1、郑州轻工业学院数学与信息科学系,第三章：复变函数的积分卢金梅,第三章：复变函数的积分,在复变函数中，积分法和微分法一样是研究复变函数性质十分重要的方法和解决实际问题的强有力的工具本章主要内容：3.1 复变函数积分的概念3.2 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理3.3 基本定理的推广复合闭路定理3.4 原函数与不定积分3.5 柯西积分公式3.6 解析函数的高阶导数3.7 解析函数和调和函数的关系,3.1 复变函数积分的概念,主要内容一 积分的定义二 可积的条件及计算法三 积分的性质要求：理解复变函数积分的概念，掌握计算方法及性质,3.1 复变函数积分的概念,一 积分的概念1 有向
2、曲线：设C为平面上给定的一条光滑(按段光滑)曲线.如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向，那么我们就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线,3.1 复变函数积分的概念,一 积分的概念2 积分的定义：【定义】设函数w=f(z)定义在区域D内，C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线. 将C任意分成n个弧段,分点为 在每个弧段 (k=1,2,n)上任意取一点k(如图)，作和式,3.1 复变函数积分的概念,一 积分的概念2 积分的定义：【定义】设函数w=f(z)定义在区域D内，C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线. 和式： 记 的长度，当0时，如果不论对C的分法及k的取法
3、如何，Sn都有唯一的极限，那么称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分，记作,3.1 复变函数积分的概念,一 积分的概念2 积分的定义：【定义】设函数w=f(z)定义在区域D内，C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线.如果C为闭曲线，那么沿此闭曲线的积分记作若f(z)=f(x), 而C是x轴上的区间axb时，此积分就是一元实函数定积分定义,3.1 复变函数积分的概念,二 积分存在的条件及计算法1 积分存在的条件若f(z)是连续函数C是光滑曲线,则积分 一定存在【证】设光滑曲线C由参数方程给出，正方向为参数t增加的方向，参数, 对应于起点A和终点B, 并且z(t)0, t如果f(z)
4、=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内连续, 那么u(x,y), v(x,y)在区域D内连续,3.1 复变函数积分的概念,二 积分存在的条件及计算法1 积分存在的条件若f(z)是连续函数C是光滑曲线,则积分 一定存在【证】设zk=xk+yk, k=k+k, 由于所以,3.1 复变函数积分的概念,二 积分存在的条件及计算法1 积分存在的条件若f(z)是连续函数C是光滑曲线,则积分 一定存在【证】由于u,v都连续, 且C光滑, 根据二元函数线积分存在定理, n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时，不论对C的分法及k的取法如何，上式右端两和式的极限都存在,3.1 复变函数积分的概念,二 积分存在的条
5、件及计算法2 积分计算法 设连续函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)，光滑曲线C的方程为正方向为参数t增加的方向，参数, 对应于起点A和终点B. 并且z(t)0, t，则证明：由积分存在性证明可知,3.1 复变函数积分的概念,二 积分存在的条件及计算法2 积分计算法 设连续函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)，光滑曲线C的方程为正方向为参数t增加的方向，参数, 对应于起点A和终点B. 并且z(t)0, t，则证明：由线积分计算法,3.1 复变函数积分的概念,二 积分存在的条件及计算法2 积分计算法 设连续函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)，光滑曲线C的方程为正方向为参
6、数t增加的方向，参数, 对应于起点A和终点B. 并且z(t)0, t，则证明：,3.1 复变函数积分的概念,二 积分存在的条件及计算法2 积分计算法 设连续函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)，光滑曲线C的方程为正方向为参数t增加的方向，参数, 对应于起点A和终点B. 并且z(t)0, t0, 总可以找到一个0,3.4 原函数与不定积分,定理二：如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则必为 B内的解析函数，且证明:设z为B内任意一点, 以z为心作一含于B内的小圆K所以，使得对于满足|-z|的一切都在K内，也就是当|z|0, 总可以找到一个0, 使得|z|0, 存在0, 当|z-z0
7、|时，取小圆K：|z-z0|=R，则对于圆K上的点z亦有，,3.5 柯西积分公式,【定理】如果f(z)在区域D内解析，则对D内任意一点z0，有C为D内围绕z0的任意一条简单闭曲线，其内部全含于D证明：根据闭路变形原理，,3.5 柯西积分公式,【定理】如果f(z)在区域D内解析，则对D内任意一点z0，有C为D内围绕z0的任意一条简单闭曲线，其内部全含于D证明：由估值不等式，,3.5 柯西积分公式,【定理】如果f(z)在区域D内解析，则对D内任意一点z0，有C为D内围绕z0的任意一条简单闭曲线，其内部全含于D证明：由估值不等式，由于上式左端唯一确定的值，且小于任意常数，故左端等于0，即,3.5 柯
8、西积分公式,【定理】如果f(z)在区域D内解析，则对D内任意一点z0，有C为D内围绕z0的任意一条简单闭曲线，其内部全含于D证明：,3.5 柯西积分公式,【定理】如果f(z)在区域D内解析，则对D内任意一点z0，有C为D内围绕z0的任意一条简单闭曲线，其内部全含于D推论：如果f(z)在简单闭曲线C及其所围的区域B内解析，则对任意的z0B，有柯西积分公式是求积分的强有力工具,3.5 柯西积分公式,【定理】如果f(z)在区域D内解析，则对D内任意一点z0，有C为D内围绕z0的任意一条简单闭曲线，其内部全含于D取C：即一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值,3.5 柯西积分公式,【定理】如果
9、f(z)在区域D内解析，则对D内任意一点z0，有C为D内围绕z0的任意一条简单闭曲线，其内部全含于D从柯西积分公式( 推论)可以看出，如果f(z)在区域边界的值一经确定，那么它在区域内部任意一点的值就确定了注：特例(n=1)可看作柯西积分公式的特殊情况(f(z)=1),3.5 柯西积分公式,【例】求下列积分(1) (2) (3)解：(1)因为sinz在复平面内解析，且z=0在|z|4内，所以(2),3.5 柯西积分公式,【例】求下列积分(1) (2) (3)解：(3)因为ez在复平面内解析，且z=1在|z|0，使得对任意的zC,有| f(z)|M,3.6 解析函数的高阶导数,证明：设d为从z0
10、到C上各点的最短距离，并取|z|适当的小，使得|z|1解：(1)函数cosz在C内处处解析，由高阶导数公式 (2)函数 在C内有两个奇点+i，在C内分别以i和-i为中心作一个正向圆周C1, C2, 函数 在由C，C1，C2为边界的区域内解析，根据复合闭路定理，,3.6 解析函数的高阶导数公式,【例】求下列积分(1) (2)C为正向圆周|z|=r解：(1)函数cosz在C内处处解析，由高阶导数公式 (2) 根据复合闭路定理，,3.6 解析函数的高阶导数公式,【例】求下列积分(1) (2)C为正向圆周|z|=r解：(1)函数cosz在C内处处解析，由高阶导数公式 (2) 根据复合闭路定理，同理可得
11、,3.6 解析函数的高阶导数公式,【例】求下列积分(1) (2)C为正向圆周|z|=r解：(1)函数cosz在C内处处解析，由高阶导数公式 (2) 根据复合闭路定理，,3.7 解析函数与调和函数的关系,【定义】(调和函数)如果二元函数(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯(Laplace)方程则称(x,y)为区域D的调和函数【定义】(共轭调和函数)设v(x,y),u(x,y)为区域D的调和函数，且在D内满足C-R条件则称v(x,y)为u(x,y)在区域D的共轭调和函数，注：v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数，反之不一定成立,3.7 解析函数与调和函数的关系,【定理】(解
12、析函数和调和函数关系) 任何在区域D内解析的函数，它的虚部一定是实部在区域D内的共轭调和函数证明：设w= f(z)= u(x,y)+i v(x,y)为D内的解析函数，则根据高阶导数定理， u, v具有任意阶连续偏导数所以， 同理，,3.7 解析函数与调和函数的关系,【定理】(解析函数和调和函数关系) 任何在区域D内解析的函数，它的虚部一定是实部在区域D内的共轭调和函数由上述定理，已知一个调和函数u(x,y)，就可以利用C-R方程求出它的的共轭调和函数v(x,y) ，进而以它们为实虚部构成的解析函数 f(z)= u(x,y)+i v(x,y)下面讨论求共轭调和函数的方法： 偏微分法和不定积分法,
13、3.7 解析函数与调和函数的关系,【定理】(解析函数和调和函数关系) 任何在区域D内解析的函数，它的虚部一定是实部在区域D内的共轭调和函数由上述定理，已知一个调和函数u(x,y)，就可以利用C-R方程求出它的的共轭调和函数v(x,y) ，进而以它们为实虚部构成的解析函数 f(z)= u(x,y)+i v(x,y)不定积分法介绍：(1) 求出f(z)=ux-iuy或f(z)=vy+ivx(2)将ux-iuy或vy+ivx还原成z的函数，得f(z)=U(z)或f(z)=V(z)(3) 积分可得 或,3.7 解析函数与调和函数的关系,【例】证明u(x,y)=y3-3x2y为调和函数，并求其共轭调和函
14、数v(x,y)和它们构成的解析函数解一：显然， 所以u(x,y)为调和函数因为所以，又因所以,3.7 解析函数与调和函数的关系,【例】证明u(x,y)=y3-3x2y为调和函数，并求其共轭调和函数v(x,y)和它们构成的解析函数解一：所以故得解析函数此解析函数可化为：,3.7 解析函数与调和函数的关系,【例】证明u(x,y)=y3-3x2y为调和函数，并求其共轭调和函数v(x,y)和它们构成的解析函数解二(不定积分法) ：所以f(z)不可能含任意实常数，常数c1必定为纯虚数故,f(z)=ux-iuy或f(z)=vy+ivx,今日作业,P100 7题 (8) (9) (10)P103 30题 （3）,
