1、1数学实践与建模学院：电力学院专业：能源与动力工程（水动）姓名：郭文博（201310925）程乾乾（201310929）2对鱼的锯齿状游动方式能量消耗分析摘要：鱼的能量消耗是由生理活动和外界物理活动共同引起的，我们分析鱼的运动路线与能量消耗大小的关系，故不考虑鱼生理活动消耗的能量，只单独认为鱼能量的消耗与运动路线有关。本文根据鱼在水中呈锯齿状游动方式，建立了鱼在水中游动的路线模型，并通过受力分析，建立了鱼的受力模型，解决了鱼在水中沿不同路线游动时能量消耗的问题。首先，我们根据鱼在水中的游动方式建立了 A-C-B 的运动路线模型及鱼的受力模型。其中，A-C 为鱼向上游动过程，C-B 为鱼向下滑动
2、路线；然后我们假设鱼是以常速 v 运动的，分别对鱼向上游动及向下滑动两个过程进行受力分析，鱼在水中受到重力及水的浮力，合力为 w，方向向下，鱼运动还受到沿运动方向相反的水的阻力 f1，f2；接下来我们对鱼的受力进行分解，将鱼在水中的净重 w 沿鱼的运动方向分解，分析由于假设鱼是以常速 v 运动，所以鱼在向上游动的过程需要自身提供动力 F1，鱼在向下滑动的过程不消耗能量，由此得到水的阻力 f1 与 w 的关系。对于问题（1） ，根据受力平衡及题中给定力之间的关系，分别在建立的物理模型中标出了这些力；对于题（2）问，先假设鱼向上运动的垂直高度因鱼向下滑动过程不做功 h，根据几何关系及夹角之间的关系
3、，分别计算出 AC，CB 及AB 长度大小，然后根据物理做工公式 W=F*S 计算鱼运动所的做功，分别得出鱼在 A-C-B 运动过程和 A-B 过程所做的功 W1，W2，由此证明了鱼沿在 A-C-B 运动过程和 A-B 过程消耗能量之比；对于题（3） ，因为鱼做锯齿状游动时，消耗能量的大小受 k 值及夹角 ， 的大小共同影响。故令 Q=w1/w2，因为 A,B 一定时，鱼水平运动所消耗的能量 w2 恒定不变，利用 matlab 求对 Q 关于 的偏导，并令偏导值为零，得出 与 的关系，因为 tan0.2，所以对于不同的 k值（1.5,2,3） ，求出消耗能量最小时的 ，分别为 37，49，59
4、。关键词：路线模型；受力模型；受力分析；受力分解；求偏导等于零1.问题重述观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动的，而是突发性、锯齿状地向上游动和向下滑行，可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。针对这一现象，我们需要解决以下问题：31.1 为方便对该问题的分析，首先进行受力分析，将向下滑行时的阻力、向上游动时所需的力、水平游动时的阻力及水平游动时所需的力表示出来。1.2 证明当鱼要从 A 点到达处于同一水平线上的 B 点时，沿折线 A-C-B 运动消耗的能量与沿水平 A-B 路线运动消耗的能量之比为(k*sin+sin)/k*sin(+)。1.3 鱼做锯齿状游动时，消耗
5、能量的大小受 k 值及夹角 ， 的大小共同影响。根据实际观察，tan0.2，对不同的 k 值（1.5,2,3） ，根据消耗能量最小的准则估计最佳的 值。2.问题分析鱼在水中会受到重力，水的浮力（两者的合力即为鱼在水中的净重 w）和运动时水的阻力共同作用，鱼在做锯齿状运动时，需要克服这些力做功。其中，鱼在向上游动时，需要克服 w 沿鱼运动方向的分力及水的阻力做功；鱼向下滑动时，w 沿鱼运动方向的分力与水的阻力大小相等，方向相反，相互抵消，故鱼本身不做功；水平游动时鱼需要克服水的阻力做功。根据物理功的计算公式 w=f*s 分别计算出鱼在 A-C-B 运动过程和 A-B 过程所做的功 W1，W2，由
6、此证明出 w1 与 w2 的比值关系；因为 A,B 一定时，鱼水平运动所消耗的能量 w2 恒定不变。所以要求鱼做 A-C-B 折线运动时的最小消耗能量，即可分析 w1 与 w2 的比值；观察 w1 与 w2 之间比值可得：鱼做锯齿状游动时，消耗能量的大小受 k 值及夹角 ， 的大小共同影响。根据实际观察，tan0.2，对于不同的 k 值， 的取值决定了鱼消耗能量的大小。因此我们令 Q=w1/w2，对 Q 分别求 ， 的偏导，并分别令偏导等于零，得出 与 的关系 cos(+)=1/k，由此根据不同的 k 值得到最佳的 值使鱼做 A-C-B折线运动时消耗的能量最少。3.模型假设与符号说明3.1 模
7、型假设3.11假设鱼能量的消耗的大小只与鱼的运动路线有关。3.12.假设鱼总是以常速 v 运动，鱼在水中净重为 w，向下滑行时的阻力等于 w 在运动方向的分力。3.13 假设鱼做折线运动时控制方向时不消耗能量。43.14.假设鱼在水中运动时没有遇到突发状况。3.15.鱼向上游动时所需的力是 w 在运动方向分力与游动所受阻力之和。3.16.鱼在游动时正面受到水的阻力比较小，而侧面受到的阻力较大，故鱼侧面受到的阻力可以与鱼自身重力的分力可相互抵消。3.17 鱼游动的阻力是滑行阻力的 k 倍，水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的 k 倍。3.2 符号说明v 鱼在水中的运动速度w 鱼在水中的净重k 游动
8、阻力与滑动阻力的比值h 鱼一次折线游动的垂直高度f1 鱼向下滑动时水的阻力f2 鱼向上游动时水的阻力F1 鱼向上游动所需的动力F2 鱼水平游动所需的动力 鱼向上游动路线与水平的夹角 鱼向下滑动路线与水平的夹角w1 鱼做折线运动时消耗的能量w2 鱼做水平运动时消耗的能量Q w1 与 w2 之比4.模型建立根据鱼在水中不同的运动方式及鱼做锯齿状游动时的受力分析，我们对其建立了鱼在水中的运动模型及鱼运动时的受力物理模型，如下图。 5对于题（1）的要求，这些力已在模型上标出。题（2）问解答：如图，设鱼一次折线游动的垂直高度为 h，水平游动的距离即为 A 到 B 的长度，AC 的长度即为鱼向上游动的距离
9、。由题中已知条件及图中角与线的关系得，w1=w*sin，故f1=w1=w*sinf2=k* f1=kw*sin；根据鱼在水中匀速运动，受力平衡分析，得到 F1=w1+f1=kw*sin+w*sin；F2=f2=kw*sin；则鱼做锯齿状运动时需要做的功 W1=F1*AC;鱼水平运动时需做的功W2=F2*AB。又由几何关系，AC=h/sin，AB=h*（cot+cot） ，可得出AC/AB=sin/sin(+)综上，即可得到鱼沿折线运动消耗的能量与沿水平运动消耗的能量之比W1/W2=(k*sin+sin)/k*sin(+)；题（3）问解答：令 Q=w1/w2，利用 matlab 对 求偏导，令
10、根据0Q实际观察 tan0.2，可求得最佳的 。利用 matlab 求解的到不同的k（1.5,2,3）值对应的 值。对于 k=1.5 时，37；k=2 时，49；k=3 时 5965.模型评价与推广模型评价为了方便模型的建立与分析，我们在建立模型时，没有考虑其他影响鱼能量消耗的因素，只单独认为鱼的能量消耗与鱼在水中的运动路线有关。所以该模型只是通过简单的物理分析与计算说明了鱼在水中做折线运动消耗的能量比做水平运动时消耗的能量少。下面是我们在建立模型时没有考虑在内的影响鱼能量消耗的因素：5.1 鱼的能量消耗是由生理运动与外界物理运动共同组成的，我们在建立模型时没有考虑鱼在不同路线运动时，生理消耗
11、能量的差别；5.2 在建立模型时没有考虑水流速度的不同对鱼阻力的影响；5.3 在模型分析时，我们没有考虑鱼在做折线运动时，控制方向时所消耗的能量；模型推广该模型还是用于比较解释其他在水生动物在水中沿不同路线运动时的能量消耗关系。附录对 Q 关于 求偏导及 k 取不同值时 的值的 matlab 程序。此程序中为方便起见，分别将 用 x，y 代替 k=1.5 syms y x f=diff(k.*sin(x)+sin(y)/k.*sin(x+y)f =cos(x + y)*(sin(x) + (2*sin(y)/3) + sin(x + y)*cos(x) f1=simple(f)f1 =sin(x + 2*y)/3 + sin(2*x + y) - sin(x)/3 syms x y x,y=solve(tan(x)=0.2,sin(x+2*y)/3+sin(2*x+y)-sin(x)/3=0);参考文献7工程数学报编辑委员会，第 25 卷，2008 年出版
