1、第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,引言,问题：如何比较各班大学英语四级考试成绩的优劣？方案一：通过各班的最高分进行比较方案二：通过各班的最低分进行比较方案三：通过各班的平均分进行比较,引言,随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性. 在一些问题中，我们往往只关心随机变量与数值有关的某些特征这些特征虽然不能完整地描述随机变量，但在理论和实践上都具有重要的意义例如： 在评定某一地区粮食产量的水平时，主要关心该地区的平均亩产量； 研究水稻品种的优劣时，时常关心稻穗的平均稻谷粒数; 检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，也要注意纤维长度与平均长度的偏离程度 常见的数字特征：
2、数学期望、方差、相关系数和矩,例：,游戏规则： 落在e0区域得0分； 落在e1区域得1分； 落在e2区域得2分.,对技术熟练的射手甲对新手乙哪一个人的射击水平较高？,频率 概率,例：,游戏规则： 落在e0区域得0分； 落在e1区域得1分； 落在e2区域得2分.,设 X 的分布律为 PX = k = pk , k = 0, 1, 2 共射击 N 次，其中 得 0 分的有n0 次， 得 1 分的有n1 次， 得 2 分的有n2 次， 那么总得分为每次射击的平均得分为,数学期望的概念,定义：设离散型随机变量 X 的分布律为 PX = xk = pk , k = 1, 2, 若级数 绝对收敛，则级数
3、的和称为 离散型随机变量 X 的数学期望，记作E(X) ,数学期望 简称期望，又称为均值.,几点说明,E(X) 是一个实数，而不是一个变量 虽然随机变量的数学期望又称为均值，但这均值不同于一般变量的算术平均值，而是随机变量所有可能取值的加权平均 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数求和次序的改变而改变,例：,游戏规则： 落在e0区域得0分； 落在e1区域得1分； 落在e2区域得2分,对技术熟练的射手甲对新手乙哪一个人的射击水平较高？射手甲的水平较高,例：设随机变量 X 的所有可能取值为 分布律为 ，试求 X 的数学期望.,解：题目给出的确实是一个离散型随机变量的分布律： (1) (2) 但因
4、为 是发散的调和级数， 所以 X 的数学期望不存在，ln2 也就不是 X 的数学期望,并非任意一个随机变量 都存在数学期望！,数学期望的概念,定义：设离散型随机变量 X 的分布律为 PX = xk = pk , k = 1, 2, 若级数 绝对收敛，则级数 的和称为 离散型随机变量 X 的数学期望，记作E(X) 定义：设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) ，若积分绝对收敛，则积分 的值称为连续型随机变量X 的数学期望，记作E(X) ,数学期望 简称期望，又称为均值.,数学期望的概念,定义：设离散型随机变量 X 的分布律为 PX = xk = pk , k = 1, 2, 若级数 绝对
5、收敛，则级数 的和称为 离散型随机变量 X 的数学期望，记作E(X) 定义：设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) ，若积分绝对收敛，则积分 的值称为连续型随机变量X 的数学期望，记作E(X) ,数学期望 简称期望，又称为均值.,例：有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 Xk （k = 1,2）服从同一个指数分布，其概率密度为若将这两个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命（以小 时计）N 的数学期望. 解：Xk（k = 1,2）的分布函数N = min(X1 , X2 )，则N 服从参数为 q /2 的指数分布，故 E(N) = q /2,例：按规定，某车站每天8:00 9:00，
6、9:00 10:00 都恰有一 辆客车到站，但到站的时刻是随机的，两者到站的时刻相互 独立其规律为一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望,概率,8:50 9:50,8:30 9:30,8:10 9:10,50分钟,10分钟,30分钟,70分钟,10分钟,30分钟,90分钟,10分钟,30分钟,例：某商店对某种家用电器的销售采取先使用后付款的方式. 记使用寿命为 X（以年计），规定： X 1，一台付款1500元； 1 3， 一台付款3000元 设寿命X 服从指数分布，概率密度为试求该商店一台收费 Y 的数学期望,例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽检 N 个人的血，可以用两种方
7、法进行 将每个人的血分别去验，这就需验 N 次 按 k 个人一组进行分组，把从 k 个人抽来的血混合在一起进行检验如果这混合血呈阴性反应，就说明 k 个人的血都呈阴性反应，这样，这 k 个人的血就只需验 1 次若呈阳性，则再对这 k 个人的血液分别进行化验这样, k 个人的血总共要化验 k +1 次 假设每个人化验呈阳性的概率为 p，且这些人的试验反应是 相互独立的试说明当 p 较小时，选取适当的k，按第二种 方法可以减少化验的次数并说明 k 取什么值时最适宜分析：设以 k 个人为一组时，组内每人化验的次数为X ,随机变量的函数的期望,例：设随机变量 X 具有以下的分布律且 Y = g(X)
8、= X2，试求E(X)，E(Y)解：,例（续）：Y = g(X) = X2 ，那么Y 有可能取的值为 0，1，4，9 PY = 0 = PX = 0 = 0.25 PY = 1 = PX = 1+PX = 1 = 0.2+ 0.2 = 0.4 PY = 4 = PX = 2+PX = 2 = 0.1+ 0.15 = 0.25 PY = 9 = PX = 3 = 0.1 于是随机变量 Y 数学期望为,定理：设 Y = g(X) （g 是连续函数），X 是离散型随机变量，分布律为 PX = xk = pk，k = 1, 2, 若级数 绝对收敛，则有X 是连续型随机变量，概率密度为 f (x)，若积
9、分绝对收敛，则有上述定理可推广到两个或两个以上随机变量的函数的情形，如,又设函数 g(x) 处处可导且恒有,（或恒有 ）,定理,设随机变量 X 具有概率密度,则 Y = g(X) 是连续型随机变量，其概率密度为,其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，即,（或 ）,即,返回,例：设随机变量(X,Y) 概率密度为求数学期望 ， 分析：,例（续）：设随机变量(X,Y) 概率密度为求数学期望 ， 分析：,例：某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的 产量他们估计出售一件产品可获利m 元，而积压一件产品 导致 n 元的损失再者，他们预测销售量Y（件）服从指数 分布，其概率密度为：问若要获得利润
10、的数学期望最大，应生产多少件产品（m, n, q 均为已知）？ 分析：产量x，销售量Y，利润Q 三者之间关系利润Q 是随机变量 Y 的函数，所以,产量x没有视作随机变量！,数学期望的性质,设所遇到的随机变量的数学期望存在，那么 性质1：常数的数学期望就是它本身，即 E(C) = C 性质2：常数因子可提出数学期望号之外，即 E(CX) = C E(X) 性质3：和的数学期望等于数学期望的和，即 E(X + Y) = E(X) + E(Y) 性质4：设 X，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X) E(Y) ,例：一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车 站可以下车如到达一个车站没
11、有旅客下车就不停车以 X 表示停车的次数，求E(X)（设每位旅客在各个车站下车是等 可能的，并设各旅客是否下车相互独立） 分析：引入随机变量停车次数 X = X1 + X2 + + X10 ， 于是 E(X) = E(X1) + E(X2) + + E(X10),在第 i 站没有人下车， 在第 i 站有人下车，（i = 1, 2, , 10),例：设一电路中电流 I (安培)与电阻 R(欧姆) 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为试求电压 V = IR 的均值分析： 因为电流 I 与电阻 R是两个相互独立的随机变量，所以 E(V) = E(IR) = E(I)E(R),2 方差,引言,随
12、机变量的数学期望体现了随机变量所有可能取值的加权平均 离散型：连续型：,若级数 绝对收敛，则,若积分 绝对收敛，则,引言,例：检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度， 也要注意纤维长度与平均长度的偏离程度 若偏离程度较小，表示质量比较稳定 若质量不稳定，则偏离程度较大 随机变量与其均值的偏离程度的衡量： EXE(X) E|XE(X)| EXE(X)2,正负误差互相抵消,带有绝对值，运算不方便,方差的概念,定义：设 X 是一个随机变量，若 D(X) = EXE(X)2 = E(X2) E(X)20 存在，则 EXE(X)2称为 X 的方差，记作D(X) 或 Var(X). 把 称为标准差
13、或均方差，记作s (X) 说明：方差是随机变量 X 的函数 g(X) = XE(X)2 的期望,定理：设 Y = g(X) （g 是连续函数），X 是离散型随机变量，分布律为 PX = xk = pk，k = 1, 2, 若级数 绝对收敛，则有X 是连续型随机变量，概率密度为 f (x)，若积分绝对收敛，则有上述定理可推广到两个或两个以上随机变量的函数的情形，如,返回,E(X + Y) = E(X) + E(Y),E(CX) = C E(X),E(C) = C,切比雪夫不等式,D(X) = 0当且仅当P(X = C) = 1,其中C = E(X),附注：D(X) = EXE(X)2 = E(X
14、2) E(X)2D(X + C) = D(X),设 X，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X) E(Y),D(X + Y) = D(X) + D(Y)+ 2 EXE(X)YE(Y) 特别地，若 X，Y 相互独立，则D(X + Y) = D(X) + D(Y),D(CX) = C 2 D(X),D(C) = 0,线性性质,方差,数学期望,切比雪夫不等式,定理（切比雪夫不等式）：设随机变量 X 具有期望和方差， E(X) = m， D(X) = s 2 则对于任意正数e ，都有,常用的等价形式,切比雪夫不等式,定理（切比雪夫不等式）：设随机变量 X 具有期望和方差， E(X) = m， D(X
15、) = s 2 则对于任意正数e ，都有,常用的等价形式,标准化变量,设随机变量 X 具有数学期望 E(X) = m，方差 D(X) = s2 0 记则其中D(X + C) = D(X) ,x,f (x),m + e,me,m,O,3 协方差及相关系数,引言,数学期望体现了随机变量所有可能取值的加权平均 方差刻画了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度 对于二维随机变量(X, Y)，不仅要讨论各个分量的期望和方差， 还要讨论描述 X 与Y 之间相互关系的数字特征 D(X+Y) = D(X) + D(Y) +2EXE(X)YE(Y)特别地，若X , Y 相互独立，则有 D(X+Y) = D(X)
16、+ D(Y) 当 EXE(X)YE(Y)0 时， X 与Y 不独立，而是存在一定的关系,E(XY) E(X) E(Y),协方差的概念,定义： EXE(X)YE(Y) 称为随机变量 X 与Y 的协方差，记为Cov (X, Y) 于是 D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2EXE(X)YE(Y) 协方差的基本性质：Cov (X, Y) = E(XY) E(X) E(Y) 对称性： Cov (X, Y) = Cov (Y, X)特别地，D(X) = Cov (X, X)， D(Y) = Cov (Y, Y) 线性性质： Cov (aX, bY) = abCov (X, Y) （a, b 是
17、常数）Cov (X1+X2, Y) = Cov (X1, Y) + Cov (X2, Y),= D(X) + D(Y) + 2Cov (X, Y),几点说明 Cov (X, Y) = EXE(X)YE(Y),协方差的“协”是“协同”的意思，可将D(X) = EXE(X)2中的一个因式换成YE(Y)而得到，其形式接近方差，又有X 和 Y 的共同参与，协方差由此得名例： Cov (2X, 2Y) = 4Cov (X, Y)(2X, 2Y) 的关联程度与(X, Y) 的关联程度并不相等虽然协方差反映了两个随机变量的关联程度，但其数值的大小与随机变量的取值以及量纲尺度的选取有关 为了消除这种不应有的影
18、响，常常将协方差加以标准化，导出更能如实反映两个随机变量关联程度的另一个数字特征,返回,相关系数的概念,定义： 称为随机变量 X 与Y 的相关系数说明：因为所以rXY 是一个无量纲的量，形式上可将它看作是“标准尺度 下的协方差” ,标准化变量,考虑以 X 的线性函数 a + bX 来近似表示 Y， 以均方误差来衡量近似的好坏程度令解得代入得,相关系数的性质,|rXY |1的充要条件是，存在常数a, b，使得 PY = a + bX = 1 于是 rXY 可以用来表征 X, Y 之间线性关系的紧密程度 当 | rXY | 较大时， X, Y 线性相关的程度较好； 当 | rXY | 较小时， X
19、, Y 线性相关的程度较差； 当 rXY = 0 时， 称 X, Y （线性）不相关,例：设(X, Y) N( m1, m2, s12, s22, r ) ，其中 m1, m2, s12, s22, r 都 是常数，且 s1 0， s2 0， 0| r |1 ,X N(m1, s12),Y N(m2, s22),E(X) = m1， D(X) = s12,E(Y) = m2， D(Y) = s22,例（续）：其中 m1, m2, s12, s22, r 都是常数，且 s1 0， s2 0， 0| r |1 那么从而,r = 0,X 和Y 相互独立,X 和Y 不相关,rXY = 0，表明X, Y
20、 之间不存在线性关系 事实上， X, Y 并不独立： Y = X2 ,例：设(X, Y) 的分布律为,1,1/4,1/4,1/4,1/4,PX = i,1/2,1/4,0,0,1/4,4,1/2,0,1/4,1/4,0,1,PY = j,2,1,1,2,X Y,不相关 独立,解：随机变量 q 的概率密度为,于是,例：设随机变量 q 服从 0, 2p 上的均匀分布，令 X = cosq ， Y = sinq ，试讨论 X 和 Y 的相关性和独立性,例：设随机变量 q 服从 0, 2p 上的均匀分布，令 X = cosq ， Y = sinq ，试讨论 X 和 Y 的相关性和独立性,从而有 ，即
21、X 和 Y 不相关显然，X2 + Y2 = 1， X 和 Y 不独立,解（续）：随机变量 q 的概率密度为,独立性与不相关性的关系,一般来说，独立一定不相关，不相关未必独立 对于二维正态随机变量(X, Y)，独立和不相关是等价的下列五种说法等价： Cov (X, Y) = 0 rXY = 0 X, Y （线性）不相关 E(XY) = E(X) E(Y) D(X+Y) = D(X) + D(Y),E(X + Y) = E(X) + E(Y),E(CX) = C E(X),E(C) = C,切比雪夫不等式,D(X) = 0当且仅当P(X = C) = 1,其中C = E(X),附注：D(X) =
22、EXE(X)2 = E(X2) E(X)2D(X + C) = D(X),设 X，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X) E(Y),D(CX) = C 2 D(X),D(C) = 0,线性性质,方差,数学期望,E(XY) = E(X) E(Y) + Cov(X, Y),D(X + Y) = D(X) + D(Y)+ 2 EXE(X)YE(Y) 特别地，若 X，Y 相互独立，则D(X + Y) = D(X) + D(Y),D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y),4 矩、协方差矩阵,一、矩,定义：设 X 是随机变量， 若 E(Xk)，k = 1, 2, 存在，则称
23、E(Xk) 为 X 的 k 阶原点矩，简称 k 阶矩 若 EXE(X)k，k = 1, 2, 存在，则称 EXE(X)k为X 的 k 阶中心矩D(X) = EXE(X)2 = E(X2) E(X)2,一、矩（续）,定义：设 X 和Y 是随机变量， 若 E(Xk Yl )，k, l = 1, 2, 存在， 则称 E(Xk Yl ) 为 X 和Y 的 k + l 阶混合矩 若 EXE(X)k YE(Y)l ，k, l = 1, 2, 存在， 则称 EXE(X)k YE(Y)l 为X 和Y 的 k + l 阶混合中心矩.Cov (X, Y) = EXE(X)YE(Y) = E(XY) E(X) E(
24、Y),二、协方差矩阵,定义：二维随机变量 (X1, X2) 二阶混合中心矩有四个（如果 存在的话）：c11 = EX1E(X1)2 c12 = E X1E(X1) X2E(X2)c21 = E X2E(X2) X1E(X1) c22 = EX2E(X2)2则 称为 (X1, X2) 的协方差矩阵,二、协方差矩阵（续）,定义：设 n 维随机变量 (X1, X2, , Xn) 二阶混合中心矩 cij = E XiE(Xi) XjE(Xj) = Cov (Xi, Xj) ， i, j = 1, 2, , n 都存在，则 n 阶方阵称为 (X1, X2, , Xn) 的协方差矩阵,对称矩阵,例：设(X
25、1, X2) N( m1, m2, s12, s22, r ) ，其中 m1, m2, s12, s22, r 都 是常数，且 s1 0， s2 0， 0| r |1 ,令则,于是,二维正态随机变量 (X1, X2) 的概率密度定义为,n 维正态随机变量 (X1, X2, , Xn) 的概率密度定义为,二维正态分布的性质,若 (X1, X2) N( m1, m2, s12, s22, r ) ，则 两个边缘分布都是正态分布，并且不依赖于参数 r 两个条件分布都是正态分布 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 Cov(X1, X2) = rs1s2，从而rX1X2 = r r = 0 X1 和X2 相互独立 X1 和 X2 不相关 注意：一般 n 维正态随机变量的性质请参看课本P.136,
