1、3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work),一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work),功：力对物体作用的累计效果的度量功=力力作用点沿力方向上的位移,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功,3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work),一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work),力状态,位移状态,（虚力状态）,（虚位移状态）,注意： （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足
2、平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关；,3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work),二、广义力(Generalized force)、广义位移(Generalized displacement),一个力系作的总虚功 W=P ,P-广义力; -广义位移,例: 1)作虚功的力系为一个集中力,2)作虚功的力系为一个集中力偶,3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶,4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力,（1）质点系的虚位移原理,具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：,三、变形体的虚功原理,对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做
3、虚功之和为零。也即,（2）刚体系的虚位移原理,去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：,对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。,原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立,We =Wi,（3）变形体的虚功原理,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。,变形体虚
4、功原理的证明:,1.利用变形连续性条件计算所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWe+dWn,所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We,2.利用平衡条件条件计算所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWg+dWi,所有微段的外力功之和: W=dWi =Wi,故有We=Wi成立。,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。,变形体虚功原理的证明:,1.利用变形连续性条件计算所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWe+dWn,所有微
5、段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We,2.利用平衡条件条件计算所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWg+dWi,所有微段的外力功之和: W=dWi =Wi,故有We=Wi成立。,几个问题:,1. 虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题。,2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构。,3. 原理可有两种应用：实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 将平衡问题化为几何问题来求解。实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解。,Wi 的
6、计算:,Wi =N+Q+Mds,微段外力:,微段变形可看成由如下几部分组成:,（4）变形体虚功方程的展开式,对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:,We =N+Q+Mds,四、虚功原理的两种应用,1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的平衡力状态之间。,例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。,解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.,直线,由外力虚功总和为零，即：,通常取,单位位移法(Unit-Displacement Method),(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡方程 (2)虚位移与实际力状态无关,故
7、可设 (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题,例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 .,2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协调位移状态之间。,解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。,由 求得：,解得：,这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为 Maxwell-Mohr Method,(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实 际位移状态无关，故 可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 平衡关系。 (4)是用静力平衡法来 解几何问题。,虚功方程为：,第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。,虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对任意协调位移,虚功方程成立.虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对任意平衡力系,虚功方程成立”。,
