1、第 10 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切【高考展望】1考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值2利用三角公式考查角的变换、角的范围【学习指导】本讲学习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等基础梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C( )：cos( )cos_cos_sin_sin_；(2)C( )：cos( )cos_cos_sin_sin_；(3)S() ：sin( )sin _cos_cos _sin_；(4)S() ：
2、sin( )sin _cos_cos _sin_；(5)T( )：tan( ) ；tan tan 1 tan tan (6)T( )：tan( ) .tan tan 1 tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2： sin 22sin_ cos_；(2)C2：cos 2 cos 2sin 22cos 2112sin 2；(3)T2：tan 2 .2tan 1 tan23有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan( )(1tan_tan_)；(2)cos2 ，sin 2 ；1 cos 22 1 cos 22(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin co
3、s ) 2，sin cos sin .2 (4)4函数 f()acos bsin (a，b 为常数)，可以化为 f() sin( )a2 b2或 f() cos( )，其中 可由 a，b 的值唯一确定a2 b2两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2 ()()；()； ； 2 2 2 .( 2) (2 )(2)化简技巧：切化弦、 “1”的代换等三个变化(1)变角：目的是沟通 题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑” (2)变名：通过变换 函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的 结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法
4、通常有：“常值代换” 、“逆用变用公式” 、“通分约分” 、“分解与组合” 、“配方与平方”等双基自测1(人教 A 版教材习题改编)下列各式的值为 的是 ( )14A2cos 2 1 B12sin 27512C. Dsin 15cos 152tan 22.51 tan222.52(2011福建 )若 tan 3，则 的值等于( )sin 2cos2A2 B3 C 4 D63已知 sin ，则 cos(2)等于( )23A B C. D.53 19 19 534(2011辽宁 )设 sin ，则 sin 2( )(4 ) 13A B C. D.79 19 19 795tan 20tan 40 t
5、an 20 tan 40_.3考向一 三角函数式的化简【例 1】化简 .2cos4x 2cos2x 122tan(4 x)sin2(4 x)审题视点 切化弦，合理使用倍角公式三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角” ，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看 “函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征” ，分析结构特征，找到 变形的方向【训练 1】 化简： .sin cos 1sin cos 1sin 2考向二 三角函数式的求值【例 2】已知 0 ，且 cos ，sin ，求 cos( )2 ( 2) 19 (2
6、 ) 23的值审题视点 拆分角： ，利用平方关系分别求各角的正弦、余 2 ( 2) (2 )弦三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个 时，待求角一般表示为已知角的和或差(2)已知角为一个 时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系【训练 2】 已知 ， ，sin ，tan( ) ，求 cos 的值(0，2) 45 13考向三 三角函数的求角问题【例 3】已知 cos ，cos() ，且 0 ，求 .17 1314 2审题视点 由 cos cos()解决通 过求角的某种三角函数 值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦
7、函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 ，选正、余弦皆可；若角的范 围是(0，)，选余弦较好；若角的范围(0，2)为 ，选正弦较好( 2，2)【训练 3】 已知 ， ，且 tan ，tan 是方程 x23 x40 的两个( 2，2) 3根，求 的值考向四 三角函数的综合应用【例 4】（2012天津理）已知函数 ,2()=sin2+)si()+cos13fxxx.xR(1)求函数 的最小正周期;()f(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值.x,4审题视点 先化简函数 yf(x)，再利用三角函数的性质求解高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利
8、用这些公式，先把函数解析式化为yAsin(x ) 的形式，再 进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质【训练 4】 已知函数 f(x)2sin(x)cos x .(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值 6，2难点突破三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多学生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于
9、“变角” ，如 ( )，2() ()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论【示例】 (2011 江苏)已知 tan 2，则 的值为_(x 4) tan xtan 2x二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值” ，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角【示例】 (2011南昌月考)已知 tan() ，tan ，且 ，(0，)，12 17求 2 的值三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题
10、中，并且成为高考的一个新考查方向【示例】 (2011温州一模 )已知向量 a(sin ，2)与 b(1，cos )互相垂直，其中 .(0，2)(1)求 sin 和 cos 的值；(2)若 5cos()3 cos ，0 ，求 cos 的值52作业A 级 基础达标(时间：30 分钟)1 （2012 年高考（大纲理） ）已知 为第二象限角, ,则3sinco（ cos2）A B C D535959532tan70tan50 tan70tan50等于( )3A. B.333C D33 33若 ( ， )，且 sin ，则 sin( ) cos( )2 45 4 22A. B225 225C. D425
11、 4254tan70cos10( tan201)等于( )3A1 B2C 1 D25(2010 年高考大纲全国卷)已知 为第二象限的角， sin ，则35tan2_.6在ABC 中，tan A 2，tan B ，则 C_.137已知 tan2.求：(1)tan( )的值；4(2) 的值sin2 cos2 1 cos2B 级 综合创新(时间： 15 分钟)1设 ， 都是锐角，那么下列各式中成立的是( )Asin()sinsin Bcos( )coscosCsin( )sin() Dcos()cos()2. 的值为_cos21 sin21 tan1 tan3求值：(1) ；2cos10 sin20sin70(2)tan( )tan( ) tan( )tan( )6 6 3 6 6
