1、多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式 f(x),g(x), 是否有 g(x) 整除f(x)以及与此相关的多项式的最大公因式, 多项式的因式分解等问题. 在讨论一元多项式的整除性理论时,带余除法是 一个重要定理, 它给出了判断多项式 g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项式根的理论基础.,1-3 多项式的整除性和带余除法,带余除法定理:对于Px中任意两个多项式f(x)与g(x),其中(g(x)0,一定有Px中的多项式q(x)和r(x)存在,使得,Definition5.(整除的定义) 称Px上的多项式g(x) 整除f(x),如果存在Px上的多项式
2、h(x), 使得,g(x)0, g(x)f(x)等价于 g(x)除 f(x)的余式零. q(x)和r(x)的求法与中学的方法基本相同. 在做除法时, 可以分离系 数, 因为次多项式是由它的1 个系数唯一确定的, (做除法时按降幂排列).,由定义不难看出 1.零多项式被任意一个多项式整除; 2.零多项式不能整除任意非零多项式; 3.任意多项式一定整除它自身. 4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式. 当g(x)0时,由带余除法定理得到 Theorem1.对于Px中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.,整除性的几个
3、常用性质: 1.任一多项式 f(x)都能被 cf(x) 整除 2.如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),则f(x)=cg(x)(c0); 3.如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),则 f(x)|h(x); 4.如果g(x)|f(x),则对任意多项式u(x) 都有 g(x)|u(x)f(x); 5.如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意多项式u(x),v(x) 都有f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x);,值得注意的是:多项式的整除不是运算, 它是x元素间的一种关系, 类似于实数集 R 元素间的大小关系, 相等关系; 多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的.即当数域扩充时, 作为扩充后的数域上的多项式 f(x)和g(x), g(x) 除f(x)的商式和余式仍 然是上面的q(x)和r(x).,为什么?,补充:综合除法,课堂小结,1.整除的概念及性质 2.带余除法定理 3.整除的定义及性质 4.整除与带余除法的关系 5.综合除法原理,作业： 认真复习总结所学知识，作学习笔记； P442、3、4,认真地完成,
