数形结合.doc

1、数形结合数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。基 本 资 料我 国 著 名 数 学 家 华 罗 庚 曾 说 过 ： “数 形 结 合 百 般

2、好 ， 隔 裂 分 家 万 事 非 。”“数 ”与 “形 ”反 映 了 事 物 两 个 方 面 的 属 性 。 我 们 认 为 ， 数 形 结 合 ， 主 要指 的 是 数 与 形 之 间 的 一 一 对 应 关 系 。 数 形 结 合 就 是 把 抽 象 的 数 学 语 言 、 数 量关 系 与 直 观 的 几 何 图 形 、 位 置 关 系 结 合 起 来 ， 通 过 “以 形 助 数 ”或 “以 数解 形 ”即 通 过 抽 象 思 维 与 形 象 思 维 的 结 合 ， 可 以 使 复 杂 问 题 简 单 化 ， 抽 象 问题 具 体 化 ， 从 而 起 到 优 化 解 题 途 径 的

3、目 的 。 评 价数 形 结 合 的 思 想 方 法 是 数 学 教 学 内 容 的 主 线 之 一 ， 应 用 数 形 结 合 的 思 想 ，可 以 解 决 以 下 问 题 ： 一 、 解 决 集 合 问 题 ： 在 集 合 运 算 中 常 常 借 助 于 数 轴 、 Venn 图 来 处 理 集合 的 交 、 并 、 补 等 运 算 ， 从 而 使 问 题 得 以 简 化 ， 使 运 算 快 捷 明 了 。 二 、 解 决 函 数 问 题 ： 借 助 于 图 象 研 究 函 数 的 性 质 是 一 种 常 用 的 方 法 。 函数 图 象 的 几 何 特 征 与 数 量 特 征 紧 密 结

4、 合 ， 体 现 了 数 形 结 合 的 特 征 与 方 法 。 三 、 解 决 方 程 与 不 等 式 的 问 题 ： 处 理 方 程 问 题 时 ， 把 方 程 的 根 的 问 题 看作 两 个 函 数 图 象 的 交 点 问 题 ； 处 理 不 等 式 时 ， 从 题 目 的 条 件 与 结 论 出 发 ， 联系 相 关 函 数 ， 着 重 分 析 其 几 何 意 义 ， 从 图 形 上 找 出 解 题 的 思 路 。 四 、 解 决 三 角 函 数 问 题 ： 有 关 三 角 函 数 单 调 区 间 的 确 定 或 比 较 三 角 函 数值 的 大 小 等 问 题 ， 一 般 借 助

5、于 单 位 圆 或 三 角 函 数 图 象 来 处 理 ， 数 形 结 合 思 想是 处 理 三 角 函 数 问 题 的 重 要 方 法 。 五 、 解 决 线 性 规 划 问 题 ： 线 性 规 划 问 题 是 在 约 束 条 件 下 求 目 标 函 数 的 最值 的 问 题 。 从 图 形 上 找 思 路 恰 好 就 体 现 了 数 形 结 合 思 想 的 应 用 。 六 、 解 决 数 列 问 题 ： 数 列 是 一 种 特 殊 的 函 数 ， 数 列 的 通 项 公 式 以 及 前n 项 和 公 式 可 以 看 作 关 于 正 整 数 n 的 函 数 。 用 数 形 结 合 的 思 想

6、 研 究 数 列 问 题是 借 助 函 数 的 图 象 进 行 直 观 分 析 ， 从 而 把 数 列 的 有 关 问 题 转 化 为 函 数 的 有 关问 题 来 解 决 。 七 、 解 决 解 析 几 何 问 题 ： 解 析 几 何 的 基 本 思 想 就 是 数 形 结 合 ， 在 解 题 中善 于 将 数 形 结 合 的 数 学 思 想 运 用 于 对 点 、 线 、 曲 线 的 性 质 及 其 相 互 关 系 的研 究 中 。 八 、 解 决 立 体 几 何 问 题 ： 立 体 几 何 中 用 坐 标 的 方 法 将 几 何 中 的 点 、 线 、面 的 性 质 及 其 相 互 关

7、系 进 行 研 究 ， 可 将 抽 象 的 几 何 问 题 转 化 纯 粹 的 代 数 运 算 。数 形 结 合 思 想 在 解 题 中 的 应 用1. 数 形 结 合 是 数 学 解 题 中 常 用 的 思 想 方 法 ， 数 形 结 合 的 思 想 可 以 使 某些 抽 象 的 数 学 问 题 直 观 化 、 生 动 化 ， 能 够 变 抽 象 思 维 为 形 象 思 维 ， 有 助 于 把握 数 学 问 题 的 本 质 ； 另 外 ， 由 于 使 用 了 数 形 结 合 的 方 法 ， 很 多 问 题 便 迎 刃 而解 ， 且 解 法 简 捷 。 2. 所 谓 数 形 结 合 ， 就 是

8、 根 据 数 与 形 之 间 的 对 应 关 系 ， 通 过 数 与 形 的 相互 转 化 来 解 决 数 学 问 题 的 思 想 ， 实 现 数 形 结 合 ， 常 与 以 下 内 容 有 关 ：（ 1） 实 数 与 数 轴 上 的 点 的 对 应 关 系 ； （ 2） 函 数 与 图 象 的 对 应 关 系 ；（ 3） 曲 线 与 方 程 的 对 应 关 系 ； （ 4） 以 几 何 元 素 和 几 何 条 件 为 背 景 建 立 起来 的 概 念 ， 如 复 数 、 三 角 函 数 等 ； （ 5） 所 给 的 等 式 或 代 数 式 的 结 构 含 有 明显 的 几 何 意 义 。 如

9、 等 式 。 3. 纵 观 多 年 来 的 高 考 试 题 ， 巧 妙 运 用 数 形 结 合 的 思 想 方 法 解 决 一 些 抽象 的 数 学 问 题 ， 可 起 到 事 半 功 倍 的 效 果 ， 数 形 结 合 的 重 点 是 研 究 “以 形 助数 ”。 4. 数 形 结 合 的 思 想 方 法 应 用 广 泛 ， 常 见 的 如 在 解 方 程 和 解 不 等 式 问 题中 ， 在 求 函 数 的 值 域 、 最 值 问 题 中 ， 在 求 复 数 和 三 角 函 数 解 题 中 ， 运 用 数 形结 思 想 ， 不 仅 直 观 易 发 现 解 题 途 径 ， 而 且 能 避 免

10、 复 杂 的 计 算 与 推 理 ， 大 大 简化 了 解 题 过 程 。 这 在 解 选 择 题 、 填 空 题 中 更 显 其 优 越 ， 要 注 意 培 养 这 种 思 想意 识 ， 要 争 取 胸 中 有 图 见 数 想 图 ， 以 开 拓 自 己 的 思 维 视 野 。 5、 数 形 结 合 思 想 的 论 文 数 形 结 合 思 想 简 而 言 之 就 是 把 数 学 中 “数 ”和 数 学 中 “形 ”结 合 起 来解 决 数 学 问 题 的 一 种 数 学 思 想 。 数 形 结 合 具 体 地 说 就 是 将 抽 象 数 学 语 言 与 直观 图 形 结 合 起 来 ， 使

11、抽 象 思 维 与 形 象 思 维 结 合 起 来 ， 通 过 “数 ”与 “形 ”之 间 的 对 应 和 转 换 来 解 决 数 学 问 题 。 在 中 学 数 学 的 解 题 中 ， 主 要 有 三 种 类 型 ：以 “数 ”化 “形 ”、 以 “形 ”变 “数 ”和 “数 ”“形 ”结 合 。 （ 1） 以 “数 ”化 “形 ” 由 于 “数 ”和 “形 ”是 一 种 对 应 ， 有 些 数 量 比 较 抽 象 ， 我 们 难 以 把 握 ，而 “形 ”具 有 形 象 ， 直 观 的 优 点 ， 能 表 达 较 多 具 体 的 思 维 ， 起 着 解 决 问 题 的定 性 作 用 ， 因

12、 此 我 们 可 以 把 “数 ”的 对 应 “形 ”找 出 来 ， 利 用 图 形 来解 决 问 题 。 我 们 能 够 从 所 给 问 题 的 情 境 中 辨 认 出 符 合 问 题 目 标 的 某 个 熟 悉 的“模 式 ”， 这 种 模 式 是 指 数 与 形 的 一 种 特 定 关 系 或 结 构 。 这 种 把 数 量 问 题 转化 为 图 形 问 题 ， 并 通 过 对 图 形 的 分 析 、 推 理 最 终 解 决 数 量 问 题 的 方 法 ， 就是 图 形 分 析 法 。 数 量 问 题 图 形 化 是 数 量 问 题 转 化 为 图 形 问 题 的 条 件 ， 将 数 量

13、问 题 转 化 为 图 形 问 题 一 般 有 三 种 途 径 ： 应 用 平 面 几 何 知 识 ， 应 用 立 体 几 何 知识 ， 应 用 解 析 几 何 知 识 将 数 量 问 题 转 化 为 图 形 问 题 。 解 一 个 数 学 问 题 ， 一 般来 讲 都 是 首 先 对 问 题 的 结 构 进 行 分 析 ， 分 解 成 已 知 是 什 么 （ 条 件 ） ， 要 求 得到 的 是 什 么 （ 目 标 ） ， 然 后 再 把 条 件 与 目 标 相 互 比 较 ， 找 出 它 们 之 间 的 内 在联 系 。 因 此 ， 对 于 “数 ”转 化 为 “形 ”这 类 问 题 ，

14、解 决 问 题 的 基 本 思 路 ： 明 确 题 中 所 给 的 条 件 和 所 求 的 目 标 ， 从 题 中 已 知 条 件 或 结 论 出 发 ， 先 观 察 分析 其 是 否 相 似 （ 相 同 ） 于 已 学 过 的 基 本 公 式 （ 定 理 ） 或 图 形 的 表 达 式 ， 再 作出 或 构 造 出 与 之 相 适 合 的 图 形 ， 最 后 利 用 已 经 作 出 或 构 造 出 的 图 形 的 性 质 、几 何 意 义 等 ， 联 系 所 要 求 解 （ 求 证 ） 的 目 标 去 解 决 问 题 。 （ 2） 以 “形 ”变 “数 ” 虽 然 形 有 形 象 、 直 观

15、 的 优 点 ， 但 在 定 量 方 面 还 必 须 借 助 代 数 的 计 算 ， 特别 是 对 于 较 复 杂 的 “形 ”， 不 但 要 正 确 的 把 图 形 数 字 化 ， 而 且 还 要 留 心 观察 图 形 的 特 点 ， 发 掘 题 目 中 的 隐 含 条 件 ， 充 分 利 用 图 形 的 性 质 或 几 何 意 义 ，把 “形 ”正 确 表 示 成 “数 ”的 形 式 ， 进 行 分 析 计 算 。 解 题 的 基 本 思 路 ： 明 确 题 中 所 给 条 件 和 所 求 的 目 标 ， 分 析 已 给 出 的 条件 和 所 求 目 标 的 特 点 和 性 质 ， 理 解

16、 条 件 或 目 标 在 图 形 中 的 重 要 几 何 意 义 ， 用已 学 过 的 知 识 正 确 的 将 题 中 用 到 的 图 形 的 用 代 数 式 表 达 出 来 ， 再 根 据 条 件 和结 论 的 联 系 ， 利 用 相 应 的 公 式 或 定 理 等 。 （ 3） “形 ”“数 ”互 变 “形 ”“数 ”互 变 是 指 在 有 些 数 学 问 题 中 不 仅 仅 是 简 单 的 以 “数 ”变“形 ”或 以 “形 ”变 “数 ”而 是 需 要 “形 ”“数 ”互 相 变 换 ， 不 但 要 想 到 由“形 ”的 直 观 变 为 “数 ”的 严 密 还 要 由 “数 ”的 严

17、密 联 系 到 “形 ”的 直 观 。解 决 这 类 问 题 往 往 需 要 从 已 知 和 结 论 同 时 出 发 ， 认 真 分 析 找 出 内 在 的 “形 ”“数 ”互 变 。 一 般 方 法 是 看 “形 ”思 “数 ”、 见 “数 ”想 “形 ”。 实 质 就是 以 “数 ”化 “形 ”、 以 “形 ”变 “数 ”的 结 合 。 数 形 结 合 思 想 是 一 种 可 使 复 杂 问 题 简 单 化 、 抽 象 问 题 具 体 化 的 常 用 的 数学 思 想 方 法 。 要 想 提 高 学 生 运 用 数 形 结 合 思 想 的 能 力 ， 需 要 教 师 耐 心 细 致 的引

18、导 学 生 学 会 联 系 数 形 结 合 思 想 、 理 解 数 形 结 合 思 想 、 运 用 数 形 结 合 思 想 、掌 握 数 形 结 合 思 想 。 中 学 数 学 的 基 本 知 识 分 三 类 ： 一 类 是 纯 粹 数 的 知 识 ， 如 实 数 、 代 数 式 、方 程 （ 组 ） 、 不 等 式 （ 组 ） 、 函 数 等 ； 一 类 是 关 于 纯 粹 形 的 知 识 ， 如 平 面 几何 、 立 体 几 何 等 ； 一 类 是 关 于 数 形 结 合 的 知 识 ， 主 要 体 现 是 解 析 几 何 。 数 形 结 合 是 一 个 数 学 思 想 方 法 ， 包 含

19、 “以 形 助 数 ”和 “以 数 辅 形 ”两个 方 面 ， 其 应 用 大 致 可 以 分 为 两 种 情 形 ： 或 者 是 借 助 形 的 生 动 和 直 观 性 来 阐明 数 之 间 的 联 系 ， 即 以 形 作 为 手 段 ， 数 为 目 的 ， 比 如 应 用 函 数 的 图 像 来 直 观地 说 明 函 数 的 性 质 ； 或 者 是 借 助 于 数 的 精 确 性 和 规 范 严 密 性 来 阐 明 形 的 某些 属 性 ， 即 以 数 作 为 手 段 ， 形 作 为 目 的 ， 如 应 用 曲 线 的 方 程 来 精 确 地 阐 明 曲线 的 几 何 性 质 。 数 形

20、结 合 的 思 想 ， 其 实 质 是 将 抽 象 的 数 学 语 言 与 直 观 的 图 像 结 合 起 来 ，关 键 是 代 数 问 题 与 图 形 之 间 的 相 互 转 化 ， 它 可 以 使 代 数 问 题 几 何 化 ， 几 何 问题 代 数 化 。 在 运 用 数 形 结 合 思 想 分 析 和 解 决 问 题 时 ， 要 注 意 三 点 ： 第 一 要 彻底 明 白 一 些 概 念 和 运 算 的 几 何 意 义 以 及 曲 线 的 代 数 特 征 ， 对 数 学 题 目 中 的 条件 和 结 论 既 分 析 其 几 何 意 义 又 分 析 其 代 数 意 义 ； 第 二 是 恰 当 设 参 、 合 理 用 参 ，建 立 关 系 ， 由 数 思 形 ， 以 形 想 数 ， 做 好 数 形 转 化 ； 第 三 是 正 确 确 定 参 数 的 取值 范 围 。