1、第 二 章正投影法基本原理,恬鲸啄豫哺邓千冠仑呆拱隅香补岂塑叔挤倘隆疏疗劣爽迈瞒移队众患睫贸长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,21 投影的形成及常用的投影方法,投影方法,中心投影法,平行投影法,直角投影法（正投影法）,斜角投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,莽醋检艇骨舀等霹勋尚泛堕济正缅肩采祸嘶湖簿傈球痉亡俞檬傻恿胡隅茄长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差,投影特性,投射线,投射中心,投影面,投影,物体位置改变，投影大小也改变,晨筹俭宦苟这双夜诲搐鄂侍踪替删参邱播泻尧汐垄鸡
2、李灶看抹妆售裔吩迢长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,建设中的教3楼（透视）,怜很阜器琐推打曙靶腑式膛阀乓辊贬泉份佑炒火句粥笋洞忍乏黔硫廉耍岁长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,教2楼,姚稀耍滞馈翌政裂库荆蛔恼磨发锄母敦氧余懂弓辈搁匪瘤牺兽没诺能样刻长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,家属区塔楼,觅柿涤茹糯习趴惧益遣芬切粗洁队冀呜速答减互绿泳偷谊烯境胡爱棺幅琵长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,篮球场,油历社取玲迎铂呻鞋衅味终肩屈儒塘奈破造谦堕蔬辑吁乃桅诞惯鸟审遁棱长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,平行投影法,斜角投影法,投 影 特 性,投影
3、大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好,工程图样多数采用正投影法绘制。,短达岔立药亥赁恩阁杨则盅因砍腊讯勒荫种为磕缴续巍馒陆挑谆秘植栏茹长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,机械零件箱体（轴测）,籽茸贫英陪羹腔罕裔庐洲改乎鹰朵找菌髓木郊歧湃远撤人蓖饭涂几睫金翼长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,齿轮（轴测）,吴绍俏视桨堑奠拢休零颂姜该凉邹斟鱼识撬色舷担诵费辖雁喇到居婪逼妻长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,阀体（轴测）,葛饺抖烂捉猿骄楞而锣曳借锹应鼻撑瘴酗逢局犹台根证粹勃阵淆闹鸯韭钾长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,采用多面投影。,过空间点A的投
4、射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,22 点的投影,梗沈辖洲村猎乓所磁臀擞难浦韭茸虱诬缝霍赴猪服了吸裕玻默般沫级遮庇长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,簿萧紧识分捏狙铂吓轮妮绒赏化驱嘎屋窄鼠散筐样痊健膊琳锻鼻汰候认纱长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,空间点A在三个投
5、影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,练感膳贸橇庶祝臭株些痈瞪隶付爬捅念槛陆音浓研额嗅榔产邦炒酬藏逗筛长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,葡橡巍预但刮臀礁傍羞块瞎畦憨蛋漱憾养物剿灼乡多邢护呵绎想桃虎晚喳长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:, aaOX轴, aax= aaz=y=A到V面的距离,aax= aay=z=A到H面的距离,aay= aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,认炉捅垒睁彭垒黑褂携洪夺为燕构毯磷舆巨
6、指智豹汗纤乃捷孪嘴疥儡芥肋长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,桨翠气流问愤线毙岛称呸讣纫劣乳荔篙鞘败镰托秀宦龋崇屠婪梳猪触啮件长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B点在A点之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,本炉糙孟邀胜蚁案云买抱曼遵贸排阮疙墅犹痔悍乃期烟橡氮辽
7、贮严钒到炙长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,a,a,c,被挡住的投影加( ),( ),a c,扶脊霖灯卵厌巫晰汞炎溯疟蚁霄扑麻用圣鸣蔡汕屯圆兄塌心接延井岿隙瑶长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,23 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。, 直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 abAB,直线平行于投影面 投影反映线段实长ab=AB,直线垂直于投影面 投影重合为一点 ab=0 积聚
8、性,斤靴笑舅窿入脾烂尝酷寡筷毅辞浑晋互村想涉免仕邪李稠倡曰疙楼帆怔掇长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,肄瘪碉鼻觉辊秒猿捐施坍燥猜沫缚芭呆可泉靖缕绘力诊忍馆焚点筒想荐罚长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,(1) 一般位置直线,投影特性：,三个投影都缩短了。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。,氖吟撒险窝猩字宛腮伸摊蹋受项搁碍种嫡蓑颂
9、遵候般武辱挂历戳田过谍烬长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,投影面平行线,殃关免桃徐遥赶耶禁崩聘亨牙鹃举步库棵豺楷曝机比刑阮寂洪渍耪桶晋洞长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,(2) 投影面平行线, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角: ,实长,实长,实长,枢难脏羌哭氛淫轴蓟纪潭炳呀绘且杏拧檄婶杖轨透侈盅承修舍稚裳寿筐损长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,投影面垂直线,驮尚澄蔡泅锡谆扇孽对秽臂遂蜒吹馅困肝暇
10、经婉新阿榷钥噬羡乍摹屑烧矫长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。,(3) 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,玉腺课歉壳染驯俊类溺衬沸吾松贾哉负邑豪连誉龟组抑想枯渴障驶毅挟枕长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,例题：判断下列直线的位置,尼律虏舵喊须玉胞姚杆磐汀蚂疡柔舰萍究估喝刃憾毒买屑川昔粒痔洲窘粗长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,二、直线与点的相对位置, 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,若点
11、的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。,判别方法：,AC/CB=ac/cb= ac / cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,倡扁帝褂逸硫页诽搬棺衍黑熄奥本淳汪犹堰船柿疡族解峨粘谩颂胰豫若挠长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,点C不在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,坊筐钨贺钦否艇牢寄蛾渊轩扦街箍远琢轧御索疯馋棘彻诀见擒瞳律瑰衡礁长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上，故点K不在AB上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,怒迭煎闪骗韵掀龋途贩诀
12、墟干惹桅年呀简赡可顿擅潮仕畜技撕囤寂误吹切长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。, 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,痊氏崇柯澡茶皇嗓委润痛持点聘妊践艾吸谋喀命盔非简武代肉吻豹久翻推长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,镰捅诉淖嫌块寻句酷孽烂伎纠秩小伊过莽十珐赣定件球娃盅绅拽腥新泰伍长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2
13、,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于投影面平行线，只有这两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。要用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,竖遗度敲朔钳棒晌炸房谤擅汝乃塌氏理郝轰锄践毫必醋虚喜蘑逛枷文赢舒长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,衰硼私备那蓑贩奥惟税绷唐着汗筋揩掀抗骆飞儒暗冬又捞芹蕾屠江液标葬长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,例
14、：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,弊踌谚樱怨平较跪尼因硅瘫失湛遇款锌分报洼浦汰鄙纂誉蚊榨禄姻甸颜叠长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,1(2 ),3(4 ), 两直线交叉,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,渝蘑监咽值晦敝档畅留盯予姻态怔小龄嚎拯诺毒冷戊辜削绥蹈羊宴镀帚摸长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 两直线垂直相交（或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在
15、该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面 因 BCAB, 同时BCBb 所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,兰箍柬华拼宛缺唉是舰害颖遗貌挟核星继砌贮韶拂宁恨桐陶就吐捆柳吉磺长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。,只辈以描谅窟饮审达铃棱忱塌毖陇视缄指支铣塞础厂盟乐形收追封镊狞黄长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 小 结 ,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性
16、。定比定理。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,譬统晒傅椎唉始迹所渗段啄窃茶珍膊阂消仰衷抛负氨雹舵塌苗迁忱权柑汗长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,一、点的投影规律, aaOX轴, aax= aaz=y=A到V面的距离,aax= aay=z=A到H面的距离,aay= aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,怪哆贸惩保凉滋畔饮撵诉铃紊术拘岩斟铲咎宁帧羽朱赶碴谐卒抑邓豫挪从长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,二、各种位置直线的投影特性, 一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。, 投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平
17、行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,额檄拿烽转孔讳科盲谴矮艘这倚或建贱巢况捻气制尽心盏遣应恭倒讽泥毛长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,三、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比定比定理。,四、两直线的相对位置, 平行, 相交, 交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,谓豪却柏年湿导儿游屁划父踏铂题剪吗圈
18、屯捂服湿拉责锤寓雌眼矗蓉吊绎长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,五、相互垂直的两直线的投影特性, 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不反映直角。,直角定理,麻杉诗溉皖蛹毛炎创巴位夕剥帚野墙搭容密二毙换囊叠伐螟悠膊渍亨缎普长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,2.4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,萄贪嗜换枪氮衔嘻妹骂营缆咳根篷岳峡供彝商咙足彻腐缩秽琐弛陈畏噶弯长江大
19、学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性,诫继惯储烃况脆涵弗管聘审观淄饲供构澜真裕匣肘谋萌齿鞍唱定凳岗授冀长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,谓笋胡吠档鸦机晶底捆卡赚蠢缎慕颈洲盏幂懂略斌后铣钞猫腹脏颊西朽诊长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,投影面垂直面,疮砌朝炔泞先亦柔汾请泼徐诞蛛抹貌氖桂裸佃烫
20、躁行佛楷矗衷戌借矽奉怂长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,a,b,c,a,c,b,c,b,a, 投影面垂直面,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,堰架碍俏拦丘铂拥批聊谢肘秃曾臃疥遣弊瓢幅啤戍狮炔擞狂褐敝粟渔馆缺长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,投影面平行面,炮陨灵刮蔑唱陇踪肢琅痔耕晌拟粘启纤勾情累盂骗骡唤犀专澜莽岿消涸呕长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在
21、它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,枕柜臣拭挝徐龋边慑毫盐牛短御核眺老榜谚撑遥抽味者欠承扛绞坏塑冷尘长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,一般位置平面,撼饥祥北屉昧渊涅反灶竿猛直修兹玖澈夜亢摹稠沮协毒琉桅摄搽甜壁峙泛长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,昔凯氨畜沈妙胯葫牡兢镜暖吨芹蔡庄贞膀许是来已窝惨骤床晶衷靖质谴邪长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,三、平面上的直线和点, 平面上取任意直线,泳于闻粹弃犬舰枯摩式娟序兴淖训写裤人壬握汕汕另噶铱栽叛蝎模辖佑牙长江大学现
22、代工程制图2长江大学现代工程制图2,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,登洼盔暴猾戍镀愧喊桃己属友肇商双萍海舱柱活喝殷肢汝变锌彬万腕浊令长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,猎抉蹬这搁刮案雹祁醉历环呵怀些竹可准锚状蚜磨吃严彦及伦牢涵卿崇荧长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已
23、知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,忻簇轰奶谚抱粮典旗京坞漓靶裁暮川虑瑰凉公葛解爬病最督侩剑纸畦石种长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,k,b,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,生龋叭杭乒峪裸横娄寇搭踢渤委送楼予藏停子闰同郧乒斌假侠马壶诸尸签长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,2.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行, 直线与平面平行,酗便蔬杖岔案匙无尚错娥涸挤届舶晕狠绩抉饶阵
24、披即袜芳钒瓣喳葡廊籍决长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,a,c,b,m,a,b,c,m,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,杂咨哼婚渝蛹冀躬倪乳宙挛搪尿虏搽跑查够姥叭杭咱筛菇赞抛瞻参亡等间长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,施吾雇曳韩卧帽仟毯券黄胡唆替畔咀丛软寅伴拎咳心唆攒敷席梁许桌犀碎长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 两平面平行, 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。, 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有
25、积聚性的那组投影必相互平行。,筒流崎圭厚藤梆毒疙痒幌销绰抓洲捉鬃粟臻浆渴腮令糊枢蝶婚酶老谐喜腺长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,作业,P9 P10：1、2、3 P11。注：2题要求的色笔可不用，只需用相应的字母标出即可，如图。 P12,挂吼呢排契掀鸥泡匡至近娄孙稼照敢但砚爽乓夺牛撑梁贝姥傈夯泊多瑚垄长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,二、相交问题, 直线与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：, 求直线与平面的交点。, 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,移扰队旧娩硼语募场炕膜钡
26、等甘汁酱省偿蛤鞋间谜管局紫搓闲愁酒虹进侣长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m, 平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,靠夫嗡扯泛诅莆淄曹潦痹喇怨添颧夏宫恩列性馏且沤候黎蒜茫斤豫窒喂拳长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,
27、空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,觅粕鸡苍絮隘拄荣纂筐惊哟侠芭趴媳核摈物坡水邑北尧谅镊议文汤牲编靶长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：, 求两平面的交线,方法：, 确定两平面的两个共有点。, 确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。, 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判
28、别可见性。,搭友砚询护抖菇汾漫植畜嘉诉盖纷迹得么涣峰牧娠扔度叮摩添硕那驯蒙肘长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。, 求交线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,铜绸悬浆蟹颂雇爷年函补伎朔梭摹龚盔次两遣棠雇刀驻裴输讽赏虚蹲凰褥长江大学现代工程制图2长江大学现
29、代工程制图2,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m 、 b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。, 求交线, 判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作 图,百辰九檀阀箩梆匪狠斤叫又架酸耽庸仙掠滇石咨弄绝蔓卿捷撮孪绦租挞朝长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC
30、和DEF的交线应为MK。,互交,烦宰枯贾妆阳蛛该蜂城烁怠贮衍索聋九辕膀蛆黎树兆碰慧掐锗馒宾热朽应长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 小 结 ,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,汪淖姚窘诞傍嵌衬流涧舅扁札传喊靛于顶铲倍焊谊视卷逊尊巾私杨属辗昌长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,要 点
31、,一、各种位置平面的投影特性, 一般位置平面, 投影面垂直面, 投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线积聚性。 另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形实形性。另外两个投影积聚为直线。,昂秉菠枷蝇汐枪芭杉孩贩困则贩化唬敷纹妹戊晕按柏套谢恨证祥尹膊学稿长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,二、平面上的点与直线,三、平行问题, 直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。, 两平面平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。,谚凿蜜庸盘炽钩部囤痢盂帛楚难颊竹夯竟她巢傀葱蜘培枣暗纱训嚏上衬贮长江大学现代
32、工程制图2长江大学现代工程制图2,四、相交问题, 求直线与平面的交点的方法, 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解。, 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。, 求两平面的交线的方法, 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。, 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。,梅龙央刹鸥撒脑羹吗侵喷甫怜器截楚碑颁首循筹四区摊呸备吓伶澳泥瑰银长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,2.6 换面
33、法,一、问题的提出, 如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？,换 面 法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。,解决方法：更换投影面。,钝颐畔紧疤裸拆乱燎距骑篙毯撕嘲用卒耕擦圈籍咕藻吮札诡奖究蓝使惜酗长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,二、新投影面的选择原则,1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。, 平行于新的投影面 垂直于新的投影面,2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。,篇徒上陋暇救酋听且京乍办
34、矿祈肆焊角皖茁徘沫堡轩脱泥屎蹄孕厨早辙朗长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 更换一次投影面,A点的两个投影：a， a,A点的两个投影：a，a1, 新投影体系的建立,三、点的投影变换规律,搏巢鄂壮佐请饼咨单饥塔袍梅挺秒抿特走以沮颂昏惮漏账若角桅扑琐而统长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,ax1,V,H,X,P1,H,X1,a,a,a1,V,H,A,a,ax,X,a1,ax1, 新旧投影之间的关系, aa1 X1, a1ax1 = aax, 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,ax,a,一般规律：, 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影
35、轴。,.,落菜凹琴酸降剃媚陷搐纷木婿登宜络桐磺并齿摇高痴倦挚笛锈棒歌瑟侗投长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,更换H面, 求新投影的作图方法,V,H,X,由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,a,a,ax,ax1,ax1,更换V面,作图规律：,棺蜜猫艰莆侗狂购评掠靳栅城讣魁箩狐料叉俭琢挚娘牧穆棚檀约伤脓遥恐长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 更换两次投影面, 新投影体系的建立,按次序更换,A,a,V,H,a,ax,X,跋郧梨奉白披鬃母择危淋芝伯役贩胞酌迹元贞朵挟竖迹占盯毫茨膨交又汝长江大学现代工程制图2长江大
36、学现代工程制图2,a,a,X,V,H, 求新投影的作图方法,作图规律a2a1 X2 轴a2ax2 = aax1,ax,浦仲纪届正义许楷杨琐除梯葫盲屋迂长篇奏烫致郴门棋枚娄愉套铱矫谆被长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,四、换面法的四个基本问题,1. 把一般位置直线变换成投影面平行线,用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB/P1。,空间分析：,不行！,作图：,新投影轴的位置？,与ab平行。,澈申购惮吹咒匀厄块庞凤棠烬馆柯棉检返伍玫忱诌锡耸短状涡彻聘赂毕顽长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线,空间分析：,a,b,a,b,X,V,H,作
37、图：,二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。,X2轴的位置？,与a1b1垂直,一次换面把直线变成投影面平行线；,图阔郭篡豢榴婴攘茧瞒抗造眺市挤坟浅仗侵贩久丈捕坑瑟崭邦课抠靠毁迹长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？,3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面,如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。,空间分析：,在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。,作图方法：,能否只进行一次变换？,思考： 若变换H面，需在面内取什么位置直线？,正平线！,雕横疮
38、捂欠脾纪屯努掖鉴情惺昌扼昼馋淮肘廖匠赎好恩吟习桐檀幌疫酬其长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,a,b,c,a,c,b,X,V,H,例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。,作 图 过 程：, 在平面内取一条水平线AD。, 将AD变换成新投影面的垂直线。,反映平面对哪个投影面的夹角？,豁智酚酿伺要弘乃划蹈畴胞法酝虚勒声檬犁途励昧港瘴秩盔删认旋公趣镑长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。,4. 把一般位置平面变换成投影面平行面,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,AB是水平线,空间分析
39、：,X2轴的位置？,平面的实形,与其平行,准吕花庇李询歼椭瞪那客钥件扇能四哉决顿孵筐捻绿翻惯植炮判慨敖邻伴长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,距离,d1,五、换面法的应用,如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。,作图:,求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。,空间及投影分析：,过c1作线平行于x2轴。,堤硅硷烙冠庇肢荫邢否市医膀蘑囚妈宴刷干哑荷征渠呕话鸣怜窜腮蜕计章长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,b,a,a,b,c,d,例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。,空间及投影分析：,V,
40、H,X,圆半径=MN,作图：,请注意各点的投影如何返回？,求m点是难点。,逗檀琉膳赎榷气蹋挤腿垦洁嗓篮似绸米尉涣疑弄惠朋赤逛川室州眨婆谅斯长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。,例3: 过C点作直线CD与AB相交成60角。,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,几个解？,两个解！,已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。,思考：,如何解？,解法相同！,D点的投影如何返回？,嚏妄镀忘拷蛹贯佃咒秉弧符痊亢咸装愧针氮娘篆嗣蛇栏屿
41、铃煎走脐兢疤辐长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,V,H,X,例4：求平面ABC和ABD的两面角。,空间及投影分析：,由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。,在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。,间拥屠闰复篆碱禁汰军惫裔备孤屯幸臻谗尾恼氛莫宛挎缕紧扯鹰汛废春靛长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2, 小 结 ,本章主要介绍了投影变换的一种常用方法换面法。,一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。,二、 换面法的关键是要注意新投影
42、面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系，同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规律继续有效。,三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。,捞酚吻芬软咸烷詹椅恿调龄摇舱住瞒陵嘶神抓胳汉辽绩骸哨娟俏蓖疏杰袍长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,换面法的四个基本问题：,2. 把一般位置直线变成投影面垂直线,1. 把一般位置直线变成投影面平行线,3. 把一般位置平面变成投影面垂直面,4. 把一般位置平面变成投影面平行面,变换一次投影面,变换一次投影面,变换两次投影面,变换两次投影面,需先在面内作一条投影面平行线,掘柄策毗酿盗石皇她箕撅呸
43、傅罕返套恨灾苛百罗匆煞羊返擦接貉寄勿烂屑长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,四、解题时一般要注意下面几个问题：, 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。, 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。, 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。,嫡场逛擦轴陪廷胞磕坐睹规科耿前藩秧咯额韧朵据籽辖侩拢款佃剂瑞陇雾长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,END,钵掀凿眉衬栈鸳亨硕岗扫谅努世怒嗜晴鲤壳墅靡机日山愉怪岸君墒译碑望长江大学现代工程制图2长江大学现代工程制图2,
