1、第 2 章 刚体的平面运动思考题解答 12-1 图示半径为 r 的圆盘 A 在半径为 R 的固定不动凹面上作纯滚动，已知图示 ，则该圆盘的角速度 （逆时针转向）是否正确？为什么？)(t)(t2-1 解答：不正确，因为 ，其错误的原因：误认为角度)()(trRrsvA是圆盘 A 的角位移。思考题 2-1 图O AR r2-2 图示平面系统，半径为 r 的齿轮 B 在绕轴 O 作定轴转动的齿条 OA 上运动，点 M 为轮缘上确定点，已知图示的 ， ，则齿轮的角速)(t)(t度为 （顺时针转向）是否正确？为什么？)(t2-2 解答：不正确，因为 ，其错误的原因：齿轮 B 相对于齿条 OA 作纯滚动，
2、若齿条 OA 静止不动，此时齿轮 B 的角速度 ，其转向为顺时针，而齿条 OA并非静止不动，其作定轴转动的角速度为 ，其转向为顺时针，所以齿轮OAB 的绝对角速度为 ，其转向为顺时针。思考题 2-2 图O A BM r2-3 在图示平面系统中，杆 OA1 以匀角速度 作逆时针转动，则杆 OA10和三角形 AC 边上各点图示的速度分布是否正确？为什么？2-3 解答：不正确。因为 01AOvPBC01 010101 COPAvAB所以各点的速度分布应改为如图所示的分布。思考题 2-3 图O1 O2A BC0O1 O2A BC0vvPABCv2-4 图示小车的车轮 A 与滚柱 B 的半径都是 r，设
3、 A、B 与水平地面之间和 B 与车厢之间都没有相对滑动，试问当车厢以匀速 v 前进时，车轮 A 与滚柱B 的角速度是否相等？为什么？2-4 解答：不相等， 。BA2， ； ， 。vrv2ABrv21思考题 2-4 图AB rr v AB rr vv2-5 试判断图示平面图形上六种速度分布情况是否可能？为什么？2-5 解答：(a) 不可能。因为，点 A 为平面图形的速度瞬心，v A = 0。(b) 不可能。因为，平面图形上的两点 A 和 B 的速度在两点的连线上的投影必相等，即 ，但图形上的两点 A 和 B 的速度在两点的连线上的投影BAv不相等，因此是不可能的情况。(c) 可能。(d) 不可
4、能。因为，平面图形上的两点 A 和 B 的速度在两点的连线上的投影必相等，即 ，但图形上的两点 A 和 B 的速度在两点的连线上的投影ABAv不相等， ，因此是不可能的情况。(e) 可能，平面图形作瞬时平移或平移。(f) 可能，平面图形绕速度瞬心作瞬时转动，如图所示。思考题 2-5 图A Bv)0(Av(a)BvA B(b)BvA(c)BvA B)/(A(d)A Bv)(BAv(e)BAv),/(Avv(f)BAAv),/(BAvvP2-6 下列各题的计算过程中有没有错误？为什么？（1）如图(a)示，已知 ，则 ，BvcosBAvABvABcos（2）如图(b)所示，已知 ，则平行四边形如图(
5、b)所示。（3）如图(c)所示，已知 为常数，OA = r， ，在图示瞬时 ，则rvABAv， 。rvB0Bva（4）如图(d)所示，已知 ，所以 。OA cosABv（5）如图(e)所示，已知 ，方向垂直于 O1A，v D 方向垂直于 O2D，v1于是可确定速度瞬心 P 的位置，于是 ，PvAD PA22思考题 2-6 图(a)ABBvA(b)BvBAvABO(c)BvA BOv(d)A BOBvAv(e)A BO12DvO2DP2-6 解答：(1) 错误。因为 ，将该式沿水平向左投影得到 ，BAv cosBAvcosBAv。cosAB(2) 错误。正确的平行四边形如图所示。(3) 错误。因
6、为 只是在该瞬时成立，而对该瞬时点 B 的速度的一阶rvBA导数不能得到点 B 的加速度。(4) 错误。因为，由速度投影定理 ，不能得到 。ABAvcosABv(5) 错误。因为点 A 和点 D 不属于同一刚体，因此不能用点 A 和点 D 的速度确定所谓的速度瞬心 P，而是按照图示的方法求解。BAvB(a)A vAvA(b)BBODv(e)A BO1 v2O2D PABEPDE2-7 图(a)、(b)所示两个相同的绕线盘以同一速度 v 拉动，设绳与轮之间无相对滑动，盘轮在水平地面上作纯滚动，试问这两个绕线盘往哪边滚动？角速度谁大？水平段绳子的长度在这两种情形下变化情况如何？2-7 解答：两种情
7、况的绕线盘都沿顺时针方向滚动，因为两种情况的绕线盘都在水平地面上作纯滚动，速度瞬心都是与地面的接触点；， ，可见 ；rRvarvbab两种情况的水平段绳子的长度变化相同，但是绕线盘沿水平方向所滚过的位移不同。思考题 2-7(a)Rr Cv(b)Rr C v2-8 试判断图示平面图形上六种加速度分布情况是否可能？为什么？2-8 解答：(a) 可能。假设平面图形的角速度 和角加速度 均为图示的顺时针转向，tnBAABaa大小 2方向 将上式沿水平向右方向投影得到 n0BAa2nABABa将上式沿铅垂向下投影得到 t t上述分析的结果完全合理，有可能实现。思考题 2-8 图A Ba(a) (b)A
8、Ba(c)20(BaA B(d)20(BaA(e)2,(12BAaBA12BA (f)ABaBaCnBAaA B(a)tBA(b) 可能。假设平面图形的角速度 和角加速度 均为图示的顺时针转向，tnBAABaa大小 2方向 将上式沿水平向左方向投影得到 n0BAa02将上式沿铅垂向下投影得到 tABaaBa上述分析的结果完全合理，有可能实现。(c) 可能。假设平面图形的角速度 和角加速度 均为图示的顺时针转向，tnBAABaa大小 2方向 将上式沿水平向左方向投影得到 ncoscsBAABaa2)(ABs2将上式沿铅垂向下投影得到 tsinsiBABaaABBsin)(A)(上述分析的结果完全
9、合理，有可能实现。tBAa(b)A BanA(c)20(BaA BtAn(d) 不可能。假设平面图形的角速度 和角加速度 均为图示的顺时针转向，tnBAABaa大小 2方向 将上式沿水平向左方向投影得到 ncossBAABaa)(2（不合理，不可能实现）0sBA将上式沿铅垂向下投影得到 tsiniBABaaABsin)( ABasin)(上述分析的结果完全不合理，不可能实现。(e) 可能。假设平面图形的角速度 和角加速度 均为图示的顺时针转向，tnBAABaa大小 2方向 将上式沿水平向左方向投影得到 n12cossBAABaa12（合理，可能实现）0)s(2A将上式沿铅垂向下投影得到 t12
10、sinsiBAABaaABa12sinsi （合理，可能实现）0)(上述分析的结果完全合理，可能实现。(d)20(BaA tn(e)2,(12BAaBA12BA tAan(f) 无条件，必然性。特殊情况：平面图形中的三角形 ABC 为等边三角形，平面图形绕三角形的形心 O 作定轴转动，这样就实现了符合上述条件的运动了，且 aA = aB = aC 。一般情况：假设平面图形的角速度 和角加速度 均为图示逆时针转向，tnBAABaa大小 2方向 将上式沿 AB 方向投影得到(1)n1cos0BAAaA12cos将上式沿垂直于 AB 方向投影得到(2)t1iBAABaBaA1intnCCBBCa大小
11、 a2方向 将上式沿 BC 方向投影得到(3)n1cos0CBBaB22cos将上式沿垂直于 BC 方向投影得到(4)t2iBBCaCB2intnACAAa大小 Ca2方向 将上式沿 AC 方向投影得到(5)n3cosCACaC32cos将上式沿垂直于 AC 方向投影得到(6)t3iAaA3in几何关系：在三角形 ABC 中(7)90321)(90213(f)AB BaCatAntAtBn123(8)90sin()90sin()90sin( 123 BCAB123coscosBCAB将几何关系式(7)、(8) 代入运动约束方程式 (1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中，得到ABaa)
12、si(co212 ACa)(sico212)sin(nicoin 2121 CBBA 21122 co)c(sssCACB aaa进一步推导得到恒等式，也就是说受上述几何条件式(7)、(8)约束的运动方程式(1) 、(2)、 (3)、(4)、(5)、(6)是无条件成立的，即题目所述及的运动形式是完全有可能存在或实现的。2-9 图 (a)、 (b) 所示瞬间，试问 与 ， 与 是否相等？为什么？12122-9 解答：(a)杆 AB 作平移， 0ABAB1OvA2vB21naA1tAa2OB2tBttA1(b)杆 AB 作瞬时平移， 0ABAB1OvA2vBtntntn BAAaa其中21nOA1tA2nBO2tBa(a)1A BO1O2( O1A = O2B，AB = O1O2 ) (b)( O1A = O2B， O1A / O2B，O 1A 不垂直于 AB ) 1ABO1O2 2思考题 2-9 图(a)1A BO1O2( O1A = O2B，AB = O1O2 ) vvnatAantBa(b)( O1A = O2B， O1A / O2B，O 1A 不垂直于 AB ) 1ABO1O2 2vvnatAantBat02nABBAaABBAat将上述加速度矢量式沿 AB 方向投影得到sincosincottn AABBsincoi 12122 AOO0ct122
