1、问题 7 平面向量中最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解 .如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷 .1.平面向量线性运算问题的常见
2、类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处 .解决此类问题的常用方法是：利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用求解(较难)；建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果 .3坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂
3、的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性.三、知识拓展1 .2 四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量 a和 b,它们的夹角为 ,把数量 cosab叫做 a和 b的数量积(或内积),记作 ab.即ab= cos,规定 0,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 = cs；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a( x1,y1),b( x2,y2),则 ab x1x2 y1y2；（3）运用平面
4、向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算【例 1】 【江苏省苏州市 2019 届高三上学期期末】如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，M，N 分别是边BC，CD 上的两个动点，且 BMDNMN，则 的最小值是_【答案】【分析】由题意，以点 A为原点，建立的平面直角坐标系，设点 ，其中 ，则向量求得 ， 再由 ，整理得 ，利用基本不等式，即可求解.【解析】由题意，以点 A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点 ，其中 ，则向量 ，所以又由 ，则 ，整理得 ，又由 ，设 ，整理得 ，解得 ，所以 ，所以 的最小值为 .【点评】与几何图形有关的平面向量的数量积的运算及应用，常
5、通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算求解【小试牛刀】【江苏省盐城中学 2018 届高三上学期期末】已知 ABC的周长为 6,且 ,BCA成等比数列,则 BAC的取值范围是_【答案】【解析】因为 ,BCA成等比数列,所以 ,从而 02b,所以,又,即 ,解得 ,故.(二) 平面向量模的取值范围问题设 ,)axy,则 ,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求【例 2】已知向量 ,abc满足 a与 b的夹角为 4, ,则 ca的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角
6、坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设 ；以 OA 所 在 直 线 为 x,O 为 坐 标 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , a与 b的夹角为 4,则 A（ 4,0） ,B（ 2,2） ,设 C（ x,y） , x2+y2-6x-2y+9=0,即 （ x-3） 2+（ y-1） 2=1 表 示 以 （ 3,1） 为 圆 心 ,以 1 为 半 径 的 圆 ,ca表 示 点 A,C 的 距 离 即 圆 上 的 点 与 点 A（ 4,0） 的 距 离 ； 圆 心 到 B 的 距 离 为 , c的 最 大 值 为
7、12【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键【小试牛刀】 【2018 届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量 OA和 B满足 a, OBb,且 21a, 0OAB,若向量 ,且,则 C的最大值为_【答案】32【解析】因为 OAa, Bb,且 21a, 0OAB, ,如图,取 AB中点 D,则, D, ,由可得, 1DC, 在以 D为圆心, 1为半径的圆上, 当OC，, D共线时最大, O的最大值为32,故答案为 .(三) 平面向量夹角的取值范围问题设 1(,)axy, 2(,)bxy,且 ab的夹角为
8、 ,则 【例 3】已知向量OA与 B的夹角为 , 0t在 时取得最小值,当 015t时,夹角 的取值范围为_. 【分析】将 PQ表示为变量 t的二次函数 PQ,转化为求二次函数的最小值问题,当 时,取最小值,由已知条件 015t,得关于夹角 的不等式,解不等式得解【解析】由题意知, , ,所以,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时, .由题意可得, ,求得 ,所以 32.【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解【小试牛刀】已知非零向量 满足 ,若函数 在 R 上存在极值,ab2则 和 夹角的取值范围为 a
9、b【答案】,3【解析】 ,设 和 夹角为 ,因为 有极值,所以 ,即abfx,即 ,所以 1cos23（四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围【例 4】已知 2,a, 5,3b,且 a与 b的夹角为锐角,则 的取值范围是 【分析】 与 的夹角为锐角等价于 0,且 与 不共线同向,所以由 0ab,得 31,再除去a与 b共线同向的情形【解析】由于 与 的夹角为锐角, 0ba,且 与 不共线同向,由 ,解得310,当向量 a与 b共线时,得 65,得 5,因此 的取值范围是 3
10、10且 56【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是 0,而三角形内角范围是 (,),向量夹角是锐角,则 cos0,且 cs1,而三角形内角为锐角,则 cos【小试牛刀】 【江苏省泰州中学 2018 届高三 10 月月考】如图,在 ABC中, .（1）求 ABC的值；（2）设点 P在以 为圆心, AB为半径的圆弧 C上运动,且 ,其中 ,xyR.求 x的取值范围.【解析】 （1） .（2）建立如图所示的平面直角坐标,则 .设 ,由 ,得 .所以 .所以 .因为 ,所以,当26时,即 3时, xy的最大值为 1；当 或 即 0或23时, xy的最小值为 0.五、迁移运用1 【江苏
11、省南通、扬州、泰州、苏北四市七市 2019 届高三第一次（2 月)模拟】在平面四边形 中， 则 的最小值为_【答案】【解析】如图，以 A 为原点，建立平面直角坐标系，则 A（0,0） ，B（1,0） ，因为 DADB，可设 D（ ，m） ，因为 ，AB1，由数量积的几何意义知 在 方向的投影为 3，可设 C（3，n） ，又 所以， ，即， ，当且仅当 ，即 n1，m 时，取等号，故答案为 .2 【江苏省无锡市 2019 届高三上学期期末】已知点 P 在圆 M： (x-a) 2 +(ya+2) 2 1 上， A，B 为圆 C： x 2 +(y-4)2 4 上两动点，且 AB 2 , 则 的最小值
12、是_【答案】【解析】取 AB 的中点 D，因为 AB 2 ，R2，CD 1，所以， .C（0,4） ，M（ a， a2）当 C、D、P、M 在一条直线上时，PD最小，此时，PDCMCDPM所以， 1912 ，当 a3 时取到最小值 1912 .故答案为： .3 【江苏省清江中学 2019 届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系 中，已知点 为圆上的两动点，且 若圆 上存在点 使得 则正数 的取值范围为_.【 答案】【解析】设 BD 的中点为 D,所以 所以点 D 在以原点为圆心，以 1 为半径的圆上，所以点 D 的轨迹方程为 ，因为 ，所以设所以 所以 m 表示动点 到点（1,1）的距离，
13、由于点 在圆 上运动，所以 ，所以正数 m 的取值范围为 .故答案为：4 【江苏省如皋市 2018-2019 学年高三数学第一学期教学质量调研】在ABC 中，D 为 AB 的中点，若，则 的最小值是_【答案】 【解析】根据 D 为 AB 的中点，若 ，得到 ，化简整理得 ，即 ，根据正弦定理可得 ，进一步求得 ，所以 ，求导可得当 时，式子取得最大值，代入求得其结果为 ，故答案为 .5 【江苏省常州 2018 届高三上学期期末】在 ABC中, 5, 7AC, 3B, P为 ABC内一点（含边界）,若满足 ,则 P的取值范围为_【答案】52,84【解析】由余弦定理,得 ,因为 P为 ABC内一点
14、（含边界）,且满足,所以30,4,则.6 【江苏省南通市 2018 届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形 ABCD的边长 2, 1AD.点 P, Q分别在边 BC, D上,且 ,则 APQ的最小值为_.【答案】 42【解析】以 A 坐标原点,AB,AD 所在直线为 x,y 轴建立直角坐标系,设 所以 PQ因为 ,所以 因为 ,所以 因此 7 【江苏省如皋市 2017-2018 学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点 P是边长为 23的正三角形 ABC内切圆上的一点,则 PAB的取值范围为_.【答案】 31【解析】以正三角形 的中心为原点,以 边上的高为 y轴建立坐标系,则 ,正三角形 A
15、BC内切圆的方程为21xy,所以可设 ,则, ,故答案为 3,.8 【南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试】如图 是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点” 若 ,ABCD四点均位于图中的“晶格点”处,且 ,AB的位置所图所示,则ABCD的最大值为_【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知 ABCD取最大值时 ,即ABCD9 【江苏省泰州中学 2018 届高三 12 月月考】已知单位向量 a, b的夹角为 120,那么2axb（ R）的最小值是_【答案】 3【解析】 2axb的最小值为 3. 10 【江苏省溧阳市 2017-2018 学年高
16、三第一学期阶段性调研】扇形 AOB中,弦 2C， 为劣弧 AB上的动点, AB与 OC交于点 P,则 B的最小值是_【答案】14【解析】设弦 AB 中点为 M,则若 ,MPB同向,则 0OP,若 ,MB反向,则 0OP,故 的最小值在 反向时取得,此时 ,则 ： ,当且仅当 时取等号,即 OPB的最小值是14.11已知 AB为圆 O的直径, M为圆 的弦 CD上一动点, 8AB, 6CD,则 MAB的 取值范围是 【答案】 9,0【解析】试题分析： ,而 ,所以 MAB的取值范围是9,012在 ABC中, ,则角 A的最大值为_. 【答案】 6【解析】试题分析:由题设可得 ,即 ,也即 ,故
17、,由于 ,因此 ,故,所以 ,所以 6maxA,应填答案 .13在平面内,定点 ,ABCD满足 ,动点PM满足 ,则 M的最大值是_.【答案】 321【解析】试题分析:设 ,则 .由题设可知 ,且 .建立如图所示的平面直角坐标系,则 ,由题意点 P在以 A为圆心的圆上,点M是线段 PC的中点.故结合图形可知当 CP与圆相切时, BM的值最大,其最大值是 123.应填答案321. 14 【2018 届江苏省泰州中学高三 12 月月考】在矩形 ABCD中, 3, 1A,若 M, N分别在边BC, D上运动（包括端点,且满足 ,则 MN的取值范围是_【答案】1,9【解析】分别以 AB,AD 为 x,
18、y 轴建立直角坐标系,则 ,设,因为 ,所以3xb,则 , 故 ,所以 ,故填1,9.15.在 ABC中,点 D在线段 BC的延长线上,且12BCD,点 O在线段 C上（与点 ,D不重合）,若,则 x的取值范围是_【答案】 2,0【解 析】 因为 ,因为12BCD,点 O在线段 C上,所以 0y,因为 ,所以 2,0x. 16已知向量 , ,其中 , 都是正实数,若 ,则 的最小值是2ax1byxyab2txy_【答案】 4【解析】由 ,得 ,即 ,所以 又 , 都是正实数,所以ab0 2xyy当且仅当 时取得等号,此时 , ,故答案为： x21417在 中,已知 , ,则 的最大值为 .ABC3CABur【答案】32【解析】 ,由余弦定理得： ,所以,当且仅当 时取等号32CABurab18已知 中, , , （ ）的最小值为 ,若 为边4A2CR23P上任意一点,则 的最小值是 P【答案】94【解析】令 ()f 216 ,当 时, 2( cos0A()f,因为 ,所以 ,则建立直角坐标系, ,232A(),设 ,则 , ,所以 (,0)Px4) PBC4x；当 时, ,解得2()4xcos0A()f1cos2A,所以 ,则建立直角坐标系, , ,设 ,则1cos3(0)A(,0)Px4), ,所以 综上所述,当 时, 取PBC259()4x52BC得最小值 94
