5 本,则最后一人得到的课外读物不足 3 本.设该校买了 m 本课外读物,有 x 名学生获奖.请回答下列问题:(1)用含 x 的代数式表示 m;(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.分析:不等字眼“不足 3 本”即是说全部课外读物减去 5(x1)本后所余课外读物应在大于等于 0 而小于 3 这个范围内.解:(1)m=3x+8(2)由题意,得 .3)1(5830x不等式组的解集是:5X5因为小朋友的人数为整数，所以 X 的取值有2个，分别是 6人和7人。当6个小朋
8、友时，玩具总数22件，前5个每人分4 件，最后1人得2件；当7个小朋友时，玩具总数25件，前6个每人分4 件，最后1人得1件。2、解放军某连队在一次执行任务时，准备将战士编成 8 个组，如果每组人数比预定人数多1 名，那么战士人数将超过 100 人，则预定每组分配战士的人数要超过多少人？ 设：预定每组 x 人。由已知得：8x+8100 解得：x11.5根据实际情况，解得预定每组分配战士的人数至少12人。3、把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分 3 颗，就剩下 8 颗；如果每只猴子分 5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足 5 颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？解：设有 x 只猴子和
9、y 颗花生，则：y-3x=8， 5x-y5 ， 由 得：y=8+3x， 代入 得5x-(8+3x) 5, x6.5因为 y 与 x 都是正整数，所以 x 可能为6，5，4 ，3，2，1，相应地求出 y 的值为26，23，20 ，17，14 ，11.经检验知，只有 x=5，y=23和 x=6，y=26 这两组解符合题意.答：有五只猴子，23颗花生，或者有六只猴子，26颗花生.4、 把 一 些 书 分 给 几 个 学 生 ， 如 果 每 人 分 3 本 ， 那 么 余 8 本 ； 如 果 前 面 的 每 个 学 生 分5 本 ， 那 么 最 后 一 人 就 分 不 到 3 本 。 问 这 些 书
10、有 多 少 本 ？ 学 生 有 多 少 人 ？设有 X 名学生，那么有（3X+8）本书，于是有0(3x+8)-5(x-1)4x+1得 x8所以 x=97、 用若干辆载重量为 8 吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装 4 吨，则剩下 20 吨货物；若每辆汽车装满 8 吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？设有 X 辆汽车4X+20=8(X-1)4X+20=8X-84X=28X=7有7辆汽车8、一群女生住若干家间宿舍，每间住 4 人，剩下 19 人无房住；每间住 6 人，有一间宿舍住不满。（1） 如果有 x 间宿舍，那么可以列出关于 x 的不等式组：（2） 可能有多少间宿舍、多少名学生？
11、你得到几个解？它符合题意吗？不空也不满表示 最后一间房有15人。6(x-1)=607X=98X=14所以，至少答对14题就及格了。2、在一次竞赛中有 25 道题，每道题目答对得 4 分，不答或答错倒扣 2 分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于 60 分，至少要答对多少道题目？解：设至少需要做对 x 道题(x 为自然数) 。4x 2(25x)604x502x 606x110X19答：至少需要做对19道题。3、 一次知识竞赛共有 15 道题。竞赛规则是：答对 1 题记 8 分，答错 1 题扣 4 分，不答记0 分。结果神箭队有 2 道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了 90 分，两队分
12、别至少答对了几道题？设神箭队答对 x 题。则答错15-2-x，即（13-x ）题8x-4（13-x）90解得 x71/6所以至少答对12道题设飞艇队答对 x 题。则答错(15-x)题8x-4(15-x)90解得 x25/2所以至少答对13道题4、在比赛中，每名射手打 10 枪，每命中一次得 5 分，每脱靶一次扣 1 分，得到的分数不少于 35 分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？8次：5x8=40,40-2=38,3835追问不等式的方法.？回答恩。 。 。因为每名射手打10枪必须打完5.有红、白颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的两倍比红球多，若把每一个白球都记作数
13、 2，每一个红球都记作数 3，则总数为 60，求白球和红球各几个？ 可令白球的个数 x，则红球的个数(60-2x)/3；依题意有： x(60-2x)/32x，得：7.5 x12， ，故：152x24，-24-2x -15，得：12(60-2x)/3 15，(60-2x)/3=13时， x 不是整数；因此 (60-2x)/3=14；得 x=9；所以：白球的个数9，红球的个数14.（比较问题）1、某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的 6 折优惠。已知两家旅行社的全票价都是 240 元，至少要多少
14、名学生选甲旅行社比较好？240*0.6=144 240*0.5=120 假定有 X 个学生 就有240+120x 144（x+1） X=4 所以至少4人选甲旅行社比较好2、李明有存款 600 元，王刚有存款 2000 元，从本月开始李明每月存款 500 元，王刚每月存款 200 元，试问到第几个月，李明的存款能超过王刚的存款。答：第 x 个月,李明的存款能超过 王刚的存款600+500x2000+200xx14/3取 x=5到第 5 个月 ,李明的存款能超过王刚的存款 3、暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人 500 元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两
15、名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。假设这两位家长至带领多少名学生去旅游，他们应该选择甲旅行社？设有 X 名学生去旅游。则500*2+0.7*500X=0.8*500 （X+2 ）解得 X=4所以，当学生人数少于4人时，乙旅行社便宜。当学生人数等于4人时，甲乙旅行社一样便宜。当学生人数大于4人时，甲旅行社便宜。（行程问题）1、抗洪抢险，向险段运送物资，共有 120 公里原路程，需要 1 小时送到，前半小时已经走了 50 公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？解：设后半小时的速度至少为 x 千米/小时50+（1-1/2 ）x12050+1/2x1201
16、/2x70x140答：后半小时的速度至少是140千米/小时。2、爆破施工时，导火索燃烧的速度是 0.8cm/s，人跑开的速度是 5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到 100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？假设导火索长为 X 厘米人要跑100 米，速度为5m/s ，那么人就要跑100/2=20 秒，导火索长为 x cm，速度为0.8cm/s，那么导火索燃烧的时间就是 X/0.8 秒导火索燃烧的时间必须要大于人抛开的时间才会安全，就是：X/0.820就是 x163、王凯家到学校 2.1 千米，现在需要在 18 分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为 90 米/ 分，跑步速度为 210 米
17、/分，问王凯至少需要跑几分钟？设王凯至少需要跑 x 分钟210x+90(18-x)2100210x+1620-90x2100120x480x=4答：所以至少需要跑 4 分钟4、抗洪抢险，向险段运送物资，共有 120 公里原路程，需要 1 小时送到，前半小时已经走了 50 公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？解：设后半小时的速度至少为 x 千米/小时50+（1-1/2 ）x12050+1/2x1201/2x70x140答：后半小时的速度至少是140千米/小时。（车费问题）1、出租汽车起价是 10 元(即行驶路程在 5km 以内需付 10 元车费),达到或超过 5km 后,每增加 1km 加
18、价 1.2 元(不足 1km 部分按 1km 计),现在某人乘这种出租 汽车从甲地到乙地支付车费 17.2 元,从甲地到乙地的路程超过多少 km? 解析 本题属于列不等式解应用题.设甲地到乙地的路程大约是 xkm,据题意,得1640812x336x28答;以后每天至少加工28个零件，才能在规定时间内超额完成任务。4、某车间有组装 1200 台洗衣机的任务，若最多用 8 天完成，每天至少要组装多少台？12008150（浓度问题）1、在 1 千克含有 40 克食盐的海水中，在加入食盐，使他成为浓度不底于 20%的食盐水，问：至少加入多少食盐？解：设再加入 x 克食盐40+x 为食盐质量 1000+
19、x 为溶液总质量(40+x)(1000+x)20%解得 x200答：至少加200克食盐2、一种灭虫药粉 30 千克，含药率是 15%，现在要用含药率比较高的同种药粉 50 千克和它混合，使混合的含药率大于 20%，求所用药粉的含药率的范围。解：设所用药粉的含药率为 a，可得：30x15%+50a20%(30+50)4.5+50a1650a11.5a0.23答：所用药粉含药率应大于23%.（增减问题）1、一根长 20cm 的弹簧，一端固定，另一端挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过 30cm 的限度内，每挂 1质量的物体，弹簧伸长 0.5cm.求弹簧所挂物体的最大质量是多少？解：x=0.5cm=0.
20、005m弹簧的弹性系数：K=m g/x=110/0.005=2000N/m设最多可挂重物为 m kg，则根据胡克定律可得：mg=kx，m=kx/g又因为，x30-20=10cm=0.1m所以，m kx/g=20000.1/10=20(Kg)即 m20kg答：略。2、几个同学合影，每人交 0.70 元，一张底片 0.68 元，扩印一张相片 0.5 元，每人分一张，将收来的钱尽量用完，这张照片上的同学至少有多少个？0.68+0.5x=71000+20005000+500x=90005x=40x=8所以至多打8折3.“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克 1.5 元，销售中有 6
21、%的苹果损耗，商家把售价至少定为每 kg 多少元，才能避免亏本？1.6元10001.5=15001500（ 1-6%） 实际价格2、某电影院暑假向学生优惠开放，每张票 2 元。另外，每场次还可以售出每张 5 元的普通票 300 张，如果要保持每场次票房收入不低于 2000 元，那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张？设应售出 X 张学生优惠票，当收入等于 2000元时：2X+5*300=20002X=500X=250即每场至少售出250张学生优惠票。4某中学需要刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需 8 元（包括空白光盘费） ；若学校自刻，出租用刻录机需 120 元外，每张光盘还需成本
22、4 元（包括空白光盘费） 。问刻录这批电脑光盘，该校如何选择，才能使费用较少？8x120+4xx30答：如果少于30张，电脑公司刻合适，如果等于30张， （不考虑飞盘）都可以。如果大于30张，那还是自刻便宜！而且刻录张数越多，自刻越便宜！题外话：现在的刻录机很便宜，空白光盘成本才1元左右，还是自己刻录省钱。5.某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人 150 人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为 600元和 1000 元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的 2 倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？解：设乙工种招聘 x 人x2（150-x）x100W工资=600（ 15
23、0-x）+1000x=400x+900004000,x=100时，W工资最少=400 100+90000=130000（元）甲乙工人各招聘50人、100人时每月所付的工资最少为130000元6.学校图书馆准备购买定价分别为 8 元和 14 元的杂志和小说共 80 本，计划用钱在 750 元到850 元之间（包括 750 元和 850 元） ，那么 14 元一本的小说最少可以买多少本？设14元一本的小说可以买 x 本，则8元一本的小说可以买（ 80-x）本。根据题意，有：75014x+8（80-x）850 （若想列为方程组则可拆为两个不等式）750640+6x8501106x21018.33x2
24、1取整数，则可得知：14元一本的小说最少可以买19本，最多可以买21本。（数字问题）1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小 2，已知这个两位数大于 20且小于 40，求这个两位数分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数-十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系：20原两位数40。解法（1）:设十位上的数为 x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2),由题意可得：2010x+(x+2)40,解这个不等式得，1 x3 , x 为正整数， 1 x3 的整数为 x
25、=2或 x=3， 当 x=2时， 10x+(x+2)=24,当 x=3时， 10x+(x+2)=35,答：这个两位数为24或35。解法（2）:设十位上的数为 x, 个位上的数为 y, 则两位数为10x+y,由题意可得 （这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”） 。将(1)代入(2)得，2011x+240,解不等式得：1 x3 , x 为正整数， 1 x3 的整数为 x=2或 x=3, 当 x=2时， y=4， 10x+y=24,当 x=3时，y=5, 10x+y=35.答：这个两位数为24或35。解法（3）:可通过“ 心算” 直接求解。方法如下：既
26、然这个两位数大于20 且小于40，所以它十位上的数只能是2或3。当十位数为2 时，个位数为 4，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35方案选择与设计1某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种原料的价格如下表：原料维生素 C 及价格 甲种原料 乙种原料维生素 C/（单位 /千克） 600 100原料价格/ （元/ 千克） 8 4现配制这种饮料 10 千克，要求至少含有 4200 单位的维生素 C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过 72 元，（1）设需用 千克甲种原料，写出 应满足的不等式组。xx（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范
27、围之内？解：（1） ；（2） 。2.红星公司要招聘 A、B 两个工种的工人 150 人， A、B 工种的工人的月工资分别为 600 和1000 元，现要求 B 工种的人数不少于 A 工种人数的 2 倍，那么招聘 A 工种工人多少时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？解：设招聘 A 工种的工人有 x 人，那么招聘 B 工种的工人有（ 150x）人B 工种的人数不少于 A 工种人数的2 倍150 x2x x50每月所付工资为600x1000（150x）150000 400xx 越大，150000 400x 的值越小，当 x 取最大值时，150000400x 取最小值x 的最大值是50
28、150000400x 的最大值为15000040050130000（元）答：招聘 A 工种的工人50人时，可使每月所付工资最少，最少工资为130000元3.某工厂接受一项生产任务，需要用 10 米长的铁条作原料。现在需要截取 3 米长的铁条 81根，4 米长的铁条 32 根，请你帮助设计一下怎样安排截料方案，才能使用掉的 10 米长的铁条最少？最少需几根？设最少需要10米长的铁条 x 根。4*32+3*8110xx37.1最少需要38根4.某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利 30000 元，然后将该批产品的投入资金和已获利 30000 元进行
29、再投资，到这学期结束时再投资又可获利 4.8;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利 35940 元,但要付投入资金的 0.2作保管费，问： （1）当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的？ （2）按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。 （1）第一种方案，学期末时获利为（80000+30000）4.8%=5280 元，加上学期初的30000元，第一种方案共获利35280元。第二种方案，保管费为800000.2%=160元，从获利种扣除保管费后剩余35780元。故成本为80000元时第二种方案获利多。（2）设新产品成本为 Y 元时两种方案获利一样多，则可列方程
30、：（Y+30000）4.8%+30000=35940-Y0.2%（解方程会吧？）解得 Y=90000即新产品成本为90000元时，两种方案获利一样多。5.某园林的门票每张 10 元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该 园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法。年票分为 A、B 、C 三种：A 年票每张 120 元，持票进入不用再买门票； B 类每张 60 元，持票进入园林需要再买门票，每张 2 元，C 类年票每张 40 元，持票进入园林时，购买每张 3 元的门票。（1） 如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门票上，试
31、通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。（2） 求一年中进入该园林至少多少时，购买 A 类年票才比较合算。解：（1）根据题意，需分类讨论因为80120 ，所以不可能选择 A 类年票；若只选择购买 B 类年票，则能够进入该园林 80-602=10（次） ；若只选择购买 C 类年票，则能够进入该园林 80-40313（次） ；若不购买年票，则能够进入该园林 8010=8（次） 所以，计划在一年中用80元花在该园林的门票上，通过计算发现：可使进入该园林的次数最多的购票方式是选择购买 C 类年票（2）设一年中进入该园林至少超过 x 次时，购买 A 类年票比较合算，根据题意，得 60+2x12
32、040+3x12010x120由，解得 x 30；由，解得 x 26 23；由，解得 x 12解得原不等式组的解集为 x30答：一年中进入该园林至少超过30次时，购买 A 类年票比较合算6.某城市平均每天处理垃圾 700 吨，有甲和乙两个处理厂处理，已知甲每小时可处理垃圾55 吨，需要费用 550 元，乙厂每小时可处理垃圾 45 吨，需要费用 495 员。如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过 7370 元，甲厂每天处理垃圾至少要多少吨？甲处理1吨垃圾费用为550/55=10 元，乙处理1吨垃圾费用为 495/45=11元，设甲每天至少要处理 x 吨垃圾，乙每天处理 y 吨垃圾，那么有x+y=700；10x+11y7370将 y=700-x 代入 式，得10x+11（700-x）7370，解得，x330即，甲厂每天处理垃圾至少要330吨。
