1、第十一章 图与网络规划 Graph Theory and Network Analysis,11.1 图与网络的基本概念 11.2 最短路问题 11.3 网络最大流问题 11.4 最小费用最大流问题,辽整骚名闰宜若令卖绥算拢狱眠频佃拒蔬琢汛俄饿菜铸饥兆篷板嘱厕穷狼运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,内容简介,是近几十年来运筹学领域中发展迅速、而且十分活跃的一个分支 对实际问题的描述具有直观性 广泛应用于物理学、化学、信息论、控制论、计算机科学、社会科学以及现代经济管理科学等许多科学领域 图与网络分析的内容十分丰富本章只介绍图与网络的基本概念以及图论在路径问题、网络流问题等领域中的应用重点
2、讲明方法的物理概念、基本原理及计算步骤,瞳楚龟勋参球圃兹跋居辉剐萨栓槐壤跨幅军我额磨画渡折施麦幢又炯抽恤运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,11.1 图与网络的基本概念,图的理论研究已有200多年的历史了早期图论与“数学游戏”有着密切关系所谓“哥尼斯堡七桥”问题就是其中之一,200多年前的东普鲁士有一座哥尼斯堡城，城中有一条河叫普雷格尔河，河中有两个岛屿共建七座桥平时城中居民大都喜欢来这里散步，并提出这样一个问题：一个散步者能否经过每座桥恰恰一次再回到原出发点,倦冤贬妮原脊华女慧逢墒藩遥省枉詹窗雍穗浸悸即滥臂些颈憨枉褥涪靶札运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,11.1 图与网络的基
3、本概念,当时有许多人都探讨了这个问题，但不得其解 著名数学家欧拉（Euler）将这个问题简化为一个如右图所示图形图4个点A、B、C、D表示两岸和小岛两两点间连线表示桥,番淡构滦怀煤袋讼抓份砰眨龙鼠瓶阻晾奔辊吭沈应忍休村胞己燎帆嘶茸整运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,11.1 图与网络的基本概念,于是问题转化为一笔画问题，即能否从某一点开始一笔画出这个图形，不许重复，最后回到原出发点 欧拉否定了这种可能性 原因是图中与每一个点相关联的线都是奇数条 为此他写下了被公认为世界第一篇有关图论方面的论文（1736年）,羔验掌憨兽班域咙耽勿激帽于倡斧榨征吟嗓算馒嫁鸿趴隋底些时忿铱集佑运筹学11-图
4、与网络运筹学11-图与网络,11.1 图与网络的基本概念,1859年哈密尔顿提出了另一种游戏：在一个实心的12面体（见图）的20个顶点上标以世界上著名的城市名称，要求游戏者从某一城市出发，遍历各城市恰恰一次而返回原地，这就是所谓“绕行世界问题”,帖望把姜鸡棵惋援抽镣致桂横忘睹谰查占罢急骏虹探谅玩褂推坡条汤厦怔运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,11.1 图与网络的基本概念,作图，此问题变成在从某一点出发寻找一条路径，过所有20个点仅仅一次，再回到出发点 解决这个问题可以按序号1234一一201所形成的一个闭合路径，并称此路径为哈密尔顿圈 具有哈密尔顿圈的图称为哈密尔顿图,失见盂匆赂厨诚碟
5、姑股凋寝肛乾腰竣唇齿姿矛茹惩架旱舞橙敌须眠渭薄宋运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,11.1 图与网络的基本概念,由此可见，图论中所研究的图是由实际问题抽象出来的逻辑关系图 这种图与几何中的图形和函数论中所研究的图形是不相同的 这种图的画法具有一定的随意性，在保持相对位置和相互关系不变的前提下，点的位置不一定要按实际要求画，线的长度也不一定表示实际的长度而且画成直线或曲线都可以 通俗地说，这种图是一种关系示意图,舀须牢骤荧腥汐街铰僵狱淤眉犊滩弛柏榷刑屑峡牛似懊疾轴寿若返吉架层运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,11.1 图与网络的基本概念,图的概念 所谓图，就是顶点和边的集合，点的
6、集合记为V，边的集合记为E，则图可以表示为：G（V，E），点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系，因此，边不能离开点而独立存在，每条边都有两个端点。 在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的，则两个图相同。,背莱毛误纽辉榴渊浑耙蛊秩揍必典织活淄组掖璃地鸡亮挤醒梢萝过搁嘲皖运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,图的表示,曳渺兢常皖咎辈瓜喂掂挠已绳搽韧疗败筏拭掺跑巨霓垛襟蓬犬究钧睹缀拦运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,点与边,顶点数 集合V中元素的个数，记作p(G)。 边数 集合E中元素的个数，记作q(G)。 若e=u,vE，则称u和v为e的
7、端点，而称e为u和v的关联边，也称u，v与边e相关联。 例如图中的图G，p(G)=6，q(G)=9， v1，v2是e1和e2的端点，e1和e2都是v1和v2的关联边。,葵屡安哑腹掉兜坐衙洛遮向厚殊丰怨釜赫疯睡杯嚷拔动殖内厌缄焚诞沫秆运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,点边关系,若点u和v与同一条边相关联，则u和v为相邻点；若两条边ei和ej有同一个端点，则称ei与ej为相邻边。 例如在图中v1和v2为相邻点， v1和v5不相邻；e1与e5为相邻边，e1和e7不相邻。,倔栓稚烯私隧灼谊萄威都烈衔控稍肾斋碍楔敢郎找把乡土痢看溅怜煌渤颅运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,简单图,若一条边
8、的两个端点是同一个顶点，则称该边为环；又若两上端点之间有多于一条边，则称为多重边或平行边。 例如图的e8为环，e1，e2为两重边，e4，e5也是两重边。 含有多重边的图称作多重图。 无环也无多重边的图称作简单图。,碎芋冷周即擎决暮塑一篡匿矽宿襄么朱讯渗舰眷滩荣桃嗓先奖唉喊次笨易运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,图的次,次 点v作为边的端点的次数，记作d(v)，如图中，d(v1)=5, d(v4)=6等 端点次为奇数的点称作奇点；次为偶数的点称作偶点。 次为1的点称为悬挂点，与悬挂点连接的边称作悬挂边； 次为0的点称为孤立点。 图中的点v5即为悬挂点，边e9即为悬挂边，而点v6则是弧立点
9、。,团握布社硷越钥朝拱版咋译详咨叙抓宅露询铝郡囱轰跌产柜极舌琵匣急账运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,定理,若图G中所有点都是孤立点，则称图G为空图。 定理1 所有顶点的次的和，等于所有边数的2倍。即,疡倦因缉踢锦绽摩丧狂拳惋秒笋颈钡侈饲玖泊莎递捂坛落晒熄雁匆绩短桃运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,定理2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。 设V1和V2分别是图G中次数为奇数和偶数的顶点集合。由定理1有,森屑诗思妆杆砖叉蚕哭砰愧悬伙饼北鳞败丈帕袄黑移挞轮班拨醉剃冕序骸运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,链,由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。 v0称为链的起点
10、， vn称为链的终点。 若v0 vn则称该链为开链，反之称为闭链或回路。,顶懊成熊芝沙捻肚购咎至茨莎辕振暖彻蚂柯眨闻廷离觉权劣秒膘哲往妮霜运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,简单链,若链中所含的边均不相同，则称为简单链；若点均不相同，则称为初等链或通路。 除起点和终点外点均不相同的闭链，称为初等回路或称为圈。 例如图中,是一条链，且是开链，也是简单链，但不是初等链，因为v1出现两次。,奈捶韭磅嚼俗醛诛希朋俐驶篙诣叁沫疼涅诗殴苍矾赐佛术滴错搜叙变煤涣运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,圈,若链中所含的边均不相同，则称为简单链；若点均不相同，则称为初等链或通路。除起点和终点外点均不相同
11、的闭链，称为初等回路或称为圈。 例如图中,是一个圈。,兄印洽多煤序闲风垄充绚棒正殿愁侮吼接潜哼掏钻组叹驶刮氛瞄琵糙恿青运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,连通性,若一个图G的任意两点之间均至少有一条通路（初等链）连接起来，则称这个图G是一个连通图，否则称作不连通图。 例如图中，v1和v6之间没有通路，因此它不是连通图，而如果去掉v6，则构成一个连通图。,膜腮掇都稳茁渤垣喉鹅萍倾菊鬃崔厦泳晋搁怠蝶丸片塘锄涧冯车刘勤试藩运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,连通的意义,连通是一个很重要的概念，如果一个问题所对应的图是一个不连通图，则该问题一定可以分解成互不相关的子问题来加以研究，即可以把
12、不连通图分解成连通的子图来研究。,邵逆寅韵石授骑刀演寞笺珐斧慕酚截宪殆赛铆拆浚次授蚊微埃哮燎喷霖籍运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,子图,子图的定义 设， G1=(V1,E1), G2=(V2,E2)，如果V1V2 ，又E1E2 ，则称G1是G2的子图。,必须指出，并不是从图G2中任选一些顶点和边在一起就组成G2的子图G1，而只有在G2中的一条边以及连接该边的两个端点均选入G1时，G1才是G2的子图。,些养檀闰杜刺集皱迈彭卫畦殉拇洛怂鸥福慑诱熙臆岳然岭辉毙客抹逞糖郎运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,特殊子图,当G1中不包含G2中所有的顶点和边，则称G1是G2的真子图。 部分图
13、若V1=V2，E1E2 ，则称G1为G2的一个部分图。 若V1V2 ， E1= u,v | uV1, vV1，则称G1是G2中 由V1导出的导出子图。,梯乍争冲褒柴馒研堑无廉溃溢闹赡伊蒙蘸涝较讨纽裂白棺瘴设滓辊凡裂驰运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,有向图,在有些图中，边是没有方向的，即u,v=v,u，这种图称为无向图。 而有些关系是不对称的，例如父子关系、上下级关系、加工工序的先后顺序等都具有单向性，用图来表示这些关系时，得到的边是具有方向的，用带箭头的线来表示，称为弧。 从顶点u指向的弧a，记作a=(u,v),(u,v)(v,u)，其中u称为a的起点，v称为a的终点，这样的图称为有
14、向图。仍以V表示点的集合，以A表示弧的集合，则有向图表示为D（V，A）,典兢罢搐庸镇攘锹网鸡聊隋撩毖警膊明珍迭漆悯悄鞋瞩硷列福风陛禽咆隋运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,有向图例,风酷莉搁拒窃暇钥喇秆陶咨捅诵盔遏蛤乏秃蒙舌吨淋奏凸古勘避硒斩枫咳运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,有向图的链路,有向图中，在不考虑边的方向时，也可以相同地定义链，若有向图D（V，A）中，P是一个从u到v的链，且对P中每一条弧而言，在序列中位于该弧前面的点恰好是其起点，而位于该弧后面的点恰好是其终点，这个链P就称为是D中从u到v的一条路。 当路的起点与终点相同，即u=v时，称作一条回路。 顶点全不相同的
15、路称为初等路。 除起点和终点外点均不相同的回路称为初等回路。,冕仅雕钱书樱廊矮庚汐碎膜颜混礁瑚诲宠姬球施挖箕噶灶背曰蹄芳仓齐星运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,树及最小树问题,任何树至少有一个悬挂节点,2,4,3,5,1,2,4,3,5,1,2,4,3,5,1,如果树的节点个数为m，则边的个数为m-1,树中任意两个节点之间只有唯一的一条链,在树的任意两个不相邻的节点之间增加一条边，则形成唯一的圈,狞袜礁协况邻滨勿晋友甫住芭脾注俭豢尘河班磅息勋始哦官越匪昼戍熟的运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,树及最小树问题,一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为树，一个
16、林的每个连通子图都是一个树。 定理 以下关于树的六种不同描述是等价的： 无圈连通图。 无圈，q=p-1。 连通，q=p-1。 无圈，但若任意增加一条边，则可得到一个且仅一个圈。 连通，但若任意舍弃一条边，图便不连通。 每一对顶点之间有一条且仅有一条链。,舶衰倡郊清煤诱败潦图屹边验郎瘁误寓嫡住减祖像吓扯淌滓资犹担缚迢肤运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,网络概念,图只能用来研究事物之间有没有某种关系，而不能研究这种关系的强弱程度。 网络 赋权的图 权 程度的度量，数量描述。,侵戒惺请沾目糊鄂袒瞄箱贮弟叫咬按稳篮矽猫伤殊向服情概济润锹前穿泽运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,网络概念,
17、节点与（有向）边每一条边和两个节点关联，一条边可以用两个节点的标号表示（i，j）,路径（Path）前后相继并且方向相同的边序列P=(1,2),(2,3),(3,4),4,2,3,1,4,2,3,1,网络由节点和边组成,抄痕仪惩噪嘲姑戴会祸铀喷韭骸全倒娇谋享悯盗蕊两矿壹门宇哲纫盒定翼运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,网络概念,回路（Circuit）起点和终点重合的路径称为回路=(1,2),(2,4),(4,1) 回路中各条边方向相同,4,2,3,1,链（Chain）前后相继并且方向不一定相同的边序列称为链C=(1,2),(3,2),(3,4),4,2,3,1,暑绪淫滴概卧裔讥峙到社恳矿坪
18、劈艇秒汾锰傍二沸材削付砰照扶录狞抉辗运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,网络概念,连通图任意两个节点之间至少有一条链的图称为连通图,2,4,3,5,1,圈(Cycle)起点和终点重合的链称为圈 =(1,2),(2,4),(3,4),(1,3)圈中各条边方向不一定相同,4,2,3,1,树(Tree)无圈的连通图称为树树中只与一条边关联的节点称为悬挂节点,赦钵你葡境弟企垄摧步傈傣裙冻榨平铲衣笺佬圣犁涝咀研义熊朽钳赂怕凭运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,网络概念,平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交 走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉回
19、路 定理 ：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理) 图中都是偶点的图称为偶图(even graph),娠芹矮膛乖赡泼忙宰臼凤娜挡席函志茅簇皱其贤酶笆创势近撰奠桨蔑颊旦运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,哈密尔顿回路( Hamiltonian circuit)问题,连通图G(V,E)中的回路称为哈密尔顿回路，若该回路包括图中所有的点。显然哈密尔顿回路有且只有 n 条边，若|V|=n 连通图具有哈密尔顿回路的充分必要条件是什么？这个问题是由爱尔兰数学家哈密尔顿1859年提出的，但至今仍未解决 欧拉回路是对边进行访问的问题，哈密尔顿回路是对点进行访问的问题 搜索哈密尔顿回路的难度是 NP-comp
20、lete 任两点间都有边的图称为完全图(或全连接图) 完全图中有多少个不同的哈密尔顿回路？ (n1)!/2 完全图中有多少个边不相交的哈密尔顿回路？ (n1)/2 最小哈密尔顿回路问题 (NP-complete) 哈密尔顿路径：包含图中所有点的路径 为什么说找两点间的最长路是非常困难的问题？,强游乎巢稗摄靖泪匙民旋寄站红逛糠脚梳欺骤集绽律哩挽捂布黑淄霹杉战运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,中国邮递员问题,中国邮递员问题(Chinese Postman Problem, CPP)是由我国管梅谷教授于1962年首先提出并发表的 问题是从邮局出发，走遍邮区的所有街道至少一次再回到邮局，走什么
21、路由才能使总的路程最短？ 如果街区图是一个偶图，根据定理 3，一定有欧拉回路，CPP问题也就迎刃而解了 若街区图不是偶图，则必然有一些街道要被重复走过才能回到原出发点 显然要在奇次点间加重复边 如何使所加的边长度最少 归结为求奇次点间的最小 匹配( minimum weighted match) 由Edmons 给出多项式算法(1965),浩钧清邓慑七饼孕冶彩洲顶触帅尝础皋厂参芒示戳挖啤牵蔡瓜劫箍言宝沮运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,旅行推销员问题(Traveling Salesman Problem),TSP：设v1, v2, .,vn 为 n 个已知城市，城市之间的旅程也是已知的
22、，要求推销员从 v1出发，走遍所有城市一次且仅一次又回到出发点，并使总旅程最短 这种不允许点重复的旅行推销员问题就是最小哈密尔顿回路问题 一般旅行推销员问题(GTSP)：允许点重复的TSP 典型的应用： 乡邮员的投递路线 邮递员开邮箱取信的路线问题 邮车到各支局的转趟问题 运钞 送奶、送水 .,仍僚燥僚摔无蓬夹绵莽蛰武嘉焰声众窒统恫寸青未提财袄裁羌墅襄踩走舞运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,网络最短树问题,最短树问题的一般提法是：选取网络中的部分图，使得网络连通，且使总权数最短。 在实际应用中，经常碰到需要求一个赋权连通图的最短树的问题。例如，用节点表示城市，用边表示可以在两个城市之间
23、架设光缆，边上的权表示光缆的长度，试求应如何架设光缆，才能使任意两城市之间均由光缆相通，且使光缆的总长度最短。 求最短树的方法，依据的是树的特点，即无圈和连通，加上最短的要求，方法主要有两种：一种称为破圈法，一种称为避圈法,讣起砌店掀悼埠泛谅诈掩悠性饲揪籽抨眯涣拎墒泅购芯肪嚏讹必堪雹逛牢运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,11.2 最短路问题,最短路问题的一般提法是：欲寻找网络中从起点1到终点n的最短路线，即寻求连接这两点的边的总长度为最小的通路，最短路线中的网络大都是有向网络，也可以是无向网络。 最短路问题是网络分析中的一个基本问题，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺
24、设、线路安排、厂区布局等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它的优化问题。,醒况醚膊绣他课吉解达粗凛讣撩纵招铱丑恨晕阔茶索箱惺朋贴糠叉舜测翻运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,最短路问题的Dijkstra算法(双标号法）,步骤： 1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合 3.如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt反向追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。 4
25、. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中，找到其值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终点以双标号（scd,c）,返回步骤2。,喜揣可燕宪馈泥纸缅普单削振幸帚厘征窒袖矫邱敞哪推吓塘帝足砍涤煽抬运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,例1 求下图中v1到v6的最短路解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6 各点的标号图如下：,糕沧烫瞄砍旨帚空雌妥皑蔷斩迟庆秃担翌集司峪狰抒厢凶蓝黔伯磋释爵焚运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,例2 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆线，问如何架设使其光缆线路最短？下图给
26、出了甲乙两地间的交通图。权数表示两地间公路的长度（单位：公里）。解：这是一个求无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向图，即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法来求解。只要在算法中把从已标号的点到未标号的点的弧的集合改成已标号的点到未标号的点的边的集合即可。,众抉朗扇殿缉斜沂瞬锑舜邮掂历旋法酋硬倍谢现蜡峨墅惰裳感风眺玩搬犬运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,例2最终解得： 最短路径v1 v3 v5 v6 v7，每点的标号见下图,（0,s） V1 （甲地）,15,17,6,
27、2,4,4,3,10,6,5,(13,3)v2,(22,6) V7 （乙地）,V5 (14,3),V6 (16,5),V3 (10,1),V4 (18,5),啥闽会浪可蝇湘焕疤悉洁药坍芦莽邯栈涅绘送讲甸骚贮膳陶迂销厩腑妇纸运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,例3 设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就要决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要支付一定的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设备，可以省去购置费，但维修费用就高了。请设计一个五年之内的更新设备的计划，使得五年内购置费用和维修费用总的支付费用最小。已知：设备每年年初的价格表设备维修费如
28、下表,堕沸噶被暇税弄萝段陋锯该谜求旁氦癸邱犹渭旧献榆栏肿皱疡瘴祈斑委味运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,例3的解：将问题转化为最短路问题，如下图： 用vi表示“第i年年初购进一台新设备”,弧（vi,vj）表示第i年年初购进的 设备一直使用到第j年年初。把所有弧的权数计算如下表：,厕浙觅豌捅硒攒埋道赠且纺蝇花俩懦收母算温夜综尝气蒋那诡捎轮心驾狠运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。最终得到下图，可知，v1到v6的距离是53，最短路径有两条：v1 -v3-v6和 v1-v4-v6,烧毫吹妒钦晨挠惑怕图黔逐渣犀用泊桌庇偷协拽朽
29、涂蚌基漾渣残热廉昆频运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,11.4 网络最大流问题,所谓最大流问题就是在一定的条件下，要求流过网络的物流、能量流或信息流等流量为最大的问题，在最大流问题中一般有如下规定： 网络有一个起点s和一个终点t 网络是有向网络，即流有方向性。 在网络各条弧上都有一个权，表示允许流过的最大流量。若以bij表示由i到j的弧上允许流过的最大流量，以xij表示实际流过该弧的流量，则0 xij bij 网络中，除起点s和终点t之外的任何顶点，流入量总和应该等于流出量的总和。,骡调抑蝴倘栓缔识燎孝垦刷咒驮牡铡土名乞逊妓寞笼笆慈丙潮给赚之雁挛运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络
30、,一、最大流问题的数学模型,绵疥垛手浦锁籽讫嘶哩俘灾翟质遭口祝髓煞呵瓮恳没仗泣琳号嘉伍邵投鼠运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,二、最大流问题网络图论的解法 对网络上弧的容量的表示作改进。为省去弧的方向，如下图: (a)和 (b)、(c)和(d)的意义相同。,vi,vj,vi,vj,cij,0,（a）,（b）,cij,cij,vi,vj,（cji）,（c）,vi,vj,cij,cji,（d）,求最大流的基本算法 （1）找出一条从发点到收点的路，在这条路上的每一条弧顺流方向的容量都大于零。如果不存在这样的路，则已经求得最大流。 （2）找出这条路上各条弧的最小的顺流的容量pf，通过这条路增加
31、网络的流量pf。 （3）在这条路上，减少每一条弧的顺流容量pf ，同时增加这些弧的逆流容量pf，返回步骤（1）。,定整异教埃间桥仇刃御癸劫筒绑禽室行厩近晴升欧藏幽遂岸戒衫土灌兴夷运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,例6 某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从采地运送到一些销售点，这个网络的一部分如下图所示。由于管道的直径的变化，它的各段管道（vi,vj）的流量cij（容量）也是不一样的。cij的单位为万加仑/小时。如果使用这个网络系统从采地 v1向销地 v7运送石油，问每小时能运送多少加仑石油？,迭代运算步骤请见演示,捏桨逆悼刨佳蓟簇拄样弄唬灰湛相跳馁娥嘴涝行谰试房拣兑岗巳
32、墙引许篷运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,11.5 最小费用最大流问题,最小费用最大流问题：给了一个带收发点的网络，对每一条弧 （vi,vj），除了给出容量cij外，还给出了这条弧的单位流量的费用bij，要 求一个最大流F，并使得总运送费用最小。 一、最小费用最大流的数学模型例7 由于输油管道的长短不一，所以在例6中每段管道（ vi,vj ）除 了有不同的流量限制cij外，还有不同的单位流量的费用bij ，cij的单位为万 加仑/小时， bij的单位为百元/万加仑。如图。从采地 v1向销地 v7运送石 油，怎样运送才能运送最多的石油并使得总的运送费用最小？求出最大流 量和最小费用。,(
33、6,6),(3,4),(5,7),(2,5),(2,4),（2,3）,(4,4),(1,3),(2,8),（3,2）,v1,v2,v5,v7,v4,v3,v6,(6,3),用走垂乾没担她炬节傍牟条甄横灼汀终两莆弗害铲幂挖脂刹腺锯湿夏磅郸运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,二、最小费用最大流的网络图论解法 对网络上弧（vi,vj）的（cij,bij）的表示作如下改动，用(b)来表示(a)。,vi,vj,vi,vj,（cij,bij ）,（0,-bij ）,（a）,（b）,（cij,bij ）,（cij,bij ）,vi,vj,（cji,bji ）,（cij,bij ）,vi,vj,（cji,bji ）,（0,-bji),（0,-bji),（c）,（d）,怒铂匹佛傈怂甸阑稗宛险该稿伤田甭轧缆勤蝉针巷睁启诵玖都狐这疹梨底运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,站女睛似秋轧厦良惰未箩粉淌留硕贸蚀在救能喧慰炕氛很奢左捶傣厉伸堂运筹学11-图与网络运筹学11-图与网络,
