1,6 正定二次型,一、惯性定理,二、正定二次型的概念,三、正定二次型的判断法,2,定理十一. (惯性定理),二次型,经可逆变换 X = PY 及 X = CZ , 使,及,正数个数为b, 则,一、惯性定理,3,二、正定二次型的概念,定义12. 二次型,若对任意 X 0,则称 f 为正定的.,若对任意 X 0,则称 f 为负定的.,4, (根据标准形判别),f 的标准形的n个系数全为正.,三、正定二次型的判断法,5,因为 C 是可逆矩阵,故,即二次型为正定的.,再证必要性.,用反证法. 假设有 ks0 ,则当 y = es 时，,其中es 是第 s 个分量为 1 其余分量都为 0 的 n 维向量.,这与 f 为正定相矛盾,因而 ki 0 , i = 1 ,2 , n .,推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全,为正,先证充分性 .,设 ki 0 , i = 1 ,2 , n .,任给 x 0 ,证 设可逆变换 x = Cy 使,6,2. (根据 的矩阵 的特征值来判别),f,A,A的n个特征值全为正.,3. (直接根据 f 矩阵A来判别),7,A的各阶主子式全为正:,8,另:,f 为负定的: 奇数阶主子式0.,为正定二次型.,为负定二次型.,例1.,9,50,例2.,是否正定?,解:,2,2,-4,-4,-2,-2,
