1、1,第五节 极限存在性定理与两个重要极限,一、极限存在定理,准则I(夹逼定理),2,例1,解,由夹逼定理得,3,推广到函数的极限.,准则I(夹逼定理),若函数,满足条件,4,准则II 单调有界数列必有极限.,称单调增加,称单调减少,单调数列,即：单调增加数列有上界，或单调减少数列有下界必有极限.,5,证明,存在，并求,解,单调增加；,有界,故,存在。,例2,设,6,二、两个重要极限,1,7,基本不等式：,等号当且仅当 x = 0 时成立.,8,基本不等式：,等号当且仅当 x = 0 时成立.,等号当且仅当 x = 0 时成立.,9,即得,10,所以,先证,11,例3,12,例4,解,13,例5
2、. 圆内接正 n 边形面积为,事实上,14,Th2.6(等价无穷小替换定理),证,只有在乘、除的极限运算中才能替换；,注意1,在加、减的极限运算中不能替换！,2.,15,常用等价无穷小：,16,例6,解,例7,解,17,例8,解,解,错,18,例9,解,思考题：,19,20,21,大,大,正,比较可知,22,23,为底的对数称为自然对数，,可以证明，相应的函数极限有,或,以,24,证明：记,25,故,26,例10,解,27,例12,解,例11,解,28,另解,29,例13,求,30,例15 连续复利问题,如一年计息n次，利息按复式计算，则一年后本息之和为,31,随着n无限增大，t年后本息之和会不断增大，但不会无限增大，其极限值为,称之为连续复利.,类似于连续复利问题的数学模型，在人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射性元素的衰变等许多实际问题中都有应用.,t年后本息之和为,已知未来值,求现在值,，称为贴现问题，这时的利率r为贴现率。,32,P61 习题二(A):13,14,17,18 :(1),(2),(3),(6),(7)(用等价无穷小计算),
