1、巧用命题的等价性解题对于命题学习，当判断命题的充要关系，证明命题真假，不易判定时，可以考虑它的等价命题。进而化难为易，利用互为逆否命题的关系对两个命题同真或同假的性质进行判断。一、用于判断命题的真假例 1、判断命题“若 m0，则 有实数根”的逆否命题的真假。02mx分析：常规思路是先根据已知命题写出期逆否命题，进而判断逆否命题的真假，求解过程较繁琐，由于逆否命题与原命题互为等价命题，故可以直接判断原命题的真假。解：因为 m0，所以方程 的判别式 ，2x014所以方程 有实根，即原命题为真命题，又因为原命题与它的逆否命题等价，02mx所以“若 m0，则 有实数根”的逆否命题也为真命题。2点评：有
2、关命题的真假的判断是一类常见题型，解决此类问题应根据问题的题设特点灵活运用相应的策略。例 2、判断命题“如果方程 至少有一个负实根，则 ”的真假。012xa 1a分析：本命题若从条件入手，求结论，需讨论多种情况，比较复杂。因此我们考虑它的逆否命题的真假，进而判定它的真假。解：原命题的逆否命题是“如果方程 a1，则 没有负实根” 。012xa因为当 a1 时，方程 根的判别式 ，012xa4所以方程 没有负实根，即逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题。2x点评：含有至多（至少）等词语的命题的真假有时难以判定，我们可通过逆否命题来判定，但要注意将逆否命题书写正确。二、用于判断命题的充要关系例 3
3、、已知 p： ，q： ，则 是 的什么条件0282x032xpq分析：本题中给的是否定形式，可以考虑它的逆否命题。解：由 ，得 ，由 ，得 ，2x12 31x因为互为逆否的命题具有等价性，要判断 是 的什么条件，只要判断 q 是 p 的什么pq条件即可。由于 ，所以 q 是 p 的充分不必要条件，即31|x0|x是 的充分不必要条件。pq点评：当我们正面求解比较困难时，可以考虑其逆否命题来解决，同时本题亦可以采用集合法。三、证明命题例 4、已知 ，求证：0122ab.12ba分析：本题其实就是要我们来证明命题“若 ，则 ”04.12ba是真命题，显然不太容易，我们可以先证明它的逆否命题。证明：
4、命题“若 ，则 ”逆否命题为：“若01242ab.12baa2b1，则 ”，042b于是，由 a2b1，得 1242ab 1)2(4)(2bb，显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，2故 成立。.b点评：证明逆否命题的方法表现为反证法，是数学中证明问题的一种重要方法，显然它更是一种策略，当“正面不易突破”时，要变换角度，从“反面进军” 。四、在推理中应用例 5、根据已有证据，可以得到如下 3 个判断：（1）若 A 无罪，则 B 与 C 都有罪；（2）在 B 与 C 中必有一人无罪；（3）要么 A 无罪，要么 B 有罪试判断：A、B、C 究竟谁有罪？解：用 p，q，r 分别表示“A 有罪” 、 “B 有罪” 、 “C 有罪”三个命题，则三个判断依次为： 非 p 则 q 且 r；非 q 或非 r 为真；非 p 或 q 为真。又因为的逆否命题是：非q 或非 r 则 p，结合知 q 为真。由此，结合 知 q 为真。再结合 2 知非 r 为真，即 r 假，故 A，B 有罪，C 无罪。点评：本题将中的命题转化为其逆否命题，结合，从而简捷、准确求解。这里主要利用了原命题与其逆否命题是等价命题。
