1、实验 9 级数实验目的1理解幂级数的概念，并会用软件将函数展开成幂级数2理解 Fourier 级数的概念，并将函数展开成 Fourier 级数实验准备1数项级数、幂级数的收敛性判断；2幂级数的展开、级数求和；3Fourier 级数的概念、展开方法；实验内容1函数的幂级数展开2收敛级数的和3Fourier 级数展开软件命令表 9-1 Matlab 级数操作命令函数名称 调用格式 说 明syms syms 变量名 1，变量名 2, 定义符号变量sym sym(x,) 定义符号变量taylor taylor() 幂级数展开symsum symsum(s,v,a,b) 级数求和subs subs(s,
2、old,new) 替换求值plot plot(x1,y1,options,x2,y2,options,) 绘制散点图实验示例【例 9.1】级数观察观察下列级数的部分和序列的变化趋势，并求和。1. ； 2. 。1n1()n【步骤】：Step1：计算部分和 ； Step2：描点观察。nS【程序】： clear实验 9 级数 - 57 -clcclffor n=1:100for k=1:np1(k)=1/k;p2(k)=(-1)k/k;ends1(n)=sum(p1);s2(n)=sum(p2);endplot(s1)plot(s2)syms i;symsum(1/i,i,1,inf)symsum(
3、-1)i/i,i,1,inf)【输出】：图 9-1 部分和序列收敛性观察级数（1）发散；调和级数（2）收敛，收敛于 ln2。【例 9.2】调和级数实验欧拉常数记 ， ，研究 C(n)的极限值是否存在。1()niH()lnCH【程序】：%图形观察h(1)=1;for i=2:105h(i)=h(i-1)+double(1/i);c(i)=h(i)-log(i);endplot(c)% 求极限syms k nlimit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf)【例 9.3】函数的幂级数展开将下列函数在指定点处展开成幂级数，并计算近似值，至少保留三位小数。1 ；330(),1,
4、9fxx2 ；1arctnarctn23 。0()si),sifxx- 58 - 第一章 基础实验【步骤】：Step1：利用函数 taylor(f,n,v,a)将函数 f(x)在指定点处展开；Step2：利用函数 subs(s)求出近似值。【输出】：略。【例 9.4】级数求和求下列幂级数的和函数。1 （积分） ； 2 （微分） ；3 （积分） 。21nx1()nx1()nnx【步骤】：Step1：定义通项 f(n)；Step2：利用 symsum(f,n,1,inf)求级数的和。【程序】：clearclcsyms n x;f1=x(2*n-1)/(2*n-1);s1=symsum(f1,n,1
5、,inf);f2=xn/(n*(n+1);s2=symsum(f2,n,1,inf);f3=n*(n+1)*xn;s3=symsum(f3,n,1,inf);【输出】：s1 =1/2*log(1+x)/(1-x)s2 =1-(x-1)/x*log(1-x)s3 =-2*x/(x-1)3【例 9.5】Fourier 级数展开及其和函数的逼近设 是以 为周期，振幅为 1 的方波函数，它在 上的表达式为()fx2,0()xfx试将 展开成 Fourier 级数，并画出图形观察该函数的部分和逼近 的情形。()fx ()fx【原理】：以 为周期的函数 的 Fourier 级数为2l()fx，01(cos
6、in)2naxxf bll:其中 实验 9 级数 - 59 -， 。1()cos,01,2lnnxafdl 1()sin,12,lnxbfdl【步骤】：Step1：求出 f(x)的 Fourier 系数；由于函数 f(x)为奇函数，由 Fourier 系数的公式知道，a n=0，因此它的 Fourier 级数只含有正弦项，又因为 f(x)sin(nx)为偶函数，故级数中的系数022(1)()sin,12,nnbfxdStep2：绘制逼近图形【程序】：参见 Exm09Demo05.m。【输出】：如下图。图 9-2 Fourier 级数逼近实验练习1求下列级数的和：（1） （提示：微分， ） ； 12()nx22arctnl(1),|xx（2） （提示：积分， ） ；21()nn2,|()（3） （提示：考虑幂级数 ， ） 。1n 1nx32- 60 - 第一章 基础实验2求下列函数在指定点处的幂级数展开式：（1） ；参考： ；01(),3)fxx101()(,|1|34nnx（2） ；参考： 。00()cos,xftd 20,|()!nn3设 是以 为周期的函数，它在 上的表达式为f2,(),0xf试将 展开成 Fourier 级数，并绘图观察部分和逼近 的情形。()fx ()fx
