1、第 1 页 共 5 页试题请答在答题纸上。一、判断题（共 10 分，每小题 2 分）1. 若线性规划问题存在可行域，则必然存在最优解。2. 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题不一定存在可行解。3. 在表上作业法的平衡表中，当收点个数为 n，发点个数为 m，则在方案表中填数字的格子数必须为 n+m。4. 在任一图 G 中，当点集 V 确定后，树图是 G 中边数最少的连通图。5. 矩阵对策中当局势达到平衡时，任何一方单方面改变自己的策略（无论是纯策略还是混合策略） ，将意味着自己更少的赢得或更大的损失。二、某厂拟生产甲、乙、丙三种产品，都需要钢材和煤炭两种资源，有关数据如下：产品单耗(吨
2、/件)资源甲 乙 丙 资源限制量（吨/每月）钢材 3 1 1 240煤炭 4 2 3 400产值（千元/件） 3 1.2 2请回答如下问题：（共 30 分）（1） 如何安排月生产计划使产品总产值最大？（10 分）（2） 给出上述数学模型的对偶问题，并采用互补松弛定理确定各种资源的影子价格。 （5 分）（3） 现开发出一种新的产品丁，生产一件丁产品需耗费钢材 2 吨，煤炭 2 吨，预期盈利 1.5 千元/件，问是否值得投产？请说明理由。 （5 分）（4） 若每月钢材供应量增加 60 吨，煤炭供应量减少 60 吨，该如何安排生产？（10 分）三、某运输队有五辆汽车，待驶往四个目的地送货。一地的货物
3、只需一辆汽车运送，其所得利润（千元）如下表所示，求最优调运方案。 （15 分）汽车目的地 1 2 3 4 5A 10 12 14 11 13B 13 19 20 15 14C 8 6 10 7 5D 15 12 13 9 8五、甲、乙两人各有一角（10 分） 、5 分和 1 分的硬币各一枚。在双方互不知道的情况下各出一枚硬币，规定当两枚硬币的和为奇数时，甲赢得乙所出硬币；当和为偶数时，乙赢得甲所出硬币。列出二人零和对策的模型，并求该对策的最优解和对策值。 （15 分）六、工厂每周需要某种配件 81 箱，存贮费每箱每周 1 元，每次订购费 16 元，已知订货量与配件价格的关系如下表所示：订货量(
4、箱) 119 2039 4089 90 以上第 2 页 共 5 页价格(元/箱) 8 7 6 5若不允许缺货，且一订货就进货，试求最佳的订货批量。 （5 分）七、建模题（从下列 2 个题目中任选 1 题，建立相应的数学模型，不求解） 。 （共 10 分）（一）某地区现有农田共 10 万亩，按抗自然灾害能力可分为以下四种类型：无抗旱，无排涝；无抗旱，有排涝；有抗旱，无排涝；有抗旱，有排涝。各类农田的产量和产值等相关数据如下表所示：农田类型 现有面积（万 亩） 平均亩产（万吨/万亩） 平均净产值（百万元/万亩） 6.0 0.075 1.5 2.5 0.1 2.0 1.0 0.09 1.8 0.5
5、0.125 2.5该地区计划对部分农田进行改造，主要项目包括：（1） 据测算，修建抗旱设施，使类农田升级为类，类农田升级为类，据测算每万亩需投资 100 万元；（2） 该地区内有一条河流经过，为增强农田的排涝能力，须修建排涝工程，工程完成后，可使4.5 万亩农田具有排涝功能，但平均每万亩需投资 50 万元。此外，国家对该地区的征购任务总计为 0.8 万吨，超额生产的粮食向国家交售时每吨可加价 100元。该地区可筹的资金为 800 万元。请考虑在上述条件下，如何规划该地区的农田基本建设，以提高农业产值。 （建立该问题的线性规划模型） （10 分）（二）某造船厂根据合同要在当年算起的连续三年年末各
6、提供三条规格相同的大型货轮，已知该厂今后三年的生产能力及生产成本如下表所示（注：加班生产时完成的货轮数不包括正常生产时完成的货轮数）：年度 正常生产时可完成的货轮数加班生产时可完成的货轮数正常生产时每条货轮成本/万元第一年 2 3 500第二年 4 2 600第三年 1 3 550已知加班生产情况下每条货轮的成本比正常生产时高出 80 万元。又知造出的货轮如果当年不交货，每条货轮积压一年增加维修保养等费用 40 万元。同时，该厂希望在第三年末合同任务结束后能储存一条货轮备用，问该厂应如何安排计划，使得在满足上述要求的条件下，使总的费用支出最少？（建立该问题的表式模型，并使产销平衡） （10 分
7、）第 3 页 共 5 页运筹学标准答案：一、判断题（共 10 分，每小题 2 分），二（共 30 分，每小题 10，5，5，10 分） ）解：（1） 化为标准性：max z=3x1+1.2x2+2x3s.t. 3x1+x2+x3 + x4 =2404x1+2x2 +3x3+ x5 =400x1,x2,x3,x4,x5 0cj 3 1.2 2 0 0cB 基 B x1 x2 x3 x4 x500x1x42404003 1 1 1 0 4 2 3 0 1 Cj-zj 3 1.2 2 0 0 30x1x480801 1/3 1/3 1/3 00 2/3 5/3 -4/3 1Cj-zj 0 0.2 1
8、 -1 032x1x364481 1/5 0 3/5 -1/50 2/5 1 -4/5 3/5Cj-zj 0 -1/5 0 -1/5 -3/5月生产计划 x1=64,x2=0,x3=48, 最大利润=288。（2）对偶问题 min w=240y1+400y2 s.t. 3y1+4y23 y1+2y21.2y1+3y22y1,y2 0,根据互补松弛性得：3y 1+4y2=3，y 1+3y2=2，最优解： y1=1/5，y 2=3/5。（3） 设 c6=1.5, P6=(2,2)T, 计算 P6=B-1P6=(4/5, -2/5)T, 检验数 c6-z6=c6-cBB-1P6=1.5-(1/5,3
9、/5)(2,2)T=-0.1最优解生产方案不变，所以不值得投产。（4） 当 b 变为 b=(300,340)T, b= B-1b=(112,-36)T, 生产计划发生变化，使用对偶单纯形法计算cj 3 1.2 2 0 0cB 基 B x1 x2 x3 x4 x5第 4 页 共 5 页32x1x3112-361 1/5 0 3/5 -1/50 2/5 1 -4/5 3/5Cj-zj 0 -1/5 0 -1/5 -3/530x1x485451 1/2 3/4 0 1/40 -1/2 -5/4 1 -3/4Cj-zj 0 -0.3 -1/4 0 -3/4月生产计划 x1=85,x2=0,x3=0,
10、最大利润=255。三、 （15 分）这是最大化问题，增加一个行 0。10 12 14 11 13 4 2 (0) 3 1 4 1 0 2 (0)13 19 20 15 14 7 1 0 5 6 7 (0) 0 4 58 6 10 7 5 2 4 0 3 5 2 3 (0) 2 415 12 13 9 8 (0) 3 2 6 7 (0) 2 2 5 60 0 0 0 0 0 (0) 0 0 0 1 0 1 (0) 0最后方案是 1 运 D，2 运 B，3 运 C，5 运 A，总利润：15+19+10+13=57。五、 （15 分）局中人：甲，乙 =1，2 ，甲的策略集=出一角（10 分） ，出
11、5 分，出 1 分= 123,乙的策略集=出一角（10 分） ，出 5 分，出 1 分= 甲的赢得矩阵 A=10不存在纯平衡策略，因为 ，去掉第 2 行，因为 ，去掉第 2 列。得 A=323210求解方程：-10x 1+10x3=v, x1-x3=v, x1+x3=1, -10y1+y3=v, 10y1-y3=v, y1+y3=1, 解得混合策略：x=(1/2,0,1/2), y=(1/11,0,10/11). 对策值：v=0.六、 （5 分）已知 R=81 箱, C1=1 箱/周，C3=16 元/ 次。Q 0=1,Q1=20,Q3=40,Q4=90,Q5=+.K1=8,K2=7,K3=6,
12、K4=5.=36 =50.91 箱。得 =50.91+486=536.1（元/ 周） ，1CRQ 1332CRK计算 =45+16*81/90+81*5=59.4+405=464.4(元/ 周)，(4)3442RKQ故最优订购批量 Q*=90 箱。最小费用为 C*=464.4 元/周，订购周期 t*=Q*/R=90/81=1.111 周=7.7天。第 5 页 共 5 页七 （一）设 x11, x22, x33 表示没有改造的第 I,II,III 类田数量，x 12 表示将 I 类田改造为 II 类田的数量，x 14 表示将 I 类田改造为 IV 类田的数量，x 24 表示将 II 类田改造为
13、IV 类田的数量，x 34 表示将 III 类田改造为 IV 类田的数量，设 y11, y12, y13, y14 表示改造后第 I,II,III,IV 类按计划价格收购的数量，设 y21, y22, y23, y24 表示改造后第 I,II,III,IV 类按计划外价格收购的数量。Max z=20000.8+2100(0.075y21+0.1y22+0.09y23+0.125y24)s.t. x11+x12+x13 + x14 =6x22 + x24 =2.5x33 + x34 =1100(x13+x24+ x14 )+50(x12+x14+x34 ) 800x12+x14+x34=4.5y
14、11+y21=x11y12+y22=x12+x22y13+y23=x13+x33y14+y24= x14+x24 +x34+0.50.075y11+0.1y12+0.09y13+0.125y14=0.8x1i, x22 ,x24 ,x33 ,x34 ,yki, k=1,2, i=1,2,3.4.等价为：Max z=2100(0.075x11+0.1(x12+x22)+0.09(x13+x13)+0.125(x14+x24+x34+0.5)s.t. x11+x12+x13 + x14 =6x22 + x24 =2.5x33 + x34 =1100(x13+x24+ x14 )+50(x12+x1
15、4+x34 ) 8000.075x11+0.1(x12+x22)+0.09(x13+x13)+0.125(x14+x24+x34+0.5) 0.8x1i, x22 ,x24 ,x33 ,x34 , i=1,2,3.4.（2） 第 1 年末交货 第 2 年末交货 第 3 年末交货 虚设一年 产量第 1 年正常生产500 540 580 M 2第 1 年加班生产580 620 660 M 3第 2 年正常生产600 640 680 M 4第 2 年加班生产680 720 760 M 2第 3 年正常生产550 590 630 M 1第 3 年加班生产630 670 710 M 3需求量 3 3 4 5
