1、1第二讲 直线与圆的方程含答案一、知识要点二、典型例题例 1（1） 、求与 x 轴相交于 A(1,0)和 B(5,0)两点且半径为 的圆5的标准方程解：法一：设圆的标准方程为(xa) 2(yb) 25.点 A，B 在圆上，所以可得到方程组：Error!，解得 a3，b1.圆的标准方程是(x3) 2(y1) 25 或(x3) 2(y1) 25.法二：由 A、B 两点在圆上可知线段 AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线 x3 上，于是可设圆心为 C(3，b)，又|AC | ，即 ，解得 b1 或5 (3 1)2 b2 5b1.因此，所求圆的标准方程为(x3)
2、 2( y1) 25 或( x3) 2(y1)2（2） 、圆 C 通过不同的三点 P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1，试求圆 C 的方程解：设圆 C 的方程为 x2y 2Dx EyF 0，则 k、2 为 x2Dx F 0 的两根，k2 D,2kF ，即 D(k2)，F2 k，又圆过 R(0,1)，故 1EF 0.E 2k1.故所求圆的方程为x2y 2(k2)x(2k1)y2k 0，圆心坐标为( ， )k 22 2k 12圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1，k CP1 ，k 3.D1，E5，F6.2k 12 k所求圆 C 的方程为 x2y 2x
3、5y60.变式练习 1：1过点 A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是( )A( x3) 2( y1) 24 B(x 3) 2(y1) 24C (x1) 2(y1) 24 D(x 1) 2(y1) 24解析：选 C.设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r.2圆心 C 在直线 xy20 上，b2a.由|CA| 2|CB |2得(a 1)2(b1) 2( a1) 2(b1) 2，即(a 1)2 (2a1) 2(a1) 2(2a1) 2，解得 a1，b1， r |CA| 2.(1 1)2 (1 1)2即所求圆的方程为(x1) 2(y1) 24.2(2009 年高考辽宁
4、卷)已知圆 C 与直线 xy0 及 xy 40都相切，圆心在直线 xy 0 上，则圆 C 的方程为( )A( x1) 2( y1) 22 B(x 1) 2(y1) 22C (x1) 2(y1) 22 D(x 1) 2(y1) 22解析：选 B.由题意可设圆心坐标为(a，a) ，则 ，解得 a1，故圆心坐标为 (1，1)，半径 r |a a|2 |a a 4|2 |1 1|2，所以 圆 的方程为( x1) 2(y1) 22.23(2008 年高考山东卷)若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x3y 0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A( x3) 2( y )21 B(x
5、 2) 2(y1) 2173C (x1) 2(y3) 21 D(x )2(y1) 2132解析：选 B.设圆心坐标为(a，b)，则Error!，又 b0，故 b1，由|4a3| 5 得 a2 或 a ，又 a0，故 a2，所求圆的标准方程是12(x2) 2( y1) 21.(采用 检验的方法也可以)4.圆心在原点且圆周被直线 3x4y 150 分成 12 两部分的圆的方程为_解析：如图，因为圆周被直线3x 4y150 分成 12 两部分，所以AOB120.而圆心到直线3x 4y150 的距离 d 3，1532 42在AOB 中，可求得 OA6.所以所求圆的方程为 x2y 236.答案：x 2
6、y2363例 2、已知以点 C(t， )(tR，t0)为圆心的圆与 x 轴交于点2tO、A ，与 y 轴交于点 O、B，其中 O 为原点(1)求证： OAB 的面积为定值；(2)设直线 y2x4 与圆 C 交于点 M，N，若 OMON，求圆C 的方程解：(1) 证明： 设圆的方程为 x2y 2DxEy0，由于圆心 C(t， )，D2t，E ，2t 4t令 y0 得 x0 或 xD2t，A(2t,0)，令 x0 得 y0 或 yE ，B(0， )，4t 4tS OAB |OA|OB| |2t| |4(定值) 12 12 4t(2)OMON，O 在 MN 的垂直平分线上，而 MN 的垂直平分 线过
7、圆心 C, k OC ，12 ，解得 t2 或 t2，2tt 12而当 t2 时，直线与圆 C 不相交， t2，D4，E2，圆的方程为 x2y 2 4x2y0.变式练习 2：1如果圆的方程为 x2y 2kx 2yk 20.那么当圆面积最大时，圆心为_解析：将方程配方，得(x )2( y1) 2 k21.k2 34r 2 1 k20，rmax1，此时 k0.34圆心为(0，1)答案：(0，1)2一个等腰三角形底边上的高等于 4，底边两端点的坐标是(3,0)，(3,0)，则它的外接圆方程是 _4解析：底边端点关于原点对称，所以底边的中垂线方程为 x0，底边上的高等于 4，说明第三个顶点的坐标为(0
8、,4)或(0，4) 一腰的中垂线方程为 y2 (x )或 y2 (x )，34 32 34 32方程联立得圆心坐标为(0， )或(0， )，78 78半径为 ，(0 3)2 (f(7,8) 0)2258所求圆的方程为 x2( y )2 或 x2(y )2 .78 62564 78 62564答案：x 2 (y )2 或 x2(y )278 62564 78 625645.3.（2010 重庆理数） (8) 直线 y= 3与圆心为 D 的圆 3cos,1inxy0,2交与 A、B 两点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为A. 76 B. 54 C. 43 D. 53解析：数形结合 30130
9、2由圆的性质可知 1故 434.（2010 全国卷 1 理数） （11）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么 PAB的最小值为(A) 42 (B) 32 (C) 42 (D) 325例 3、已知圆 x2y 2 4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若 PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程解：(1) 设 AP 中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2,2y) P 点在 圆 x2y 24 上， (2x2) 2(2y )24.故线段 AP 中点的轨迹方程为(x
10、 1) 2y 2 1.(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)，在 RtPBQ 中，|PN|BN| ，设 O 为坐标原点，则 ONPQ，所以|OP| 2 |ON|2|PN| 2| ON|2| BN|2，所以 x2y 2( x1) 2(y 1) 24. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为x2y 2x y 10.变式练习 3：1若曲线 x2y 2a 2x(1a 2)y40 关于直线 yx0 对称的曲线仍是其本身，则实数 a 为( )A B C. 或 D 或12 22 12 22 12 22解析：选 B.由题意知，圆心 C( ， )在直线 yx0 上，a22 a2 12 0，a 2 ，a .故选 B.a2
11、 12 a22 12 22(注：F4 0，不需验 D2E 24F0)2(2009 年高考上海卷)点 P(4，2)与圆 x2y 24 上任一点连线的中点轨迹方程是( )A( x2) 2( y1) 21 B(x 2) 2(y1) 24C (x4) 2(y2) 21 D(x 2) 2(y1) 21解析：选 A.设圆上任意一点为(x 1，y1)，中点为( x，y)，则Error!Error!代入 x2y 24 得(2x4) 2(2y 2) 24 ，化简得(x 2) 2(y1) 21.3一束光线从点 A( 1,1)出发经 x 轴反射到圆 C：(x2)62(y 3) 2 1 上的最短路程是( )A4 B5
12、 C3 1 D22 6解析：选 A.圆 C 的圆心 C 的坐标为(2,3)，半径 r1.点 A(1,1)关于 x 轴的 对称点 A 的坐标为( 1， 1)因 A在反射线上，所以最短距离为|AC|r，即 14.2 ( 1)2 3 ( 1)2例 4、已知圆 O: ，圆 C: ，由两圆外一点 引2yx4yx ),(baP两圆切线 PA、PB，切点分别为 A、B，满足|PA|=|PB|.(1)求实数 a、b 间满足的等量关系；(2)求切线长|PA|的最小值；(3)是否存在以 P 为圆心的圆，使它与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，说明理由.(1)连结 PO、PC，
13、|PA|=|PB| ，|OA|=|CB|=1|PO| 2=|PC|2，从而 222)4()(bab化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: . 05(2)由 ，得051| 222OAPA 1)(2b4)(42 bb当 时， 2|min(3) 圆 O 和圆 C 的半径均为 1，若存在半径为 R 圆 P，与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切，则有 且 于是有: 即|RP|P2|C2|从而得 两边平方，整理得2)4()(2baba242b将 代入上式得：50127故满足条件的实数 a、b 不存在，不存在符合题设条件的圆 P. 三、规律与方法四、过关检测1圆(x2) 2y 25 关于原点(0,0)对称
14、的圆的方程为( )A( x2) 2y 25 Bx 2(y 2)25C (x2) 2(y2) 25 Dx 2( y2) 25答案：A2已知C：x 2y 2 DxEyF0，则 FE0 且 D0 是C 与 y 轴相切于原点的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A.由题意可知，要求圆心坐标为( ，0)，而 D 可以大D2于 0，故选 A.3.已知两定点 A(2,0) ，B (1,0)，如果动点 P 满足|PA|2| PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A B4C 8 D9解析：选 B.设 P(x，y)，由题知有：(x2) 2y 24(x1
15、) 2y 2，整理得 x24xy 20，配方得(x2) 2y 24. 可知圆的面积为 4，故选B.4(2009 年高考广东卷)以点(2 ，1)为圆心且与直线 xy6 相切的圆的方程是_解析：将直线 xy 6 化为 xy60，圆的半径r ，所以圆的方程为(x2) 2 (y1) 2 .|2 1 6|1 1 52 252答案：(x2) 2( y1) 22525(原创题) 已知圆 x2y 22x4y a0 关于直线 y2xb 成轴对称，则 ab 的取值范围是_解析：圆的方程变为(x1) 2(y2) 25a，其圆心为(1,2) ，且 5a0，即 a5.又圆关于直线 y2x b 成轴对称，22b，b4.a
16、ba41.8答案：(，1)6若直线 1 与圆 x2y 21 有公共点，则 ( )xa ybAa 2b 21 Ba 2b 21C. 1 D. 11a2 1b2 1a2 1b2解析：选 D.由题意知直线与圆相交或相切，故有1 1，故选 D.11a2 1b2 1a2 1b27过点(0,1)的直线与圆 x2y 24 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为( )A2 B2 3C 3 D2 5解析：选 B.据由弦长一半及圆的半径和圆心到直线的距离所组成的直角三角形可知，当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点 G(0,1)的连线 与直线 AB 垂直时， 圆 心到直线 AB 的距离取得最大值，
17、即 d|OG| 1，此 时弦长最短，即 | AB|2 ，故选 B.|AB|2 R2 d2 4 1 38已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线3x 4y40 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( )Ax 2y 2 2x30 Bx 2y 24x0C x2y 22x 30 Dx 2y 24x0解析：选 D.设圆心为(a,0)，且 a0，则(a,0)到直线 3x4y40的距离为 2，即 23 a410a2 或 a|3a 40 4|32 42(舍去 )，则圆 的方程为：(x 2) 2(y0) 2 22，即 x2y 24x0.1439设 O 为坐标原点，C 为圆(x2) 2y 23 的圆
18、心，且圆上有一点 M(x， y)满足 0，则 ( )OM CM yxA. B. 或 C. D. 或33 33 33 3 3 39解析：选 D. 0，OM CM OMCM，OM 是圆的切线设 OM 的方程为 ykx，由 ，得 k ，即 .|2k|k2 1 3 3 yx 310(2008 年高考山东卷)已知圆的方程为 x2y 26x8y0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD的面积为( )A10 B20 C30 D406 6 6 6解析：选 B.圆的标准方程为(x3) 2( y4) 25 2，由题意得|AC| 2510，|BD| 2 4 ，且 ACBD ，
19、四边形 ABCD 的52 12 6面积 S |AC|BD| 104 20 .故选 B.12 12 6 611已知圆 C：x 2y 28y 120，直线 l：ax y2a0.(1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切；(2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且 AB2 时，求直线 l2的方程解：将圆 C 的方程 x2y 28y 120 配方得 标准方程为x2( y4) 24， 则此圆 的圆心为(0,4)，半径 为 2.(1)若直 线 l 与圆 C 相切，则有 2.解得 a .|4 2a|a2 1 34(2)过圆 心 C 作 CDAB，则根据题意和圆的性质，得Error!解得 a7
20、，或 a1.故所求直线方程为 7xy 140 或 xy 20.12如右图，圆 O1 与圆 O2 的半径都是1，O 1O24，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M 、N 分别为切点)，使得 PM PN，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的2轨迹方程解：以 O1O2的中点 O 为原点，10O1O2所在直线为 x 轴 ，建立如图所示的坐标系，则 O1(2,0)， O2(2,0)由已知|PM| |PN|，2|PM| 22|PN| 2.又两圆的半径均为 1，所以|PO 1|2 12(|PO 2|21)设 P(x，y)，即(x 2) 2 y212(x 2) 2y 21，即(x 6) 2 y233.所求动点 P 的轨迹方程为(x6) 2y 233(或 x2 y212x30)
