1、第五章 特征值与特征向量,第一节 特征值与特征向量,本节研究被一矩阵相乘后变为自身倍数的非零向量,以及该倍数.如取,定义1 （特征值与特征向量）设 是 n 阶方阵，若存在数 和非零向量 ，使得 则 称为 的 特征值 ， 称为 的属于(或对应于) 的特征向量.,(1),(1) 可写成,注意: 特征值与特征向量是针对方阵定义的. 另外零向量总满足(1)式，但不是特征向量.,设 对于固定的 , (2) 是关于 的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是,(2),(2) 特征值可能是复数.,但需注意两点： (1) n 个特征值中有可能有相同的，称为重特征值，即是特征方程的重根. 如单位矩阵.,如,的特征
2、值为,根据多项式理论，实矩阵的复特征值是成对出现的.,.,证明 由条件知,令 , 即得 (i).,另一方面，由行列式定义，,中含有,的项只出现在：,中，故 (ii) 成立.,性质 2 属于 的特征向量的非零线性组合仍为 属于 的特征向量.,性质 3 设 为 的属于 的特征向量,证明 归纳法.当,，结论成立.,时,设,时结论成立，当,设,),(,),(,),(,1,0,1,0,特征向量.,仍为其,的特征值为,则,l,X,f,A,a,A,a,E,a,A,f,x,a,x,a,a,x,f,s,s,s,s,+,+,+,=,+,+,+,=,L,L,则,，即,（2）,而,代入（1）式，得,因为,例 求,的特
3、征值和特征向量.,解,=,得基础解系,对于,解,得基础解系,解,=,对于,解,得基础解系,属于,的特征向量全体为,注意：对于重特征值，有可能有重数个线性无关的特征向量，也有可能没有重数个线性无关的特征向量.,证明 1）由条件知,则,第二节 相似矩阵与矩阵对角化条件,定义（相似矩阵）对于 n 阶方阵 若存在可逆阵，使 ，则称 相似于 ，记作 .（ 称为相似变换矩阵）,相似为一等价关系.,有如下重要性质:,因为 P 可逆，故, 其中,为初等矩阵,于是有,等价, 故,性质 2 若,，则,性质4 若,，则,与,的特征多项式相同，从而,与,的特征值也相同.,故,若一矩阵与对角矩阵相似, 称此矩阵可对角化
4、.下面讨论,矩阵可对角化的条件.,定理 5,阶方阵,相似于对角阵的充要条件是,有,个线性无关的特征向量.,线性无关.,将必要性证明的推导过程倒推上去，即可得,相似于对角阵。,注意 : 本推论的逆不成立。例如上节例1中的,有3个线性无关的特征向量，故,相似于对角阵。但,的3个特征值不互异。,即,（）设,有,（）,即,并易得,第三节. 实对称矩阵的对角化一. 向量的内积与正交矩阵,向量的内积满足如下性质:,定义3（向量内积）设,；,（正定性）,）,）,即,当,时，,于是引入如下定义： 定义5（向量的夹角）对于,当,正交向量组：两两正交的一组非零向量；,标准正交向量组：由单位向量组成的正交向量组.定
5、理 7 若,是正交向量组，则,线性无关.,证明 设,正交基：由正交向量组构成的向量空间的基； 标准正交基(或单位正交基)：由标准正交向量组构成的向量空间的基.,（线性无关），故,从而取,又从上式可得,等价.,则要求成立,表明,一般已求得正交向量组,与,等价.,令,与上式两边作内积得：,定理10 的证明给出了将一个线性无关的向量组,正交化的步骤：,如果再将正交向量组,单位化，即令,则,是与,等价的标准正交向量组.,化为与,等价的标准正交向量组,的过程称为施密特,（Schmidt）正交化方法.,解 易见,由上述过程把一个线性无关的向量组,则,而且,令,（考虑为什么?),再令,的一个标准正交基.,例
6、8 设,求,与,的夹角以及与,都正交的向量. 解,解之得,事实上，设,，则,4,证明 1显然；又由,3,也是正交阵.,取行列式得,是正交阵,的列向量组是标准正交的,的行向量组标准正交.,由 2 可得,由以上讨论容易验证下面三个实方阵都是正交阵：,于是,四. 实对称阵的对角化,若实矩阵A 满足,，则称,为实对称阵.,定理 4.1 实对称阵的特征值必为实数.,定理 4.2 实对称阵,的属于不同特征值的,特征向量相互正交.,定理 4.3 对于任意实对称阵 A，必存在正交矩阵,，使得,求正交矩阵,例 10 设,的特征向量为,，属于,的特征向量为,令,即所求的正交矩阵.且,为对角阵.,都应与,正交，即有,得一特征向量,可由下式得到：,联立解得为,将正交的,单位化：,于是,
