1、线性代数,第二章: 行列式,第一节 行列式的定义,例: 二元一次方程组,当,时, 有惟一解,定义:,为二阶行列式.,则解可表为:,阶行列式的递归定义.,定义（余子式）,中，划去 位置,例如,则,阶行列式的定义为:,上式也称为行列式按第一行展开.,如 3 阶行列式为:,也记:,例: 下三角行列式,的根.,例: 求方程,第二节 行列式的性质与计算,定理 2.1（展开定理）对于,成立,阶行列式,或,(行列式按第 行展开),(行列式按第 列展开),当行列式的某行或列有较多的零时, 展开较方便.,定理 2.2,即:,证明: (用归纳法),例:,定理 2.3,(1),注: 关于行成立的行列式性质, 关于列
2、也成立.,行列式的“加法”:,(2),（注意：只拆一行，其余行不变）,例如:,定理 2.4 : 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号.,证明: (用归纳法, 只证“行”情形),假设交换 两行后,得行列式,即,阶）,阶）,由归纳假设知,于是,如,推论 1 行列式有两行（或两列）元素对应相同，行列式为零.,推论 2 行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零.,例如,记号:,注意: (以3阶为例),1.,2.,(注意 “加到” 与“加上” 的区别),几个特殊的行列式：,1.,2.,3.,范德蒙(Vandermonde)行列式,证明: 用归纳法证明.,行的 倍,于是,当 n=3时,.
3、 例如,. 如,行列式的计算,1. 用行列式性质将行列式化为特殊行列式计算,(特殊行列式: 上三角行列式, 范德蒙行列式等.),例1 计算行列式,的值.,解,解,例3 计算行列式,的值, 其中,解,2. 直接利用展开定理计算行列式.,( 适用于某行或列有较多零时),例4 计算 n 阶行列式,的值.,解,3. 行(列)和相等的行列式.,例5 计算 n 阶行列式,的值.,解: 将第2列到第n列加到第1列,第2行到 第n行减 第一行,4. 箭头型行列式.,例6 计算行列式,6. 递推公式法.,找出 与 或 与 之间的递推公式.,例7 计算行列式,的值.,解: 将行列式按第1列展开,例8 计算行列式,
4、的值.,(三对角行列式),解: 将行列式按第1列展开,可得递推关系：,其中,于是得到,例 证明,证明:第二、第三列元素分别加到第一列元素，再 提取第一列的公因子 2,若 为 阶矩阵, 则,E-mail: ,密码: xiandai,习题一的解答已放在此邮箱.,习题的参考答案与提示可在,线性代数学习指导（洪毅主编）,中找到.,第四节 克莱姆(Cramer)法则,引理,为 阶矩阵,例 设,解：1）代数余子式是第3列的，,它们的系数是第1列的，从而，,因为,=,=0+0=0,故,=,逆矩阵公式,定义,阶矩阵,的伴随矩阵为,公式:,若 可逆, 则,注:,在作题时常用.,求,解,解,克莱姆法则,线性方程组,的系数行列式为,其中,证明 记,则方程组为,此方程组有唯一解:,故有,例 利用Cramer法则，求下列方程组的解.,解 系数行列式,由Cramer法则,解存在唯一.,
