1、7.4 综合应用,普遍定理的综合应用,动力学普遍定理提供了解决质点系动力学问题的一般方法。,分析运动，选取广义坐标，建立坐标系 受力分析，画受力图。分析未知约束力的规律：是否做功？力矩是否为零？ 分析已知量和未知量 选取相应的普遍定理 动能定理：已知主动力求运动 正问题 动量(矩)定理：已知运动求力 逆问题,行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m的均质曲柄AB带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时，求杆的角加速度及轮II边缘所受切向力F。,例1,系统具有1个自由度，取为广义坐标。
2、,(1) 求杆的角加速度,运动学条件：,主动力系的元功为,由动能定理得,解,(2) 求轮II边缘所受切向力F,取轮II为研究对象，画受力图。,由对质心的动量矩定理得,因为轮II作纯滚动，故有,解,已知质量为mA的滑块放在光滑水平面上，摆锤质量mB，无重杆长l，求系统的运动微分方程。,例2 椭圆摆,解,长为l、质量为m的均质细杆静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。,例3,由质心运动定理，直杆倒下过程中质心将铅直下落。,(1) 求杆刚刚到达地面时的角速度,由动能定理的积分形式得：,杆刚刚到达地面时，A点为瞬心,解,(2) 求杆刚刚到达地面时的地面
3、约束力,由刚体的平面运动微分方程得,将上式沿铅垂方向投影，得,联立求解得,?,解,均质圆柱体质量为m，半径为r，沿倾角为 的三角块作无滑动滚动。三角块的质量为M，置于光滑的水平面上。试列写系统的运动微分方程。,例4,选x和xr为广义坐标，如图所示。,系统机械能守恒，且水平方向动量守恒。,解,求导得：,例5,已知质量为m1的匀质细杆AB铰接于质量为m2的小车上，小车可在光滑水平面上移动。初始时刻系统静止，杆处于铅垂位置，受到扰动后倒下。求杆与水平面成角时，杆的角速度。,解,运动学分析，确定广义坐标 x, ,受力分析，分析外力的特点（外力主向量在x轴的 投影为零、约束力不做功）,解,动能定理,水平
4、方向动量守恒,联立求解得：,例6,长l、重W的三根相同的均质杆用理想铰链连接，在铅垂平面内运动。质量不计、刚度系数为k的弹簧，一端与BC杆的中点E连接，另一端可沿光滑铅垂直导槽滑动。杆AB和CD与墙垂直时，弹簧不变形。求系统在此瞬时由静止释放时AB杆的角加速度。,解：系统为单自由度系统，以角为广义坐标。杆AB、CD平行，杆BC作平动，整个机构只有重力与弹簧力做功，机械能守恒。,求导后，令为零，得：,质量为m长为l的均质杆AC的C端与质量为M半径为r的均质圆盘B的质心用光滑铰链连接，在铅垂平面内绕杆的A端转动。初始时 = 0，杆的角速度为零，圆盘的角速度为0。求杆运动到铅垂位置时圆盘和杆的角速度
5、。,例7,解,运动学分析：二自由度系统。 受力分析，画受力图 分析约束力的特点： 约束力不做功 约束力对A点的力矩为零 选择解法 动量矩定理 动能定理,解法一,取系统为研究对象。圆盘对A点的动量矩为：,取圆盘为研究对象，它对Cz轴的动量矩守恒,系统能量守恒：,解法二,由圆盘对Cz轴的动量守恒已得：B= 0,半圆环靠在光滑墙上，无初速滑下。假设半圆环始终在图示的竖直平面内运动。圆心为O与半圆环质心为C，运动过程中OC与水平方向夹角为 ，初始时刻0，求脱离墙后半圆环的角速度和质心速度（用 表示）。,例8,解： 这是动力学正问题,1) 研究对象： 半圆柱壳,2) 受力分析： 重力 ，反力 脱离墙以后,3) 运动分析： 脱离前，绕O定轴转动 脱离后，平面运动,取图示固定坐标系oxy,(a) 脱离前： 或者,其中,4) 列方程：,(b) 脱离条件：,脱离：,设脱离时刻为,或者,(c) 脱离后：,其中,由x方向方程知：,由,由机械能守恒得：,由于 ，故 ，即,当 很小时，运动微分方程可近似写成：,这是频率为 的振动。,
