1、周至五中 巨海斌1第三章 导数及其应用高考导航考纲要求 备考策略1.导数的概念及其几何意义(1)了解导数的概念的实际背景；(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数 yC(C 为常数)，yx，yx 2，y x 3，y ， y 的导数；1x x(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数( 仅限于形如 f(axb)的复合函数) 的导数.3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) ；(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2、会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次) ；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；(2)了解微积分基本定理的含义.导数是初等数学与高等数学的衔接点，也是研究函数的重要工具，湖南省2011 年考查本章内容的是第 6、8、22题，共计 23 分，占总分的 15%以上.一般以选择、填空题的形式考查导数的运算与导数的几何意义或微积分的知识；对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式
3、进行考查，例如一些不等式恒成立、参数的取值范围、方程根的个数、不等式的证明等问题.复习时采用以下应对策略：1.重视对导数定义的理解，熟练掌握求导公式和运算法则，以及求积分公式，这是基础.2.加强利用导数求函数的单调区间、极值、最值等方法与步骤规范化训练，这是基本功.3.专项训练利用导数解答不等式恒成立、参数的取值范围、方程根的个数、不等式的证明、实际应用等问题，以便达到识型、合法、能解的目的.知识网络周至五中 巨海斌23.1 导数的概念与运算考点诠释重点：导数的概念，导数的几何、物理意义及其应用.难点：对导数定义的理解，特别是对表达式 f(x0) 的理解及运用；limf(x0 x) f(x0)
4、x简单复合函数求导.典例精析题型一 导数的概念【例 1】(1)设 f(x)在 xx 0 附近有定义，且 1，求 f(x0)的值；0lihf(x0 2h) f(x0)h(2)设函数 f(a)3，求 的值.0limxf(a 3x) f(a x)2x【思路分析】由导数的定义可得 f(x0)的极限表达式，借此可寻找导数与极限之间的联系.【解析】(1)令2h x，则1 0lihf(x0 2h) f(x0)h 0lif(x0 x) f(x0) 12x2 2f (x0)，所以 f(x0) .0limxf(x0 x) f(x0)x 12(2) 2 2f(a)6.0lixf(a 3x) f(a x)2x 0li
5、mf(a 3x) f(a x)3x ( x)【方法归纳】定义是数学知识的基础， “回到定义去”是解决数学问题的基本策略.本例主要考查导数的概念、极限的运算以及代数式的变形，其中导数的概念是解题的关键.注意导数是函数值增量与自变量增量比值的极限(自变量增量无限趋近于零时) ，解题时必须把握好增量的对应性，即函数值增量必须是相应自变量的函数值的差值.【举一反三】1.物体在某一受力状态下的位移 s(t)(单位： m)与运动时间 t(单位：s) 的关系为：s (t)t 3(t0).(1)利用导数的定义求 s(t)；(2)求该物体在 t2 秒时的瞬时速度 v(2).【解析】(1) ss(tt) s(t)
6、(tt )3t 3t(3t 23tt t2)， 3 t23ttt 2，s(t) (3t23 ttt 2)3t 2.st 0limxst 0lix(2)该物体在 2 秒时的瞬时速度就是 s(t)在 t2 处的导数， v (2)s(2)32 212(m/s).题型二 求已知函数的导数【例 2】 求下列函数的导数：(1)yx 2sin x； (2)y3 xex2 xe； (3)y ； (4)ysin 32x.ln xx2 1【思路分析】(1)(2)利用积的导数运算法则；(3) 利用商的导数运算法则求导；(4) 是一个复合函数，首先找出中间量 u2x，vsin u，yv 3，然后利用复合函数求导法则求
7、导.【解析】(1)y(x 2)sin xx 2(sin x)2xsin xx 2cos x.周至五中 巨海斌3(2)y(3 xex)(2 x)(3 x)ex3 x(ex)(2 x)3 xln 3ex3 xex2 xln 2(ln 31)(3e) x2 xln 2.(3)y .(ln x)(x2 1) ln x(x2 1)(x2 1)2 1x(x2 1) ln x2x(x2 1)2 x2 1 2x2ln xx(x2 1)2(4)y3(sin 2x) 2(sin 2x)6sin 22xcos 2x.【方法归纳】理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件.运算过程出现失误，原因是
8、不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则.求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因，从本例可以看出，深刻理解和掌握导数的运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算.【举一反三】2.求下列函数的导数：(1)yln(x )； (2)y(x 22x3)e 2x； (3)y .1 x23 x1 x【解析】(1)y (x ) (1 ) .1x 1 x2 1 x2 1x 1 x2 x1 x2 11 x2(2)y(2x2)e 2x2( x22x3)e 2x2( x2x2)e 2x.(3)y ( ) ( ) x (1x) .13 x1 x 3231 x x(1 x)2 13 x1 x 3
9、1(1 x)2 1343题型三 导数的几何意义及应用【例 3】已知函数 f(x)x 3x16.(1)求曲线 yf(x )在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线 yf(x )的某一切线与直线 y x3 垂直，求切点坐标与切线的方程.14【思路分析】已知切点的坐标求切线的方程，可利用导数求出过切点的切线的斜率，再用点斜式即可求出切线的方程.【解析】(1)可判定点(2，6)在曲线 yf (x)上.f(x )( x3x16)3x 21，f(x)在点(2 ，6)处的切线的斜率为 kf (2)13，即 y13x32.
10、(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线 l 的斜率为 f(x0)3x 1，20直线 l 的方程为 y(3 x 1)(xx 0)x x 016，又直线 l 过点(0,0) ，20 300(3x 1)(x 0)x x 016，整理得，x 8，x 02，20 30 30y 0(2) 3(2)16 26，k3(2) 2113.直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26).(3)切线与直线 y 3 垂直，切线的斜率为 k4.x4设切点的坐标为(x 0，y 0)，则 f(x0)3x 14，x 01，Error!或Error!20切线方程为 y4( x1)14 或 y4(x1) 18.即 y4x1
11、8 或 y4x14.【方法归纳】根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法，灵活运用 xx 0 处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键.由导数的几何意义可知，点(x0，f(x 0)处的切线方程为 yf (x0)(xx 0)f(x 0).若不知道切点坐标，应根据导数的几何意义列方程求出切点坐标.【举一反三】3.设曲线 y 在点(3,2)处的切线与直线 axy10 垂直，则 a 等于( x 1x 1B )A.2 B.2 C. D.12 12周至五中 巨海斌4【解析】y ，ky| x3 ，又k(a)1，a2，故选 B.2(x 1)2 12体验高考(2011 大纲全国)曲线 ye 2
12、x 1 在点(0,2)处的切线与直线 y0 和 yx 围成的三角形的面积为( )A. B. C. D.113 12 23【解析】依题意得 ye 2x (2) 2e 2x ，y |x0 2e 20 2，曲线 ye 2x 1在点(0,2)处的切线方程是 y22x，即 y2x 2.在坐标系内画出直线y2x2，y 0 与 yx，注意到直线 y2x 2 与 yx 的交点坐标是( ， )，直线23 23y2x2 与 x 轴的交点坐标 是 (1,0)， 结 合 图 形 不 难 得 知 ， 这 三 条 直 线 所 围 成 的 三 角 形 的 面积等于 1 ，故选 A.12 23 13【举一反三】(2011 山
13、东)若 f(x)x 22x 4ln x，则 f(x) 0 的解集为( C )A.(0， ) B.(1,0)(2 ，) C.(2，) D.(1,0)【解析】因为 f(x)2x 2 ，所以Error!解不等式组得 x2，故选 C.4x3.2 导数的应用(一 )考点诠释重点：函数的单调性与导数的关系，极值与最值的求法.难点：f(x)与 f(x)在某个区间上单调性的关系.典例精析题型一 导数与函数的单调性【例 1】已知函数 yx 3ax 6 的一个单调递增区间为(1，) ，求 a 的值及函数的其他单调区间.【思路分析】函数 f(x)的一个单调区间是(1，) ，则 f(1)0.【解析】y3x 2a.函数
14、的一个递增区间为(1，)，1 是方程 y0 的一个根，31 2a0，a3.y3x 23.由 3x230，得 x1 或 x1，(1，) ，(，1)是函数的递增区间 .由 3x230 ，得1x1，(1,1)是函数的一个递减区间.综上所述，a 的值为 3，函数的递增区间为(，1) 和(1，)，递减区间为( 1,1).【方法归纳】判断函数的单调性时，先要明确函数的定义域，然后对函数求导，再解不等式 f(x)0.f( x)0 的解对应的区间就是函数的单调增区间；f(x)0 的解对应的区间就是函数的单调减区间，这种方法只对可导函数适用.【举一反三】1.讨论函数 yx 3ax 的单调性.【解析】由题意知，y
15、3x 2a.当 a0 时，y 0，则函数在 R 上单调递增；当 a0 时，若 x( ， )，则 y0，此时函数单调递减； a3 a3若 x( ， )或( ，)时，则 y0，此时函数单调递增. a3 a3所以当 a0 时，函数在 R 上单调递增；当 a0 时，函数在(， )和( ，) 上单调递增，在 ( ， )上单 a3 a3 a3 a3周至五中 巨海斌5调递减.题型二 导数与函数的极值【例 2】(2011 安徽)设 f(x) ，其中 a 为正实数.ex1 ax2(1)当 a 时，求 f(x)的极值点；43(2)若 f(x)为 R 上的单 调函数，求 a 的取值范围.【思路分析】对函数 f(x)
16、求导，(1)中令 f(x)0，求根列表得极值点；(2)由单调性转化为不等式恒成立来求解.【解析】f(x) ex . 1 ax2 2ax(1 ax2)2(1)当 a 时，若 f(x)0，则 4x28x 30，解得 x1 ，x 2 ，43 32 12结合可知：x(， )12 12( ， )12 32 32( ，)32f(x) 0, 0 f(x) 极大值 极小值所以 x1 是极小值点，x 2 是极大值点.32 12(2)若 f(x)为 R上 的 单 调 函 数 ， 则 f (x)在 R 上不变号，结合与条件 a0，知ax22ax10 在 R 上恒成立，因此 4a 24a4a( a 1)0，由此并结合
17、 a0，知0a1.【方法归纳】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数 f(x)来讲，f( x)在点 xx 0 处取极值的必要条件是 f(x)0.但是，当 x0 满足 f(x0)0 时，f(x )在点 xx 0 处却未必取得极值，只有在 x0 的两侧 f(x)的导数异号时，x 0 才是 f(x)的极值点.并且如果 f(x)在 x0 两侧满足“左正右负” ，则 x0 是 f(x)的极大值点，f (x0)是极大值；如果 f(x)在 x0 两侧满足“左负右正” ，则 x0是 f(x)的极小值点，f(x 0)是极小值.【举一反三】2.已知 f(x)ax 3bx 2cx(a0)在 x1 时取得极值，且 f
18、(1)1.(1)试求常数 a，b，c 的值；(2)试判断 x1 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由 .【解析】(1)f(x)3ax 22bx c.因为 x1 是函数 f(x)的极值点，所以 x1 是方程 f(x)0，即 3ax22bxc0 的两根.由根与系数的关系，得Error! 又 f(1)1，所以 abc 1.由解得 a ，b0，c .12 32(2)由(1)得 f(x) x3 x，所以当 f(x) x2 0 时，有 x1 或 x1；12 32 32 32当 f(x) x2 0 时，有 1x1.所以函数 f(x) x3 x 在(，1)和(1 ，) 上32 32 12 32是增函数，在
19、(1,1)上是减函数.所以当 x1 时，函数取得极大值 f(1)1；当 x1 时，函数取得极小值 f(1)1.题型三 导数与函数的最值周至五中 巨海斌6【例 3】求函数 f(x)ln(1x) x2 在区间0,2上的最大值和最小值 .14【思路分析】先求出函数 f(x)在0,2上的极值，再求出 f(0)、f(2)，比较大小便可得出最大、最小值.【解析】f(x) x，令 x0，化简为 x2x 20，解得 x12 或11 x 12 11 x 12x21，其中 x12 舍去.又由 f(x) x0，且 x0,2，得知函数 f(x)的单调递增区间是(0,1) ，同理， 得11 x 12知 函 数 f(x)
20、的 单 调 递 减 区 间 是 (1,2)， 所 以 f(1)ln 2 为函 数 f(x)的 极 大 值 .又 因 为 f(0)0，f(2)14ln 3 10， f(1)f(2)，所以，f (0)0 为函数 f(x)在0,2 上的最小值，f (1)ln 2 为函数14f(x)在 0,2上的最大值 .【方法归纳】求函数 f(x)在某闭区间a，b 上的最值，首先需求函数 f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后将 f(x)的各个极值与 f(x)在闭区间上的端点的函数值 f(a)、f(b) 比较，才能得出函数 f(x)在a，b上的最值.【举一反三】3.已知 f(x)ax 32ax 2b(a0) ，
21、是 否 存 在 正 实 数 a， b 使 得 f(x)在 区 间 2,1上的最大值是 5，最小值是11？若存在，求出 a，b 的值及相应函数 f(x)；若不存在，请说明理由.【解析】假设存在正实数 a，b 满足条件，f(x)ax 32 ax2b(a0)，f(x )3ax 24axax(3x4) ，令 f(x)0，得 x10，x 2 2,1，43因为 a0，则 f(x)、f(x )的情况如下：x 2,0) 0 (0,1f(x) 0 f(x) 极大值因此 f(0)必为最大值，f(0) 5，得 b5，f (2) 16a5，f (1)a5，f(1)f(2)，f(2)16a511，a1，故存在正实数 a
22、1，b5 满足题意，且 f(x)x 32x 25.体验高考(2011 北京) 已知函数 f(x)( xk) 2e .x(1)求 f(x)的单调区间；(2)若对于任意的 x(0，)，都有 f(x) ，求 k 的取值范围.1e【解析】(1)f(x) (x2k 2)e .令 f(x)0，得 xk.当 k0 时，f(x) 与 f(x)的情况如下：1kx ( ， k) k ( k， k) k (k， )f(x) 0 0 f(x) 4k2e1 0 所以 f(x)的单调递增区间是(，k) 和(k，)，单调递减区间是(k，k ).当 k0 时，f(x)与 f(x)的情况如下：x ( ， k) k (k， k)
23、 k ( k， )f(x) 0 0 周至五中 巨海斌7f(x) 0 4k2e1 所以 f(x)的单调递减区间是(，k) 和(k，)，单调递增区间是(k，k ).(2)当 k0 时，因为 f(k1)e ，所以不会有x(0 ，) ，f(x ) .11e 1e当 k0 时，由(1)知 f(x)在(0， )上的最大值是 f(k ) .4k2e所以x(0 ，)，f(x) 等价于 f(k) ，解得 k0.1e 4k2e 1e 12故当x(0 ，)，f(x) 时，k 的取值范围是 ，0).1e 12【举一反三】(2011 江西)设 f(x) x3 x22ax.13 12(1)若 f(x)在( ， )上存在单
24、调递增区间，求 a 的取值范围；23(2)当 0a2 时，f (x)在1,4上的最小值为 ，求 f(x)在该区间上的最大值.163【解析】(1)由 f(x)x 2x2a( x )2 2a，12 14当 x ，)时，f(x) 的最大值为 f( ) 2a.23 23 29令 2a0，得 a ，所以当 a 时，f(x)在( ，)上存在单调递增区间.29 19 19 23(2)令 f(x)0，得两根 x1 ，x 2 .所以 f(x)在( ，x 1)，(x 2，)1 1 8a2 1 1 8a2上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增.当 0a2 时，有 x11x 24，所以 f(x)在1,4上的最大值
25、为 f(x2).又 f(4)f(1) 6a0，即 f(4)f(1)，272所以 f(x)在1,4 上的最小值为 f(4)8a ，403 163得 a1，x 22，从而 f(x)在1,4上的最大值为 f(2) .1033.3 导数的应用(二 )考点诠释重点：会利用导数证明不等式，研究函数零点(方程根) 的个数问题，解决实际生活中的优化问题.难点：构造新函数的方法，实际问题中函数关系式的确立等.典例精析题型一 利用导数证明不等式【例 1】已知 mR，函数 f(x)(x 2mxm)e x.(1)若函数没有零点，求实数 m 的取值范围；(2)当 m0 时，求证： f(x)x 2x 3.【思路分析】(1
26、)函数 f(x)无零点，即 x2mxm 0 无解，利用 0 解得 m 的取值范围；(2)令 g(x) f(x)x 2x 3，证明 g(x)的最小值大于或等于 0 即可.【解析】(1)由已知条件 f(x)0 无解，即 x2mxm 0 无实根，周至五中 巨海斌8则 m 24m 0，解得 0 m4，故实数 m 的取值范围是(0,4).(2)证明：当 m0 时，f(x )x 2ex，则有 f(x)x 2x 3x 2(exx1). 令 g(x)f(x )x 2x 3，则由 g(x)，g(x )随 x 变化情况可知，g min(x)g(0)0，所以对于xR，g( x)g(0)0，即 f(x)x 2x 30
27、，故 f(x)x 3x 2.【方法归纳】利用导数证明不等式时要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.比如要证明对xa，b 都有 f(x)g( x)，可设 h(x)f (x)g(x )，只要利用导数说明 h(x)在a，b 上的最小值为 0 即可.【举一反三】1.已知函数 f(x) x2ln x.12(1)求函数 f(x)在区间 1，e 上的值域；(2)求证：当 x1 时，f(x ) x3.23【解析】(1)由已知 f(x)x ，当 x1 ，e时，f(x )0，因此 f(x)在 1，e上为增函1x数.故 f(x)maxf(e) 1，f (x)minf (1) ，因而 f(
28、x)在区间 1，e上的值域为 ， 1.e22 12 12 e22(2)证明：令 F(x)f(x ) x3 x3 x2ln x，则 F(x)23 23 12x 2x 2 ，因为 x1，所以 F(x) 0，故 F(x)在(1，)上为减函数.1x (1 x)(1 x 2x2)x又 F(1) 0，故当 x1 时，F(x)0 恒成立，即 f(x) x3.16 23题型二 导数与方程的解(函数的零点 )【例 2】已知函数 f(x)x 2aln x 在(1,2上是增函数，g( x)xa 在(0,1) 上为减函数.x(1)求 f(x)、g(x)的解析式；(2)求证：当 x0 时，方程 f(x)g(x) 2 有
29、唯一解.【思路分析】(1)根据 f(x)、g( x)的单调性，求出 a 的取值范围，从而确定 a 的值，代入求得其解析式；(2)要证方程有唯一解，把它转化为函数有唯一零点，数形结合可证 .【解析】(1)f (x)2x ，ax依题意 f(x)0 ，x (1,2 ，即 a2x 2，x(1,2.上式恒成立，a2.又 g(x)1 ，依题意 g(x)0，x(0,1)，即 a2 ，x (0,1).a2x x上式恒成立，a2.由得 a2.f(x )x 22ln x，g(x) x 2 .x(2)证明：由(1)可知，方程 f(x)g(x)2，即 x22ln xx2 20.x设 h(x)x 22ln x x 2
30、2，则 h(x)2x 1 ，x2x 1x当 h(x)0 时，( 1)(2 x 2x 2)0，解得 x1.x x x令 h(x)0，由 x0，解得 x1.令 h(x)0，由 x0，解得 0x1.列表分析：x (0,1) 1 (1，)周至五中 巨海斌9h(x) 0 h(x) 递减 极小值 递增可知 h(x)在 x 1 处有一个最小值 0，当 x0 且 x1时，h(x )0，h(x)0 在(0，)上只有一个解.即当 x0 时，方程 f(x)g( x)2 有唯一解.【方法归纳】研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这
31、一工具在研究方程中的重要应用.【举一反三】2.已知 f(x)ax 2(aR)，g(x) 2ln x.(1)讨论函数 F(x)f(x )g( x)的单调性；(2)若方程 f(x) g(x)在区间 ，e上有两个不相等的解，求 a 的取值范围.2【解析】(1)F( x)2ax ，x0.当 a0 时，F(x)的递增区间为( ，)，递减区间为2x 1a(0， )；当 a 0 时，F( x)的递减区间为(0，).1a(2)ax 22ln x ，x ，e，a .22ln xx2设 h(x) ，则 h(x) .2ln xx2 2 4ln xx3令 24ln x0 ，得 x ，eh(x) maxh( ) ，h(
32、 ) ln 2，h(e) ，e1e 2 12 2e2数形结合知 ln 2a .12 1e题型三 用导数解决生活中的优化问题【例 3】已知某厂生产 x 件产品的成本为 c25 000200x x2(元).140(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？【思路分析】本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解.【解析】(1)设平均成本为 y 元，则y 200 (x0)，25 000 200x 140x2x 25 000x x40y( 200 ) .25 000x x40 25 000x2 140令 y0，得 x11
33、000，x 2 1 000(舍去).当在 x1 000 附近左侧时，y0；在 x1 000 附近右侧时， y0；故当 x1 000 时，y 取得极小值.由于函数只有一个点使 y0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产 1 000 件产品.(2)利润函数为 L500x(25 000200x )300x25 000 .x240 x240所以 L(300 x25 000 )300 .x240 x20令 L0，得 x6 000，当 x 在 6 000 附近左侧时，L0；当 x 在 6 000 附近右侧时，L 0，故当 x 6 000 时，L 取得极大值.周至五中
34、 巨海斌10由于函数只有一个使 L0 的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产 6 000 件产品.【方法归纳】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大( 小) 值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.【举一反三】3.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶时，每小时的耗油量 y(升) 关于行驶速度 x(千米 /小时)的函数解析式可以表示为：y x3 x8(0x120). 已知甲、1128 000 3
35、80乙两地相距 100 千米.(1)当汽车以 40 千米/ 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解析】(1)设汽车以 x 千米/小时的速度行驶时，其经过甲地的耗油量为f(x) ( x3 x8) (0x120)，100x 1128 000 380 x21 280 800x 154f(40)17.5( 升)，因此从甲地到乙地要耗油 17.5 升.(2)f(x) .x640 800x2 x3 512 000640x2 (x 80)(x2 80x 6 400)640x2又 0x120，令 f(x)0，解得 x80，当
36、 0x80 时，f (x)0；当 80x120 时，f(x)0.则当 x80 时，f(x)取到最小值 f(80)11.25(升).因此当汽车以 80 千米/小时行驶时耗油最少，最少耗油量为 11.25 升.体验高考(2011 山东) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且 l2r.假设该容器的建造费用仅与其803表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元.(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义
37、域；(2)求该容器的建造费用最小时的 r.【解析】(1)设容器的容积为 V，由题意知 V r2l r3，又 V ，故 l r ( r).43 803 V 43r3r2 803r2 43 4320r2由于 l2r，因此 0r2.所以建造费用 y2 rl34r 2c2r ( r)34r 2c，因4320r2此 y4(c2)r 2 ，0r2.160r(2)由(1)得 y8(c2)r (r3 ),0r 2.160r2 8(c 2)r2 20c 2由于 c3，所以 c20，当 r3 0 时，r .令 m ，则 m0，20c 2 320c 2 320c 2所以 y (rm)(r 2rmm 2).8(c 2
38、)r2 若 0m2，即 c ，当 rm 时，y0；当 r(0，m)时，y 0；当 r( m,2)时，92周至五中 巨海斌11y0.所以 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 .若 m2，即 3c ，当 r(0,2) 时，y 0，函数单调递减，所以 r2 是函数 y 的92最小值点.综上所述，当 3c 时，建造费用最小时 r2；当 c 时，建造费用最小时 r92 92.320c 2【举一反三】(2011 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是函数 f(x)e x(x0) 的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N
39、.设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 (e ) .12 1e【解析】设点 P 的坐标为(x 0，e )，则切线 l 的方程为 ye e (xx 0)， 则 过 点 Px 0x的 l 的 垂 线 m 的 方 程 为 ye (xx 0)，令 x0，得 M(0，e x 0e )，所以1te ，得 t(1x 0)( )，令 t0，得 x01，当 0x 01 时，0x02x0x201ext 0，te 单调递增；当 x01 时，t 0，te 单调0ex02002ex递减，所以当 x01 时，t 取最大值，为 (e ).12 1e3.4 定积分与微积分基本定理考点诠释重点：定积分的概念、
40、几何意义，会求简单函数的定积分，利用定积分解决一些简单问题.难点：利用定积分求面积，定积分的应用.典例精析题型一 求常见函数的定积分【例 1】(1) (ex2x )dx 等于( )0A.1 B.e1 C.e D.e1(2) dx 等于 ( )421xA.2ln 2 B.2ln 2 C.ln 2 D.ln 2(3)设 f(x) 若 f(f(1)1，则 a .【思路分析】利用常用函数的求导公式及定积分的性质，找到被积函数的原函数，即可求解.【解析】(1)因为(e x)e x，(x 2)2x，所以 (e1)(e 00)e.故选 C.(2) ln 4ln 2ln 22ln 22ln 2ln 2ln 2
41、.故选 D.周至五中 巨海斌12(3)f(1)lg 10，ff(1) f(0)0 a 3.a 31，即 a1.230td【方法归纳】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：若 f(x)是偶函数，则若 f(x)是奇函数，则【举一反三】1.求下列定积分：(1) (2) (3)【解析】题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积【例 2】求抛物线 y22x 与直线 y4x 所围成的平面图形的面积.【思路分析】首先画出图
42、象，求出它们的交点坐标，选择合适的积分变量，确定积分上、下限，最后求出面积.【解析】方法一：如图，由Error!得交点 A(2,2)，B(8，4)，则 S ( )dx 4x( )dx202x 2x 82x 18.3243)163 383方法二：S (4y ) dy 18.2 4y22 23(4)46y【方法归纳】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简便，在以 y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为 x (y)的形式，同时积分上、下限必须对应 y 的取值.【举一反三】2.设平面图形由曲线 yx 2，y x 及 y2x 所围成，求此平面图形的面积 .【解析】由Error!得 A(1,1)，
43、由Error!得 B(2,4).周至五中 巨海斌13所求面积为：S (2xx)dx (2xx 2)dx101 xdx (2xx 2)dx10 .所以此平面图形的面积为 .2()231()76 76题型三 定积分在物理中的应用【例 3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为 v(t)1t 2，初始位置为 x01，求它在前 2秒内所走过的路程及 2 秒末所在的位置；(2)一物体按规律 xbt 3 作直线运动，式中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由 x0 运动到 xa 时阻力所做的功.【思路分析】(1)变速直线运动的物体 2 秒内所走路程就是速度 v(t)对 t 的
44、定积分 v(t)20dt；(2)阻力所做的功就是阻力对路程的定积分 F 阻 ds.10【解析】(1)当 0t 1 时，v(t )0，当 1t 2 时，v(t)0，所以前 2 秒内所走过的路程为 s v(t)dt (v(t)dt (1t 2)dt (t2 1)dt= 2.2331)()tt2 秒末所在的位置为 x1x 0 v(t)dt1 (1t 2)dt .013所以它在前 2 秒内所走过的路程为 2,2 秒末所在的位置为 x1 .13(2) 物体的速度为 v(bt 3)3bt 2.媒质阻力 F 阻 kv 2k (3bt2)29kb 2t4，其中 k 为比例常数，且 k0.当 x0 时，t 0；当 xa 时，tt 1( ) ，又 dsvdt ，故阻力所做的功为ab3W 阻 F 阻 ds kv2vdt k v3dt kt1 0(3bt2)3dt kb3t k .1277 71 277 3a7b2【方法归纳】作变速运动的物体在一段时间内所走过的路程，可以用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解.定积分在物理学中的应用应注意 v(
