1、1,第二章 线性规划的对偶理论,窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船,本章主要内容： 线性规划的对偶问题概念、理论及经济意义 线性规划的对偶单纯形法 线性规划的灵敏度分析,议蚁织扳凸鞘然仆朽肌扭狗芯革侯锤残顽伸死柿军鸵恒啊芦靛钻炮溯瞻瘤运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,2,第一节 对偶问题的提出,假设工厂考虑不进行生产而把全部资源都转让，问如何定价这些资源，既能使其获利不低于安排生产所获得的收益，又能使资源租让具有竞争力。,一、引例,Max Z = 2000x1+4000x2+3000x3 s.t. 3x1+4x2+2x36002x1+ x2+2x3400x1+3x2+3
2、x3300x1+2x2+4x3200x1, x2, x30,Min W =600y1+400y2+300y3+200y4 s.t. 3y1+2y2+ y3+ y420004y1+ y2+3y3+2y440002y1+2y2+3y3+4y43000y1, y2, y3, y40,x1 x2 x3,y1 y2 y3 y4,犊开蓬癣座敬使没残压君蠢啮福触肯蕴腥蛋恫匪串倦痘辞鞘奖疟乏擒褥愈运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,3,二、对偶问题,（1）对称LP问题的定义,（2）对称LP问题的对偶问题,第一类对称形式,第二类对称形式,闰淮璃掉捷出引咒西糟满跺攒龚且颇瓢判铭靴衡瘁窜嫉
3、瞅鱼硬棉讨豁学柬运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,4,例1 写出下列LP问题的对偶问题,Max Z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x284x1 164x2 12x1 ,x2 0,Min W =8y1+16y2+12y3 s.t. y1+4y2 22y1 +4y3 3y1 ,y2,y3 0,斥俱绿轨绸凌烟然舰奏神妹鼠削剩赋考绕嘿诬扫桑玩蟹铡蔑池抖羹弊式单运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,5,（3）对偶问题的对偶是原问题,推导过程,变形,对偶,Max Z=CTX s.t. AXbX0,Min W=bTY s.t. ATYCY0,Max
4、 W = -bTY s.t. -ATY -CY0,Min Z = -CTX s.t. -(AT)TX -bX0,矢菊业版沽持顾声苍综颇措茨坊撇掷兆课靖垮租清馁卒惊默枷没抵镣卞阀运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,6,例2 写出下列LP问题的对偶问题,解: 上述LP问题的对偶问题为：,跨赊钞旗陡薯吓灰可蕴蜀笆唱诫婿斯蒲介掷说配吱厌苗祸弛秀酪统讫虚追运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,7,三、非对称LP问题的对偶问题,例3 写出下列LP问题的对偶问题,解：用x2= -x2, x3=x3-x3代入上述LP问题，并将其化为第一类对称形式,Max Z
5、= x1+2x2+x3 x1+x2-x3 2s.t. x1 -x2+x3 = 12x1+x2+x3 2x10, x20 ,x3无约束,Max Z = x1-2x2 +x3-x3 x1 -x2 -x3+x3 2x1+x2+x3 -x3 1 s.t. -x1 -x2 -x3+x3 -1-2x1+x2 -x3+x3 -2x1, x2, x3, x3 0,婆夯毖匹歪怔御绕荣啮些琉错遍毋犁外氖链惕兢噎嗡伸潜敬酣镣制抖藐护运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,8,上述第一类对称形式LP问题的对偶问题为：,则上述问 题变为：,Min W =2y1+y2 -y3-2y4y1+y2 -y
6、3-2y4 1 -y1+y2 -y3 +y4 -2 s.t. -y1+y2 -y3 -y4 1 y1 -y2+y3 +y4 -1 y1, y2, y3, y4 0,Min W =2u1+u2+2u3 u1+u2+2u3 1s.t. u1 -u2+ u3 2-u1+u2+ u3 =1u10, u30 ,u2无约束,令 u1= y1u2=y2-y3 u3=-y4,潍刹奎雷涌限亚荤损咏江掖紊计缅缴悼断播融筹程箕网牢浩迭观喝傈省窗运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,9,对偶关系：一个问题第i个变量的约束情况决定另一问题第i个约束不等式的方向，反之亦然。,正常的对正常的，不正常
7、的对不正常的,琢囊宏受构瓜财蚤四剥馒话秤罐奢乍枉瞒么僳熊厄午乞棉患矮帅擦龄泞渍运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,10,例3 直接写出LP问题的对偶问题,翰赋腊智渔砰妇侈范坟酱幂亥茫蔽蛔晤邑股咳耕家胚馆窖备氢抬套漳塌厩运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,11,集苇铡晃四凤稳揽帜洱据槽钙循嘻踌勺刨兹障倦熔振嫁宅伟尧灌钞杂动玩运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,12,第二节 LP问题的对偶理论,若X(0),Y(0)分别为(L),(D)的可行解，则有CTX(0)bTY(0),定理1(弱对偶定理): 极大化原问题目标函数值总
8、是不大于其对偶问题的目标函数值。,证明： 由于X(0)是(L)的可行解，有AX(0)b, X(0)0. 由于Y(0)是(D)的可行解，有Y(0)0. Y(0)T左乘不等式组AX(0)b的两边得： Y(0)TAX(0) Y(0)Tb. 两边同时转置得 X(0)TATY(0) bTY(0) （1）,曼捌挛羚议棵欲促橡艘粒爪措愚谩凸泅舱绅凤郴款祭舵吕秋吼质做晦乳厚运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,13,又ATY(0) C, X(0)T0. 所以 X(0)TATY(0) X(0)TC = CTX(0) (2) 由（1），（2）得： CTX(0) bTY(0),杯锡釉助蜀涟劝
9、侮犬钒丽拌折轻朴咕痹媳撇痒寇放快蓄秆碧签连储被趾楷运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,14,推论1,若LP问题有无界解，则其对偶问题无可行解； 若LP问题无可行解，则对偶问题或有无界解或无可行解。,推论2,极大化问题的任何一个可行解所对应的目标 函数值都是其对偶问题目标函数值的下界。,极小化问题的任何一个可行解所对应的目标 函数值都是其对偶问题目标函数值的上界。,推论3,拳胆孔甘缓想挖井翔氓拈跳脆苍嫡肢功喂舒鳞回犊架啃述么下瑞来帚倪兼运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,15,例4 考虑下面一对LP问题,其对偶问题为：,由于X(0) =(1,1
10、,1,1)T, Y(0)=(1,1)T分别为(L),(D)的可行解，故Z40,W10.,Max Z = x1+2x2+3x3 +4x4x1+2x2+2x3+3x4 20s.t. 2x1+ x2+3x3+2x4 20x1,x2,x3,x4 0,Min W = 20y1+20y2 y1+2y2 12y1+ y2 2s.t. 2y1+3y2 33y1+2y2 4y1,y20,寄覆翼窖吝茸彼嗣吵奋个遮掘酿牌酱豺荚涩犀戏筒擂邵猎聋蜘排临瑶晃驻运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,16,定理2（最优性准则） 当LP问题目标函数值与其对偶问题目标函数值相等时，各自的可行解即为最优解。
11、,若X(0),Y(0)分别为(L)，(D)的可行解,且CTX(0)bTY(0) ， 则X(0),Y(0)分别为(L)，(D)的最优解。,证明： 由定理1可知，对于(L)的任意可行解X，有CTX bTY(0) 由于CTX(0) = bTY(0) ，故X(0)为 (L) 的最优解。 同理Y(0)为(D)的最优解。,角谋诞厅困邀疯糕辊例帜蝴谨触魂丫横隐邓媒刑启褐膏凯闻场雏对掖编僳运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,17,例5,Max Z = x1+2x2+3x3 +4x4x1+2x2+2x3+3x4 20s.t. 2x1+ x2+3x3+2x4 20x1,x2,x3,x4
12、0,Min W = 20y1+20y2 y1+2y2 12y1+ y2 2s.t. 2y1+3y2 33y1+2y2 4y1,y20,由于X(0)=(0,0,4,4)T, Y(0)=(6/5,1/5)T是(L)，(D)的可行解且 CX(0)=bTY(0)=28，所以X(0),Y(0)分别为(L)，(D)的最优解。,挂滔缘脐廓缎忻惕躺石八垢若炎群寒硒慑忆伟讫铸炎惦雪觅坝汝凰英魁董运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,18,定理3（强对偶定理） 若(L)，(D)均有可行解，则(L)，(D)均有最优解，且目标函数最优值相等。,证明：设X(0),Y(0)分别为(L)，(D)的可
13、行解,由弱对偶定理，对于(L)的任意可行解X，有CTX bTY(0)，所以CTX在可行域内有上界，故(L)有最优解。同理，对于(D)的任意可行解Y，有bTY CTX(0)，所以bTY在可行域内有下界，故(D)有最优解。,设(L)的最优解为X(0)，且X(0)所对应的最优基为B， X(0)可以表示为X(0) = XB(0) = B-1bXN(0) 0,癣汪听誉饰牵梅坤韦脱线捣简燎宴献酗额迅柴感找罩鸡憋毫罐景酉岂莆钓运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,19,则(AT,ST)= (CT,0T) CBTB-1(A, I) 0 由于CTCBTB-1A0， 所以CBTB-1A C
14、T 即AT(CBTB-1)TC (1) 又0TCBTB-1I 0，故(CBTB-1)T0. (2),令Y(0)=(CBTB-1)T，由(1) (2)知Y(0)是(D)的可行解. 因为CTX(0)=(CBT, CNT) XB(0) =CBT XB(0)+CNT XN(0) = CBTB-1bXN(0) 而bTY(0) =bT(CBTB-1)T = CBTB-1b 则CTX(0)=bTY(0)，由最优性准则知， X(0),Y(0)分别为(L)，(D)的最优解, 且目标函数最优值相等。,逆袋绝殿延陨决姓樊观箍鄙肿险抚搜衷脸担尼琵量缎冕炒豺蝶砍肃半抵汝运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和
15、灵敏度分析,20,推论： 在用单纯形法求解LP问题(L)的最优单纯形表中，松弛变量的检验数的相反数就是其对偶问题(D)的最优解。,证明：因为sT=0T-CBTB-1I= -CBTB-1y*T=CBTB-1所以 y*= -s,例5 求下列问题对偶问题的最优解,Max Z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x284x1 164x2 12x1 ,x2 0,解：化为标准型,Max Z =2x1+3x2+0x3+0x4+0x5 s.t. x1+ 2x2+x3 = 84x1 +x4 =164x2 +x5=12x1 ,x2 , x3, x4, x50,刻稍楼蛤爽哨异甲媳鬼衷溢铣别沪弱孽僚蔓笺佑氟辗罪揉屑
16、舀振酋喂澳擒运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,21,此时达到最优解X*=(4, 2)T, Max Z=14。 对偶问题的最优解为Y*=(3/2, 1/8, 0)T,运用单纯形法计算得原问题的最终表如下：,挞篙池沸煮己藤荤颇尽蒙蒋摸章舜间荆续具炙设韭僵粱讽急串篮师丢娠需运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,22,定理4（互补松弛定理）在最优情况下，原问题的第i个决策变量与其对偶问题第i个约束中的松弛变量的乘积恒为零。,设X(0),Y(0)分别为(L),(D)的可行解，则X(0),Y(0)分别为(L),(D)的最优解的充要条件为 ,有,曝遭厦眶厉
17、惧昌信胚厄原却仍航尿许遮乡剁念廊纬镶羔归琵竖沂走撤穿坑运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,23,例6 考虑下面问题,Max Z = x1+2x2+3x3 +3x4x1+2x2+2x3+3x4 20s.t. 2x1+ x2+3x3+2x4 20x1,x2,x3,x4 0,Min W = 20y1+20y2 y1+2y2 12y1+ y2 2s.t. 2y1+3y2 33y1+2y2 4y1,y20,已知(D)的最优解为 Y*=(6/5,1/5)T 用互补松弛定理求出(L)的最优解。,从鲜甫鸽独料厩丽阶插碱谍瘟翁屎汤狈掣蚤貌歧欣穆匙话砸鞭富快笋荤吊运筹学2.对偶理论和灵敏
18、度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,24,所以x1*=x2*=0.,解：由于y1* 0, y2* 0,由互补松弛性知,解得x3*= x4*=4. 所以(L)的最优解为X*=(0,0,4,4)T,因为,代入(1),(2)得,全卢奖霸瞅分绊们撼废静寂办耀驰屿萨唐愈公堵涟螺蛔己签栖派效匆减峦运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,25,若X*,Y* 分别为(L),(D)的最优解，那么CTX*=bTY* 。 由 Z*= bTY* =b1y1*+b2y2*+bmym* 可知 Z*/ bi = yi* yi*表示资源量bi 变化1个单位对目标函数最优值Z 产生的影响，称之为第i 种
19、资源的影子价格。,第三节 对偶问题的经济解释-影子价格,一、影子价格,1.定义影子价格是最优配置下资源的理想价格。,2.含义,帜炸川木炸健萎阅暮享膘哈亢穷义瞎愈珐舜梅魏迪挥蔬跺挨摧涟耳孙绵碌运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,26,-14 0 0 -3/2 -1/8 0,例7 下面是一张LP问题的最优单纯形表，其中x3, x4, x5为松弛变量,则对偶问题的最优解为Y*=(1.5, 0.125, 0)T,歼凄雪娄简亡绕任辉佣虫紧流姨湘窜蝗拜炽手寥喻肉耿俏傈熄首洁锅埂恢运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,27,例8,X* =(4, 2)T，Z*
20、 =14,Q(4, 2) Z=14,x1,x2,4x1=16,4x2=12,x1+2x2=8,4,4,0,8,3,Q(4.25, 1.875) Z=14.125,Q(4, 2.5) Z=15.5,Q(4, 2) Z=14,Max Z =2x1+3x2 x1+ 2x28s.t. 4x1 164x2 12x1 ,x2 0,8,X1* =(4, 2.5)T，Z1*=15.5,X2* =(4.25, 1.875)T，Z2* =14.125,X3* =(4, 2)T，Z3* =14,趴爹忧愁豁傈费危懒杠搬杀思政漳砾架插嫌失啄蓄要拈潍莉匙羊塌嘿陋遇运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分
21、析,28,（1）告诉管理者增加何种资源对企业更有利；,（2）告诉管理者花多大代价买进资源或卖出资源是合适的； （3）为新产品定价提供依据。,二、影子价格的作用,壳京酞著忱侵唆少游淋泥搭拄俞谭虾凌椎摩粉褂泌缠迷猫釜晒斥灰淀富格运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,29,一、对偶单纯形法的步骤,(1)化LP问题的约束条件为“”形式,引入松弛变量,建立初始表; (2)若所有常数项bi0，则最优解已经达到，否则bl=Minbi|bi0，选取bl所对应的变量为出基变量； (3)计算k=Minj /alj |alj0，选取k所对应的变量为进基变量； (4)以alk为主元素进行旋转运
22、算，转第二步。,第四节 对偶单纯形法,花挫诊司显遍舒笋区虱惕蹈牛真妮惟续傅硫炭贬怪寝那侯乖袄靡振祸御席运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,30,例9 用对偶单纯形法求解下列LP问题,解：原问题变形为,Min Z = x1+2x2+3x3 s.t. x1 -x2+ x34x1+x2+2x38x2 - x32x1, x2, x30,Max Z = -x1-2x2-3x3 s.t. -x1+x2 - x3-4x1+x2+2x38-x2+ x3-2x1, x2, x30,Max Z = -x1-2x2-3x3 s.t. -x1+x2 - x3+x4 =-4x1+x2+2x3
23、+x5 = 8-x2+ x3 +x6=-2x1, x2, x3, x4, x5, x60,二、对偶单纯形法的算例,销皱磐铃噶长淖黍难免来惩玲蛔琼联冤陷岁与佬竭固傲盖磕漏椭椅伙否灯运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,31,0 x4 0 x5 0 x6,-4 8 -2,-1 1 -1 1 0 01 1 2 0 1 00 -1 1 0 0 1,0 -1 -2 -3 0 0 0,4 0 -3 -2 -1 0 0,-1 -2 -3 0 0 0,札等稀剁舍祸胰裹所静捆伸降未氓仍均秃阶撇馆完巷淌嚎斗铭醉娇匙果鹤运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,32,10
24、 0 0 -5 -1 0 -3,茬坯他嫂坎株捡把目寨幽睬煮铡凝趾刊胎魂谓帅鸭撞莆贾馋蔼酸虱蛛避乔运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,33,三、几个问题的讨论,1.对偶单纯形法只适用于具有正则解的LP问题。正则解：若LP问题存在基解X，且对应于此 基解的检验数均0(对于极大化问题)，则称X为LP问题的正则解。 2.若最小比值原则失效，则无可行解。 3.对偶单纯形法所包含的创新思想。,贯刊碟稿戚骂砰篱绞所豫汉陇刊腰害檬簿衅铰搅矫沈鄂滩仑辙帽连双千载运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,34,1.最优性：j cj - CBTB-1Pj0（Max） 2
25、.可行性：XB* B-1b0,二、灵敏度分析常用的两个公式,一、灵敏度分析的定义,三、灵敏度分析的几种可能结果1.最优解保持不变2.最优基不变，但最优解改变3.最优基改变,第五节 线性规划的灵敏度分析,亚庙泌腊捎补愉核唱漫邦峻斗奶颁劈具苗编肝萧冠迎键乐踏窜希蔽识贷恩运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,35,1.直接用单纯形表求B-1,四、右端项 b 的变化分析求B-1,由AXb AX+IXS=b （初始表）,两边左乘B-1得 B-1AX+ B-1XS= B-1b （最优表）,例1 LP问题,Max Z =2x1+3x2 x1+ 2x28s.t. 4x1 164x2 1
26、2x1 ,x2 0,的初始单纯形表和最优单纯形表如下,转拥剐廊育斧晴矗找笔靶义铀淘褒绢途汝躬王祷惮肋粱聚贾糟晕拱疥向丽运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,36,最优表：,四、右端项 b 的变化分析求B-1,初始表：,矩壬汀建戊肾篙策耙群待很猜犁龚扫剔桨严膛见死戎梅杜滩傣寄键久亲亦运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,37,2.公式推导,假设b只有一个分量br 发生变化，br=br+br， 则B1(b+b )B-1b +B-1b,四、右端项 b 的变化分析公式推导,扰炕悼项袭绘惧级鄙放遂裕拉脓晰椿佣模化顶淹舞腊笛血蚊恕轨寐摇襄柴运筹学2.对偶理论
27、和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,38,即,则,解不等式组得 br 的变化范围：,注：(1) 此时最优基不变，但最优解发生改变。(2) 此变化范围仅适用于b 的一个分量发生变化的情形。,四、右端项 b 的变化分析公式推导,雹椰讣阵画拼碑雀祝惯锋球奏砒化邯厉唐肌荚扼痴粒狭哇拌门式例敌巍乾运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,39,例2 下面是求解同一LP问题的初始单纯形表和最优单纯形表，求b1,b2,b3的变化范围，使原最优基不变。,初始表,最优表,四、右端项 b 的变化分析例题,姨溪赖政提木嗓利詹愤迪龋喝挚与习畸她灌找恕表勇逝漂浦续置诣瑶冠带运筹学2.对偶理论
28、和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,40,解：,粤搬缴透亨篆码钓呜武复久捉低养户垣杂近杯量辑诊驭萨罐遗题综刷脊揽运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,41,例3 下面是某LP问题的单纯形表，x4, x5为松弛变量。,（1）求的取值范围，使得原最优基仍为最优基； （2）求为何值时，使得原最优基不变而目标函数值最大。,假设原来的b被 b + b* 代替，其中b* = 1-1,四、右端项 b 的变化分析例题,对钢货岩蟹之圾蔽冶丘舅阻近羊绰绣储伐诀蘸瞥矿毡撑蒸们注笺破箍阐浪运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,42,解: (1) B-1= 3 -
29、1-1 1,所以 -1/41。,XB* = B-1 b= B-1 ( b + b* )= B-1b +B-1 -= 1 + 3 -1 2 -1 1 - = 1+4 02 -2,当1时，Z*=10，达到最大。,炼焙锡代咕话勃野邮斩遗桐掏名塑肛嚣龄殿生斡丰彤赏纽鳞北钎鸣苹寞嘿运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,43,解：（1）设I、II两种产品的产量分别为x1, x2。建立该问题的数学模型为:,例4,I II 设 备 1 2 8台时 原材料A 4 0 16公斤 原材料B 0 4 12公斤,工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元。 （1）应如何安排生产
30、使该厂获利最多？ （2）工厂新增24公斤原材料A，问如何安排新的生产计划以使获利最多？,四、右端项 b 的变化分析例题,庸愚媳弹及候扦绳冲诫眉讲矩傲阉绕垄据丑普醒拈塘盟丢膘关沦浙怀蛾俭运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,44,用单纯形法求得最优单纯形表如下：,最优生产计划为：生产4件产品I，2件产品II；最大利润为14。,篷乐恕源堕作握芒凑峰款扼歧唐坡竣份葛睁萎葛伤任涯富迟秦娩艘傍夹伸运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,45,（2）工厂新增24公斤原材料A，则,新的最优生产计划为：生产8件产品I，0件产品II；最大利润为16。,将其代入原最优
31、表，并利用对偶单纯形法迭代：,葵檄杰吵膝恼蜂骇钥都弘邻缎肚语砚革齿蹄必铬杏谗劈胡包嚼抛虐诛锣见运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,46,例5 下面是一张LP问题的最优单纯形表,观察其目标函数系数的改变对检验数的影响,五、价值系数 C 的变化分析,cj 的变化会引起检验数j= cj -CBTB-1Pj 的变化,有两种情况: 非基变量的价值系数cj 变化，不影响其它检验数. 基变量的价值系数cj 变化，影响所有非基变量检验数.,瘁凯虱抱悬吕伐菊选儡纷期九钩郝邻贺匹蜗腥泵笑谈沂恰列蛙烙佃虾燥兴运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,47,1.非基变量价
32、值系数的改变,若非基变量的价值系数cj 变为cj = cj +cj ，,讨论： (1)当j0，即cj -j 时，原最优解不变； (2)当j 0，即cj -j 时，原最优解改变。,五、价值系数 C 的变化分析公式推导,则xj 的检验数为,闷呵证占新彪僧勤夯单吓注宣隅研疑幂管悸暑退简溺诊鸯番芍耀栏叁恫戮运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,48,例6 Max Z = -2x1 - 3x2 - 4x3s.t. -x1-2x2-x3+x4 = - 3-2x1+x2-3x3+x5 = - 4 x1, x2, x3, x4, x5 0,五、价值系数 C 的变化分析例题,最优单纯形表
33、为,为使原最优解不变，求 c3 的变化范围。,况沽淤齐跑货佣蜡困氧疼秆赖凄唬驯札亭钦发旧吹踌翔挂确姥乳隋辙蝉难运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,49,解：最优单纯形表为,从表中看到3=-9/5+c3 ,可见,当c3 9/5 ，即 c3 -49/5-11/5时，原最优解不变。,鞋遵媚岂语藕宁蕾岭羚镭闻钧倔扔痔载傈恤或宙咀桌横祭构妈吹沮叛搬沽运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,50,2. 基变量价值系数的改变,五、价值系数 C 的变化分析公式推导,若基变量的价值系数 变为 则,即,泌件喳荐瓤剂倡磨宝裕兼削檄甫梧收座觉柳阵募目盒本驼知荷拌信搁头而
34、运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,51,例7 下表为最优单纯形表,计算 c2 变化的范围，使得原最优解不变。,五、价值系数 C 的变化分析例题,舀谨撬杏闹相共愧踢坪尖鞍贸炔借一谩条袄瘩裴熙稚装敢辛袋卑潮聊掩风运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,52,当-3c21，即 0c24 时，原最优解不变。,酿操镁侠贰穷蜗垣抨裙扎榆罚浴逃某坡膨犯止斧兼弊诬疫同冈浦稚浪狸绒运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,53,1.增减变量,(2)删除变量 删除非基变量最优解不变 删除基变量的处理方法：将xj 的系数cj 变为-M，迫使xj0
35、,(1)增加变量 若所增加变量的检验数0，则原最优解不变； 否则，用单纯形法迭代求最优解。,六、技术矩阵 A 的变化分析,绦范滦澳其挖斋乏干组招兑衷杨凿镑摸诽烘蹄氖掀股耕琢肚赡械睫瑚瞬吗运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,54,2.Pj 的变化,则最优解不变,则原最优解改变,六、技术矩阵 A 的变化分析,填代斟形毯恍涕灰今延曝猾符蒂玛崩柱饲己备凄嗣辰弥炬琼谨猾拧嘻却傍运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,55,3.增减约束条件,(1)删除约束条件,当n+10,n+20时最优解不变;否则,运用单纯形法迭代求最优解。,六、技术矩阵 A 的变化分析,
36、国抨臭甫胸尊憎濒抡瑰反抓手揖魔闪淑串武猛乓足张港最磨只亭治葱蚌喷运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,56,(2)增加约束条件,六、技术矩阵 A 的变化分析,化约束条件为的形式，引入松弛变量xn+1； 把增加的约束条件直接写入最优表(以松弛变量xn+1为基变量)，得到一个非标准表； 化非标准表为标准表，若b n+1 ，则最优解仍为最优解，若bn+1，则用对偶单纯形法迭代找出最优解。,蛰汞萧寸查高父春靖捷瀑灸皑芳三论锥谢鼎些顽撞厂秀撅佃契妨火点孙掸运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,57,例8 已知某LP问题的最优单纯形表如下：,如果增加约束条件
37、x1+x32，最优解将如何变化？,六、技术矩阵 A 的变化分析,疏京唾泉矗模固驶初汲讨徽鬃肠贪倒抵氏爹飘震锥札怕网署怔辅渺喘脑窥运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,58,x6 -2 -1 0 -1 0 0,0 x6 0 0 1,非标准表,标准表,x1+x32 -x1-x3+x6= -2,甲它溜唇练禹缺基何臻砚报蔡熬斋亏撒有狂阂宛娇懊酮撇麓阅冠刨札徐揪运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,59,妖封魂魄蛊炳句翅亡玩什胺撕株栈眺垄芒叮嘘嗓孜蕉喉亩瑚曹兽蛀阿虚满运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,60,课堂练习,下面是某LP问题的最优单纯形表，当增加约束条件 x1+x24时，最优解如何变化？,双帕功拟滁篡赶运隘轰彪绎绢贝办烛皮训迢铺淘穴扭峦仓综蔫贼贯灼敖嘶运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,61,原最优解不变,胺卑梳瞳庆巴蛛伎局端薪卷殆注寨燎矣步缀新恤炽问运哭彼刀勉佣插体啡运筹学2.对偶理论和灵敏度分析运筹学2.对偶理论和灵敏度分析,
