1、二 计算题（每小题 7 分，共 70 分）1。设 的全微分 zyxxudu解：两边取对数-（1） ，zlnllnl再对（1）两边取全微分： dzxydzxdydu lnll.llnl zz所以， .lnll dxydzxdxyud 2计算由方程 确定的函数 的全微分。yzlnz,解：原方程化为 -（1）xl2（1）式两边全微分，得：，整理，得：ydzzdxlnln2 dyzdxyzyxzy ln1ln122l1 )(d .21xdzz3设 ，由方程 确定，且 F 为可微函数，求 。yxz, 0,xyFdz解：方程两边求全微分，并注意到一阶全微分形式的不变性，有：即：./3/2/1 xzdzyd
2、，整理，得：0112/32/22/1 dzxzzyzxFF，故：dyxzdxzydzxy FFz /12/32/1/3/2 11.11/3/2/2/3/2/ dyxyzdxyzdz 4设函数 ，其中 具有二阶连续偏导数，求,sin,22xyfz f.;2yxz解：（一） xyfz ff2cos2./3/1（二），所以xyzfxsin/2/12 xxfsinsini /2/1/12/25。求曲线 在点 的切线。.0,6:2zyx,解：方程组两边关于 求导，得：，-（1）01,2dxzy将点 代入（1） ，得：,2解之，有：.01,4|11xxdzy .1,0|1xxdzy所以，切线向量为： ,s
3、故曲线在点 的切线为：1,2.1021zyx6 计算 其中 是 。,42dIDDx2解：.9328cos202rdI7计算 xye10解：交换积分次序， .211 _1|0 100001 22 x xddxdxdyIeexyx三试证明：点 是函数 的极值点。 （10 分）,3yxyf 2246,解： .246, ,/ 2/yxyfx因为 所以点 是函数 的,032,/fyx 2,3yxyxf 2246,驻点。 ,46,4, 2/2/ f xxy yyx记 014,182,3,03,08,3 2/ ACBA Bffyxyx所以，点 是函数 的极大值点。246四设 是由曲面 z24和 所围成的区域
4、，试分别写xz2出 在直角坐标；柱坐标；球面坐标系下dvyxfI,的三次积分（14 分）解：分数 评卷人分数 评卷人向 xoy 平面上的投影区域为， 。:D22yx（一）在直角坐标系下.,2422dzxyfddvzyxfI（二）在柱坐标下 .,sin,co,2042 zrrfvzyxfI （三）在球坐标下 .cos,is,csisin,204320 2 dfddvzyxfI五。选作题（每题 10 分，共 40 分）1在曲面 上求点的坐标使此点处的切平8422:2yzx面平行于 坐标面。yoz解：设所求之点为 M00,记 ，则曲面 在 84232, 2yzxzxF 处的切平面的法向量为y00yx
5、zxzyxn 000000/0/ 426,42, 因为 ，所以，有：,1/， Mzyxzyx 0000202000 .843.46, 解之， 因此，所求之点 。.,242设 ，其中 为连续函数， 是由曲面dvzyxfIf和 所围成的区域，将 I 化R240422 R为柱坐标及球坐标下的三次积分。解：联立 消去 z，得 向 xoy 平面上的投影区域.4,222zyx为， 。:D.322Ryx（一）在柱坐标下 .,sin,co,203422 dzrRrfddvzfI （二）在球坐标下 dfvzyxfI R20320 2cos,is,csisin,.o,in,coisin203cos40 2 dfd
6、R3求 dzxyI2210解： 如图所示。宜采用球坐标计算之。.7512sin220420cos dI4已知某一物体由 及 所围成且每一点处的面密度函数,2zyx8为 ，试求该物体的质量。2解：记 ：.8z由三重积分的物理意义，知：。宜才采用直角坐标系下的“切片法” 。dxyzm2设 为过点 处 的截面。:Dz282,0z 820282 zrddxyDdxyzz.362|828 zd5试证明 在原点处连续且偏导数存在，但在.0,2yxf原点处不可微。证明：（一）因为，0,0|,|02 yxyxyf所以， ，故函数 在原点处连续。,0,lim0ffyxf,（二）因为 ,0lim0,li 00 xxffx所以， 类似地， 故函数 在原点处可;,/.,/yyxf,偏导。（三）下面考察 ，即考察xzffyx0,0,lim/0yxyxffyxfyxf xyxyx 22022/0 .lim,0,li。yxyx220.lim我们说， 不存在，故 在原点处不可微 。yx220.li yxf,
