1、一、二阶线性微分方程解的结构,第七章 微 分 方 程,第四节 二阶常系数线性微分方程,二、二阶常系数线性微分方程的解法,三、应用举例,一、二阶线性微分方程解的结构,二阶微分方程的如下形式,y + p(x)y + q(x)y = f (x),称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.,f (x) 称为自由项，当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次微分方程，,简称二阶线性非齐次方程.,当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，,简称二阶线性齐次方程.,方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量的已知连续函数.,这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含 y 或
2、 y 或 y，,且每项均为 y 或 y 或 y 的一次项，,例如 y + xy + y = x2 就是二阶线性非齐次方程.,而 y + x(y)2 + y = x2 就不是二阶线性方程.,定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解，,y = C1 y1 + C2 y2,仍为该方程的解，,证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个解，,与,所以有,其中 C1， C2 是任意常数.,则函数,于是有,y + p(x)y + q(x)y,= 0,所以 y = C1y1 + C2y2 是 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解.,定义
3、设函数 y1(x) 和 y2(x) 是定义在某区间 I 上的两个函数，,k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0,不失一般性，,考察两个函数是否线性相关，,我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，,事实上，当 y1(x) 与 y2(x) 线性相关时，有 k1 y1 + k2 y2 = 0，,其中 k1, k2 不全为 0，,如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2，,使,在区间 I 上恒成立.,则称函数 y1(x) 与 y2(x) 在区间 上是线性相关的，否则称为线性无关.,即 y1 与 y2 之比为常数.,反之，若y1 与 y2 之比为常数，,则 y1 = l y
4、2，即 y1 - l y2 = 0.,所以 y1 与 y2 线性相关.,因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；,例如函数 y1 = ex，y2 = e -x，,所以，它们是线性无关的.,如果不是常数，则它们线性无关.,定理 2 如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解，,y = C1 y1 + C2 y2,是该方程的通解，,证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，,所以，由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解.,又因为 y1 与 y2 线性无关，
5、即 y1 与 y2 之比不为常数，,故C1 与C2不能合并为一个任意常数，,因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.,则,其中 C1, C2为任意常数.,所以它们中任一个都不能用另一个 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 来表示.,定理 3 如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个特解，,y = Y + y*，,是线性非齐次方程的通解.,证 因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x),和线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，,所以有,y* + p(x)y* + q(x)y* =
6、 f (x)，,Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .,Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，,则,又因为 y = Y + y*，,y = Y + y*，,所以,y + p(x)y + q(x)y,= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*),= (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*),= f (x).,求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：,(1) 求线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2，,得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2
7、y2.,(2) 求线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一个特解 y*.,那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*.,又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，,故 y = Y + y* 中含有两个任意常数.,即 y = Y + y* 是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通解.,这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解，,y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)，,y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，,和,y + p(x)y + q(x)y =
8、 f2 (x),定理 4 设二阶线性非齐次方程为,的特解，,证 因为 y1* 与 y2* 分别是 与 的特解，,y1* + p(x)y1* + q(x)y1* = f 1(x)，,与,y2* + p(x)y2* + q(x)y2* = f 2(x) .,于是有,= f 1(x) + f 2(x) ，,所以有,= y1* + p(x)y1* + q(x)y1*,+ y2* + p(x)y2* + q(x)y2*,即 y1* + y2* 满足方程 ，,二、二阶常系数线性微分方程的解法,如果二阶线性微分方程为,y + py + qy = f(x) ，,其中 p、 q 均为常数，,则称该方程为二阶常系
9、数线性微分方程.,设二阶常系数线性齐次方程为,y + py + qy = 0 .,考虑到左边 p，q 均为常数，,我们可以猜想该方程具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数.,将 y = rerx, y = r2erx 及 y = erx 代入上式，,erx (r2 + pr + q) = 0 .,1.二阶常系数线性齐次方程的解法,由于erx 0，因此，只要 r 满足方程,r2 + pr + q = 0，,即 r 是上述一元二次方程的根时，,y = erx 就是式的解.,方程称为方程的特征方程.,特征方程根称为特征根.,得,1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2，,2 特
10、征方程具有两个相等的实根，,这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解 y1 = erx.,还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2，,为此，设 y2 = u(x)y1，,其中 u(x)为待定函数.,将 y2 及其一阶、二阶导数 y2 = (uerx) = erx(u(x) + ru(x)，,y2 = erx (u(x) + 2ru(x) + r2u(x)， 代入方程 y+ py + qy = 0 中，得,因而它的通解为,所以 y1 与 y2 线性无关，,都是 的解，,即 r1 r2.,那么，这时函数,即,注意到 是特征方程的重根，,所以有 r2 + pr + q = 0,及 2r +
11、 p = 0.,且 erx 0，,因此只要 u(x) 满足,则 y2 = uerx就是 式的解，,为简便起见，取方程 u(x) = 0 的一个解 u = x，,于是得到方程 且与 y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx.,因此，式的通解为,3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a ib .,这时有两个线性无关的特解 y1 = e(a + ib )x 与 y2 = e(a - ib )x.,这是两个复数解，,为了便于在实数范围内讨论问题，,我们再找两个线性无关的实数解.,由欧拉公式,(这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得,于是有,由定理 1 知，以上两
12、个函数 eax cosbx 与 eax sinbx 均为 式的解，,且它们线性无关.,因此，这时方程的通解为,上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：,(1) 写出所给方程的特征方程；,(2) 求出特征根；,(3) 根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.,例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.,解 该方程的特征方程为 r2 - 2r 3 = 0, 它有两个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3,其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x,所以方程的通解为,例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0
13、的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.,解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，,求得,将 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2，,y = (1 + 2x)e2x.,其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，,所以通解为,因此，所求特解为,它有重根 r = 2.,例 3 求方程 2y + 2y + 3y = 0 的通解.,解 该方程的特征方程为 2r2 + 2r + 3 = 0，它有共轭复根,对应的两个线性无关的解为,所以方程的通解为,例 4 求方程 y + 4y = 0 的通解.,
14、解 该方程的特征方程为 r2 + 4 = 0，它有共轭复根 r1,2 = 2i. 即a = 0，b = 2.,对应的两个线性无关的解 y1 = cos 2x.,y2 = sin 2x.,所以方程的通解为,2.二阶常系数线性非齐次方程的解法,1 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x).,设二阶常系数线性非齐次方程为,y + py + qy = Pn(x),其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式.,当原方程 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0；,当 q = 0，但 p 0 时，,k 取 1；,当 p = 0， q = 0 时，k 取 2.,因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍
15、为多项式，,所以可设 式的特解为,其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式，,例 5 求方程 y - 2y + y = x2 的一个特解.,解 因为自由项 f (x) = x2 是 x 的二次多项式，,则,代入原方程后，有,且 y 的系数 q = 1 0，取 k = 0 .,所以设特解为,比较两端 x 同次幂的系数，有,解得,A = 1，B = 4，C = 6.,故所求特解为,例 6 求方程 y + y = x3 x + 1 的一个特解.,解 因为自由项 f (x) = x3 x + 1 是一个 x 的三次多项式，,则,代入原方程后，有,且 y 的系数 q = 0， p = 1 0，取
16、k = 1.,所以设方程的特解为,比较两端 x 同次幂的系数：,解得,故所求特解为,2 自由项 f (x) 为 Aeax 型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y + py + qy = Aeax，,其中 a，A 均为常数.,由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，,其中 B 为待定常数，,当 a 不是 式所对应的线性齐次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时，取 k = 0；,当 a 是其特征方程单根时，取 k = 1；,当 是其特征方程重根时，取 k = 2.,因此，我们可以设 的特解,例 7 求方程 y + y + y = 2e2x 的通解.,解 a = 2 它不
17、是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,例 8 求方程 y + 2y - 3y = ex 的特解.,解 a = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的单根，取 k = 1，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,3 自由项 f (x) 为 eax (Acos wx + Bsin wx)型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y + py + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)，,其中 a，A ，B 均为常数.,由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，,正弦函数
18、与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，,因此, 我们可以设 有特解,其中 C，D 为待定常数.,取 k = 0，,是根时，,取 k = 1，,代入 式，求得 C 及 D.,当 a + wi 不是 式所对应的齐次方程的特征方程的根时，,例 9 求方程 y + 3y - y = ex cos 2x 的一个特解.,解 自由项 f (x) = ex cos 2x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，,则,且 a + wi = 1 + 2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程 r2 + 3r 1 = 0 的根，,取 k = 0，所以设特解为,代入原方程，得,比较两端 cos
19、 2x 与 sin 2x 的系数，得,解此方程组，得,故所求特解为,例 10 求方程 y + y = sin x 的一个特解.,解 自由项 f (x) = sin x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，且 a = 0，w = 1，,则,代入原方程，得,且 a + wi = i 是特征方程 r2 + 1 = 0 的根，,取 k = 1，所以，设特解为,比较两端 sinx 与 cosx 的系数，得,故原方程的特解为,而对应齐次方程 y + y = 0 的通解为,Y = C1cosx + C2sinx.,故原方程的通解为,例 11 方程 y + 4y = x +1 + sinx
20、 的通解.,解 自由项 f (x) = x +1 + sinx可以看成 f1 (x) = x +1 和 f2 (x) = sin x 之和，,y + 4y = x +1，,y + 4y = sin x .,和,方程 的特解易求得，,设方程 的特解为,的特解.,所以分别求方程,代入，得,3Asin x = sin x.,所以,得原方程的特解,原方程所对应的线性齐次方程为 y + 4y = 0，其通解为,Y = C1cos 2x + C2sin 2x，,故原方程的通解为,三、应用举例,例 12 弹簧振动问题,设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体，,当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重
21、力与弹性恢复力大小相等，方向相反，,设给物体一个初始位移 x0 初速度 v0，,则物体便在其平衡位置附近上下振动.,已知阻力与其速度成正比，,试求振动过程中位移 x 的变化规律.,物体在振动过程中，受到两个力的作用：,ma = - kx mv,其中 a 为加速度，,v 为速度，,解 建立坐标系，平衡位置为原点, 铅垂方向为 x 轴的正向，则物体位移 x 是时间 t 的函数 x = x(t).,根据牛顿第二定律 F = ma，知,负号表示阻力 f2 与速度 v 方向相反，,其中 m 为比例系数大于 0 ( 或称阻尼系数 )，,阻力 f2 与速度 v 成正比， f2= - mv,负号表示弹性恢复力
22、与位移 x 方向相反；,其中 k 为弹性系数大于 0，,由胡克定律知， f1= - kx，,弹性恢复力 f1 与阻力 f2，,则上式方程可表示为,称为振动的微分方程，,是一个二阶常系数线性齐次方程，,它的特征方程为 r2 + 2nr + w2 = 0，,其根为,那么，上式变为,这里 n，w 为正常数，,由题意列出初始条件,于是，上述问题化为初值问题：,下面分三种情况来讨论,1 大阻尼情形，即 n w .,是两个不相等的实根. 所以方程的通解为,2 临界阻尼情形，即 n = w.,这时，特征根 r1 = r2 = - n，所以方程的通解为,3 小阻尼情形，即 n w .,这时，特征根为共轭复数,所以方程的通解为,上式也可写成,对于 1， 2,情形，x(t) 都不是振荡函数，,且当 t + 时， x(t) 0，,即物体随时间 t 的增大而趋于平衡位置.,对于 3 的情形，虽然物体的运动是振荡的，,但它仍随时间 t 的增大而趋于平衡位置，,总之，这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止，,称为弹簧的阻尼自由振动.,
