1、这里将列举六类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：1.常函数（即常数）y=c(c 为常数 ) y=0 【y=0 y=0：导数为本身的函数之一】2.幂函数 y=xn,y=n*x(n-1)(nR) 【1/X 的导数为-1/(X2)】3.指数函数 y=ax,y=ax * lna 【y=ex y=ex：导数为本身的函数之二】4.对数函数 y=logaX,y=1/(xlna) (a0且 a1,x0)；【y=lnx,y=1/x】5.三角函数(1)正弦函数 y=(sinx ）y=cosx(2)余弦函数 y=（cosx） y=-sinx(3)正切函数 y=(tanx） y=1/(co
2、sx)2(4)余切函数 y=（cotx） y=-1/(sinx)26.反三角函数(1)反正弦函数 y=（arcsinx） y=1/1-x2(2)反余弦函数 y=（arccosx） y=-1/1-x2(3)反正切函数 y=（arctanx） y=1/(1+x2)(4)反余切函数 y=（arccotx） y=-1/(1+x2)口诀为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：常为零，幂降次，对导数（e 为底时直接导数，a 为底时乘以 lna） ，指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以 lna） ；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方） ，割乘切，反分式推
3、导在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.(u v)=uv(uv)=uv+uv(u/v)=(uv-uv)/ v22. 原函数与反函数 导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有 y=1/x.3. 复合函数的导数：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数-称为链式法则。4. 积分号下的求导法则：d(f(x,t)dt (x),(x)/dx=f(x,(x)(x)-f(x,(x)(x)+f x(x,t)dt (x),(x)证明基本初等函数求导公式的证明：证：1.显而易见，y=c 是一条平行于 x 轴的直线，所以处处的
4、切线都是平行于 x 的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c, y=c-c=0,limx0y/ x=0 。2这个公式的证明过程见右图。 3y=ax,y=a(x+x)-ax=ax(ax-1)y/x=ax(a x-1)/x如果直接令 x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数 =ax-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga(1+ ) 。所以(ax-1)/x= /loga(1+ )=1/loga(1+)1/显然，当 x0时， 也是趋向于0的。而 lim0 时，(1+)1/=e,所以lim 0时，1/loga(1+)1/ =1/logae=lna。把这个结果代入 limx
5、0时，y/x=lim x0时，ax(ax-1)/x 后得到lim x 0y/x=axlna 。可以知道，当 a=e 时有 y=ex y=ex。4y=logaxy=loga(x+x)-logax=loga(x+x)/x=loga(1+x/x)x/xy/x=loga(1+ x/x)(x/x)/x因为当 x0时，x/x 趋向于0而 x/x 趋向于，所以 limx0loga(1+x/x)(x/x)=logae, 所以有lim x 0y/x=logae/x。也可以进一步用换底公式lim x 0y/x=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)(-1)可以知道，当 a=e
6、时有 y=lnx y=1/x。这时可以进行 y=xn y=nx(n-1)的推导了。因为 y=xn,所以 y=eln(xn)=enlnx,所以 y=enlnx(nlnx)=xnn/x=nx(n-1)。5.y=sinxy=sin(x+x)-sinx=2cos(x+x/2)sin( x/2)y/x=2cos(x+x/2)sin(x/2)/x=cos(x+ x/2)sin(x/2)/(x/2)所以 limx0y/x=limx0cos(x+x/2)limx0sin(x/2)/(x/2)=cosx6类似地，可以导出 y=cosx y=-sinx。7y=tanx=sinx/cosxy=(sinx)cosx-
7、sinx(cosx)/(cosx)2=(cosx)2+(sinx)2/(cosx)2=1/(cosx)28y=cotx=cosx/sinxy=(cosx)sinx-cosx(sinx)/(sinx)2=-1/(sinx)29y=arcsinxx=sinyx=cosyy=1/x=1/cosy=1/1-sin2y=1/1-x210y=arccosxx=cosyx=-sinyy=1/x=-1/siny=-1/1-(cosy)2=-1/1-x211y=arctanxx=tanyx=1/(cosy)2y=1/x=(cosy)2=1/(secy)2=1/1+(tanx)2=1/(1+x2)12y=arccotxx=cotyx=-1/(siny)2y=1/x=-(siny)2=-1/(cscy)2=-1/1+(coty)2=-1/(1+x2)
