1、第五节 数列的综合应用,1解答数列应用题的步骤 (1)审题仔细阅读材料，认真理解题意 (2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征 (3)求解求出该问题的数学解 (4)还原将所求结果还原到原实际问题中,具体解题步骤用框图表示如下：,2数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差 (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比 (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与a
2、n1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn1之间的递推关系,银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 【提示】 单利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1rn)，属于等差模型 复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1r)n，属于等比模型,1(人教A版教材习题改编)等比数列an的前n项和为Sn，若a11，且4a1，2a2，a3成等差数列，则S4( ) A7 B8 C15 D16【答案】 C,2有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A6秒钟 B7
3、秒钟 C8秒钟 D9秒钟【答案】 B,4(2013东城调研)已知an是等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10_【答案】 110,【答案】 4,1(1)本题的切入点是求a1，从而得an与Sn的关系，转化成等比数列求通项公式；(2)递减的等差数列的前n项和有最大值，运用函数思想求解 2等差数列与等比数列的联系： (1)若数列an是等差数列，则数列aan是等比数列，公比为ad，其中a是常数，d是an的公差(a0且a1) (2)若数列an是等比数列，且an0，则数列logaan是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且a0，a1，q是an的公比,【
4、思路点拨】 (1)an与bn分别是两个等比数列的前n项和 (2)解不等式bnan，求n的最小值,1解答本题时，理解题意是关键，其中an，bn是等比数列的前n项和，而非第n项 2数列应用问题的核心是建立数学模型，往往从给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型 3与等比数列联系密切的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题，这都与等比数列有关,(2012湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000万元，将
5、其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年奖金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元 (1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式； (2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示),数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角函数、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度，解决此类题目要重视知识的交汇1.数列是一种特殊的函数，故应用函数的观点与思想认识数列 2等差(或等比)数列是最基本、最重要的数列，
6、有的数列常转化为等差或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题,1.数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性) 2转化化归思想，an与Sn转化，一般数列与特殊数列的转化等,数列的综合应用是高考的重点内容，重点考查学生分析问题和解决问题的能力从高考命题来看，本考点突出知识的交汇，题型多样，小题“以小见大”，解答题往往需运用数列与其他知识(方程、不等式、函数)综合解决，创新能力要求高，突出数学思想方法的考查,思想方法之十 化归与转化思想在数列中的应用(2012天津高考)已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.
7、 (1)求数列an与bn的通项公式； (2)记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明Tn122an10bn(nN*),易错提示：(1)错位相减求和，弄错数列的项数 (2)转换运算能力差，求错an，bn的通项公式，难以将anbn的前n项和转化为特殊数列求和 防范措施：(1)抓住数列的特征，正确计算，掌握一些特殊数列求和的方法 (2)在写出“Tn”与“qTn”的表达式时，注意将两式“错项对齐”，转化为等比数列求和,1(2012四川高考改编)设函数f(x)(x3)3x3，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)0，则a1a2a7( ) A0 B7 C14 D.21 【解析】 yx3x是单调递增的奇函数， f(x)(x3)3(x3)关于点(3，0)对称，且是增函数，,又an是等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)0， f(a4)0，即(a43)3(a43)0， 则a43，于是a1a2a77a421. 【答案】 D,课后作业（三十三）,
