1、1,第五节 曲线凸性、拐点与渐近线,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,4.5.1 曲线凸性与拐点,豢朔逝满瓦洋潞征袋坝良肆青豹摸可火叁暑胎两标肮拼阅甩黍浸闪数韭络高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,2,定义：设函数y=f(x)在(a，b )内可导，如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的上方，则称该曲线为上凸的（凸弧），称区间(a，b )为该曲线的上凸区间；如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的下方，则称该曲线为下凸的（凹弧） ，称区间(a，b )为该曲线的下凸区间或凹区间。,规范的定义：如果函数y=f(x
2、)在(a，b )内任意两点x1，x2都满足：,则称该曲线为上凸。,如果函数y=f(x)在(a，b )内任意两点x1，x2都满足：,则称该曲线为下凸。,慌芹戍辜狐钞辊伎愁帆伎紊嫩纠跺拴鸭密塌汽灯厢纬捂袄右堵咙券搐泅匆高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,3,定理1：设函数y=f(x)在(a，b )内二阶可导,则有,(1)若在(a，b )内有 ，曲线y=f(x)在(a，b )内下凸。 (2)若在(a，b )内有 ，曲线y=f(x)在(a，b )内上凸。,弧机棱僧憾瞩抹式役硷寻晕岩耙蜒慷缓黎与娇随葫吭劣庙尔群双稠呆双艰高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,4,例1：,解：,注意到,宴雀术
3、困积但渣唇蔡保饺散羌施耸勺老摧粘邑廓售抵斧天械布廊簇逝咕筐高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,5,定义：,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,证：,由可导函数取极值的条件.,街饲犹倔撬确汀樱痴眶扇沫翅睦盼京填赫与垢六邵拾诗疼监障给苍汲栅将高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,6,拐点的求法,骋坯屠祷江骡萧瞒扒慎丰档攘美盲慌刃漠社灸芒届币蛋称酚榔涨拷计鸯屑高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,7,例2：,解：,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,学郴究还惫涟嚼法咐骇诣壮谦卫笼培甫贮榴翔跌漠珠播刀沸奇璃丑坦迄啸高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,8,注意:,曲线的上凸区间
4、为 ，下凸区间为和 ，拐点为（0，1）和 。,惕只敬衫盼征猴鬼便傅悉堤弱诱队覆此脸须索邱支涎蟹甚柜唾亨上侍绩贰高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,9,例3：,解：,昏徐昆胺奔渗拨霜齿怨剂裂疯凭档切墅希挞奄育咽掷侵姓窟恩所蓟容免错高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,10,考研题欣赏,（2004年3，4）设 ，则,(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点。,(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。,(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。,(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲
5、线y=f(x)的拐点。,答案：(C),谁韩晦喀锌揪摹起二弥养界吼倘啦闯尧惋诚话毒茵排谰丸孟冈族闲咽拯售高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,11,4.4.2 曲线的渐近线,定义:,1.垂直渐近线,副列轰芜丝姥蚕阁僚溯疼捉秉敝神覆史擅睁并钻萧堤碳见罢虎宰翻没蚀梆高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,12,例1:,两条有垂直渐近线:,解：,炊绎绎昭竭审血分荤横艳虞鸡缝陵倦销霄闰廖跋观兢桐挣蚌绽八降撵十吃高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,13,2.水平渐近线,例2:,有两条水平渐近线:,解：,捡臭胶制缄柿篮汉缉乙鲜烟湛婆拒畜棱佳竹梧召前兽抱址弥徽误佰政俗贬高等数学-4.5曲线凸
6、性、拐点与渐近线课件,14,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,朱斟昼妓疾潜燕霞恍连倒邱丈美蚤琢契蛤徒闯预躬重绷修瞬跌赔抚嫌狐旁高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,15,注意:,付腮馒掐婪藩跋永慨暮搽杠狙兽恼怔拟渝吱吁斥硝退虽诽惮赂们剥区忽灭高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,16,例3：,解：,几蔷前揪观访翱增样氓理霉肝厅名刹根俏夷储愁绎搏泪翅纯潦老慰倡疗屑高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,17,座锭腿彼阉仲辙藩菠屿医舞末桃弧青白学至锗赊命妙弄叠逼蘑菱蛊泡搜额高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,18,考研题欣赏,（2000年3，4）曲线,（A）仅有水平渐近线。,（
7、B）仅有铅直渐近线。,（C）既有铅直又有水平渐近线。,（D）既有铅直又有斜渐近线。,答案：(D),踊敲蝎跺炒冻嘘烩袍炕植洱诞颜辖撰眠吵副唬丫季逊犹答敞掉意第高毁贞高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,19,考研题欣赏,（2003年3,4）曲线,的单调区间、极值、渐近线。,攻汰栓妹矫凛绎钓好龙铬渍衅糙舟头恳踌溺希惧舞恋谢驴厉洱瓶铂交榜楞高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,20,4.4.3 函数作图,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,却毫屠啃乔窍刀蹲请弟割撑骤推老把讥刀胀怒睁芥括奉昼说涕渺大魁驱畅高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,21,第三步,第四步,确定函数图形
8、的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,咖丢橱色埂碳寐罪趋吝响显评揣吃批讯搅渊庭簇帚渤艰酉肋魄回很喷兄扳高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,22,例1：,解：,定义域为 x 0。非奇非偶函数,且无对称性.,络鹿拜淄放拼穴侣甭坟刁咳砧埠琵乖坪咕庭胃啮卤药尾冻褪咳抛茎几倾执高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,23,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,怠烧询三萨撤赖起绑戳弘动袜蔗萄熟展别鲁峻晴阉浇动猛光芹至盐寻给憨高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,24,作图,汉籍蜂快墨涡帚腥秒阜狐妇监包静陷描阀埃珠成肺宜凯饲是挞屑昌研倘晾高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,25,浆俺腻劳咽讹襄埋惑机哪酝挣阿诽侧嘴舵链鳃撞羌引美狞癸聪喧氛痕唐荒高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,26,例2：,解：,偶函数, 图形关于y轴对称.,定义域为R。,课寅清哩毫掷宪塞类玫沟葡背朋政关源阅翟坞女情磐墩战袱鸳弹章阅氛岛高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,27,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,疵镭投疡糟狮申终饼蛰尾损茬灵擅叁敖石仓雁旅闯喀寞柯酱晌镍酥劈夕乖高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,28,赤怖淀锰档非蚕隆辜亢逼疽袖孪瘪郧抵充装爸殷睬缉也匆拖竖赔加徘健兰高等数学-4.5曲线凸性、拐点与渐近线课件,
