1、完全背包问题 （无限背包）,主讲人：山成虎,1 问题,2 基本思路,3 空间优化,4小结,1 问题有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是wi，价值是ci。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。,2 基本思路这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令fiv表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程：fiv=maxfi-1
2、v-k*wi+k*ci|0=k*wi= v。,将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。,核心代码：for i=1N for v=0Vfor k=1v div wifiv=maxfi-1v,fi-1v-k*wi+k*ci;,你会发现，这个伪代码与01背包问题的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么01背包问题中要按照v=V0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态fiv是由状态fi-1v-wi递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这
3、件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果fi-1v-wi。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果fiv-wi，所以就可以并且必须采用v= 0V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。,这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：fiv=maxfi-1v,fiv-wi+ci，将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的核心代码。,3 空间优化,01背包中，我们使用一维数组来优化空间，完全背包中同样可以！,这个算法使用一维数组，核心代码如下： for
4、 i=1N for v=0Vfv=maxfv,fv-wi+ci;,【问题描述】设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。 【输入格式】第一行：两个整数，M(背包容量，M=200)和N(物品数量，N=30)；第2N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。【输出格式】仅一行，一个数，表示最大总价值。,【样例输入】knapsack.in 10 4 2 1 3 3 4 5 7 9 【样例输出】knapsack.out max=12,
5、【解法一：二维数组】,【算法分析】 设 f(i，x)表示前i件物品，总重量不超过x的最优价值，则 f(i，x)=max(f(i，x-wi)+ci,f(i-1，x) ；f（n，m）即为最优解。,【参考程序】:（顺推法） Program knapsack; Const maxm=200;maxn=30; var i,x,n,m:integer;w,c:array1maxn of integer;f:array0maxn,0maxm of integer; BEGIN fillchar(w,sizeof(w),0); fillchar(c,sizeof(c),0);readln(m,n); /背包容
6、量m和物品数量nfor i:=1 to n do /每个物品的重量和价值read(wi,ci);for i:=1 to n do /f(i，x)表示前i件物品，总重量不超过x的最优价值for x:=1 to m doif xfi,x-wi+ci then fi,x:=fi-1,xelse fi,x:=fi,x-wi+ci;writeln(max=, fn,m); / f(n，m)为最优解 END.,【解法一：一维数组】,【算法分析】本问题的数学模型如下： 设 f(x)表示重量不超过x公斤的最大价值， 则 f(x)=maxf(x-wi)+ci 当x=wi ，1=i=n 。 【样例】中间结果下面例
7、出FX表示重量不超过x公斤的最大价值，X表示重量,【参考程序1】:（顺推法） program knapsack04; const maxm=200;maxn=30; type ar=array0maxn of integer; var m,n,x,i,t:integer;c,w:ar;f:array0maxm of integer; BEGIN readln(m,n); /背包容量m和物品数量nfor i:= 1 to n doreadln(wi,ci); /每个物品的重量和价值f0:=0; for x:=1 to m do /设 f(x)表示重量不超过x公斤的最大价值for i:=1 to
8、n doif x=wi then if fx-wi+cifx then fx:= fx-wi+ci ;writeln(max=,fm); / f(m)为最优解 END.,【参考程序2】:（顺推法） program knapsack04; const maxm=200;maxn=30; type ar=array0maxn of integer; var m,n,x,i,t:integer;c,w:ar;f:array0maxm of integer; BEGIN readln(m,n); /背包容量m和物品数量nfor i:= 1 to n doreadln(wi,ci); /每个物品的重量和
9、价值f0:=0; for i:=1 to n dofor x:=1 to m do /设 f(x)表示重量不超过x公斤的最大价值if x=wi then if fx-wi+cifx then fx:= fx-wi+ci ;writeln(max=,fm); / f(m)为最优解 END.,上面的代码中两层for循环的次序可以颠倒,4小结完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程： fiv=maxfi-1v-k*wi+k*ci|0=k*wi= v； fiv=maxfi-1v,fiv-wi+ci； fv=maxfv,fv-wi+ci; 后面两个方程是一个意思。希望你能够对这三个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的过程。,
