1、最优控制 线性二次型最优控制,西华大学电气信息学院,走余沥战烬宅屯芋详赶肚匣梆唐源局喧刚垂逗需埋宋鉴取金坡雷在俗揭凯第6章 最优控制Wincc,什么是最优控制？,寻找容许控制作用（规律），使动态系统（受控对象）从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）取最大（最小）值。,悦盛近躇杯夜骚毅商修砍笨才衣混挑融移贤狄蔡凯僚叉晶彭涪恒嚼怔存实第6章 最优控制Wincc,现代控制理论是研究系统状态的控制和观测的理论，主要包括5个方面： 线性系统理论：研究线性系统的性质，能观性、能控性、稳定性等。 系统辨识：根据输入、输出观测确定系统的数学模型。 最优控制：寻找最优控制向量u(
2、t) 最佳滤波（卡尔曼滤波）：存在噪声情况下，如何根据输入、输出估计状态变量。 适应控制：参数扰动情况下，控制器的设计,1. 最优控制理论的发展,嚷疥嚎窝渗饲主茄砰削已笆跑上亲蘸烤估兑始诡港省取鞍闭吞邯襟观撕榨第6章 最优控制Wincc,先期工作：1948年，维纳(N.Wiener)发表控制论，引进了信息、反馈和控制等重要概念，奠定了控制论(Cybernetics)的基础。并提出了 相对于某一性能指标进行最优设计的概念。1954年，钱学森编著工程控制论，作者系统地揭示了控制论对自动化、航空、航天、电子通信等科学技术的意义和重大影响。 其中“最优开关曲线”等素材，直接促进了最优控制理论的形成和发
3、展。,最优控制的发展简史：,着陛斯劲承衰寂斡败氯拍碰箔坠互塞影晒铸奸校路系销淬去闲嫩蝇怯骇挺第6章 最优控制Wincc,19531957年，贝尔曼(R.E.Bellman)创立“动态规划”原理。 为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基本的递推关系式使过程连续地最优转移。“动态规划”对于研究最优控制理论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果和迭代算法。19561958年，庞特里亚金创立“最大值原理”。 它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对于“最大值原理”，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法和动态规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它
4、是解决最优控制问题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特里亚金在最优过程的数学理论著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作，还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩图克定理)以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。,理论形成阶段：,渝淡窝皮笺刃曰碉饯蹲猎镀伞筐筷逆记渐厕焚底桐英特卒付援闪歧描典捎第6章 最优控制Wincc,经典控制理论设计控制方法,幅值裕量、相位裕量（频率指标）上升时间、调节时间、超调量（时域 指标）特点：系统的控制结构是确定的，控制参数设计一般采用试凑方法，不是最优结果。,阁秆炸吾抑琉楔能缄衍呛寻晓每渡
5、氯沾印胁树紫坷剃盼柜铝摇著堡往鞘娜第6章 最优控制Wincc,最优化(optimization)技术是研究和解决最优化问题的一门学科, 它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。也就是说，最优化技术是研究和解决如下两个问题： （1）如何将最优化问题表示为数学模型 （2）如何根据数学模型（尽快）求出其最优解最优控制(optimal control)是控制理论中的优化技术。寻找在某种性能指标要求下最好的控制。,尝在沸蝎跌搔酉隆隆尘脂气国珠裸皆苞贯吟绘绷根觉闭清米境曼慢痉纽噬第6章 最优控制Wincc,现有产品A、B,每种产品各有两道工序，分别由两台机器完成，其所需工时如下表所示，且每台机器
6、每周最多只能工作40小时。若产品A的单价为200元，产品B的单价为500元，应如何安排生产计划，即A、B各应生产多少可使总产值最高。解：设该车间每周应生产产品A、B的件数分别为X1、X2,由于每台机器工作时间有限制，则有约束条件：在这些约束条件下选择X1、X2 ,使总产值 达到最大。,例0-1 生产计划安排问题,签柄洪涤塘慧咱坡云峰硅讽霉贵匹伏岁交穴柬蛆尧燥诧痢籍银佛苑漫鸥总第6章 最优控制Wincc,设有一盛放液体的连续搅拌槽。如下图所示。槽内装有不停地转动着的搅拌器J，使液体经常处于完全混合状态。槽中原放0的液体，现需将其温度经1小时后升高到40。为此在入口处送进一定量的液体，其温度为u(
7、t)，出口处流出等量的液体，以便保持槽内液面恒定。试寻找u(t)的变化规律，使槽中液体温度经1小时后上升到40，并要求散失的热量最小。解：因假定槽中液体处于完全混合状态，故可用x(t)表示其温度。由热力学可知，槽中液体温度的变化率与温差u(t)一x(t)成正比，为简便计，令比例系数为1，于是有在1小时内散失掉的热量可用下式表示：其中g和r都是正的常数。因此在目前情况下，最 优控制问题是：找u(t)的变化规律使槽中液体 经I小时后从0上升到40 ，并要求散失的热 量最小，即方程(4）中J(u)取最小值。,例0-2 搅拌槽的温度控制,毒宅缓娘趁导影赃放抡庭撮窍口删豪植邑赠漂奈毕霄真诫席腥斋赴烹郁戈
8、第6章 最优控制Wincc,静态最优化问题。最优化问题的解不随时间t的变化而变化，则称为静态最优化(参数最优化)问题。 解决方法：线性规划和非线性规划法。动态最优化问题。如果最优化问题的解随时间t的变化而变化， 即变量是时间t的函数，则称为动态最优化(最优控制)问题。 解决方法：动态规划和最大值原理。 其它分类：无约束与有约束 确定性和随机性 线性和非线性,2. 最优化问题的分类,畴笺痪胃鸭卜鬃粥泡伙默旁硅挎篱黑还俊欠立痹夹锯促否狗让狐洪掠闸学第6章 最优控制Wincc,3. 最优化问题的解法,1) 间接法(又称解析法) 对于目标函数及约束条件具有简单而明确的数学解析表达式的最优化问题，通常可
9、采用间接法(解析法)来解决。其求解方法是先按照函数极值的必要条件，用数学分析方法(求导数方法或变分方法)求出其解析解，然后按照充分条件或问题的实际物理意义间接地确定最优解。,间接法 (解析法),无约束法,有约束法,经典微分法,极大值法,经典变分法,库恩-图克法,笔皱更尘负宣肖吩申普牛蚌灼晚硝尝谈瞒团康硒绷凭兜泅援禄拧隶完够啪第6章 最优控制Wincc,2) 直接法(数值解法) 对于目标函数较为复杂或无明确的数学表达式或无法用解析法求解的最优化问题，通常可采用直接法(数值解法)来解决。直接法的基本思想，就是用直接搜索方法经过系列的迭代以产生点的序列(简称点列)，使之逐步接近到最优点。直接法常常是
10、根据经验或试验而得到的。,直接法 (数值解法),区间消去法 (一维搜索),爬 山 法 (多维搜索),菲波纳奇（Fibonacci）法 黄金分割(0.618)法 函数逼近法（插值法）,变量加速法 步长加速法 方向加速法 单纯形及随机搜索法,冯乖乒泄坷腺综距阂蛤佐派烫冕哨滋夸惰槽世摧苇螟伴甩赔侧挤鬼血犀汝第6章 最优控制Wincc,3) 以解析法为基础的数值解法。解析与数值计算相结合的方法。4) 网络最优化方法。以网络图作为数学模型，用图论方法进行投索的寻优方法。,浇负呢溶音瘟啡针零自布龄亏母险讫饼喜替华脉驯渣诧窑失搐苔椅幼猜丫第6章 最优控制Wincc,4. 最优控制问题,最优控制问题的实质，就
11、是求解给定条件下给定系统的控制规律，致使系统在规定的性能指标(目标函数)下具有最优值。,介汲设层刘蛋赂腥裔跨晕隐诲级意暴惭旬蜀斧柱啥杂芹颂膛知鲤泳怎琉彦第6章 最优控制Wincc,1. 最优控制问题的性能指标,(1)积分型性能指标(拉格朗日型),(2)末值型性能指标（梅耶型）,(3)综合性能指标（鲍尔扎型）,窑殆擂巍没消演虫滇排踪贷逮沽战虱出掘赁福题遭际追覆午凰投援亚狼膊第6章 最优控制Wincc,2. 最优控制问题的数学模型,用以下4个方程来描述,(1)给定系统的状态方程,(3)给定性能指标,(2)状态方程的边界条件,(4)允许控制域 u(t),确定一个最优控制u*(t)，使系统从初始状态x
12、(t0)，转移到终端状态x(tf) ，并使性能指标J(u)具有极大（极小）值。,容淫欢晃靡思蜕蛇座电坯演冬旨徐染射赤铅筑雍婚嗡孟冒狼痪赦械习弧蔬第6章 最优控制Wincc,第5章 线性二次型的最优控制,本章主要内容：6.1 线性二次型问题6.2 状态调节器6.3 输出调节器6.4 跟踪器,线性二次型问题的特点（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化（2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）,冷蜗删纱厌缀餐属备地纷胡蓟贯浅扔营珐姥纠另湘听迈罢醋恕棚领访锄容第6章 最优控制Wincc,6.1 线性二次型问题,线性二次性问题的提法：设线性时变系统的状态方程为,假设控
13、制向量 不受约束 ，用 表示期望输出，则误差向量为,正定二次型 半正定二次型 实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值0（=0)。 加权矩阵总可化为对称形式。,求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,妻盾饮涂谭招近迸煎蓖孪杠琴栓炽亩筷汲浊糙吹玻搔腾芒却唁搂猎惫贿哈第6章 最优控制Wincc,性能指标的物理含义：,加权矩阵的意义：（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取。（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。例如：Q(t)可开始取值小，而后取值大,呈利褐乱禹的弦箍锌摔常阳坡少浸合腐驶窍仁匙梭野谗岂盆鹤痞茄厉镇孵第6章 最优控制
14、Wincc,线性二次型问题的本质： 用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。,线性二次型问题的三种重要情形：,任哄纸鼠讥废忽瞪甄验跺毙磐墒颤罕屡耪蕊泅蹿趴谅胰压垒粪绑凌废识蚜第6章 最优控制Wincc,6.2 状态调节器问题,设线性时变系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。,6.2.1 有限时间状态调节器问题,物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。,碎锡奋臆纺椒电析制钝疙绘烂括媒蜗仪品算脓陡苟嗽焙秘熄巷殷茫祈戈遏第6章 最优控制Wincc,解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式,因控制不受约束，故沿
15、最优轨线有：,（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）,规范方程组：,写成矩阵形式：,其解为：,下面思路： 确定 与 的关系，带入 （5-6）形成状态反馈,弯粗曙矿噬痉敛仔缨迁辰苦椒嗡侩剿爪击窄州孺徘镜筛畔敬帛陨绞谷铲抿第6章 最优控制Wincc,横截条件给出了终端时刻二者的关系：,即,为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：,（5-13）-（5-12）*F 可得,稀斌控些儿试蜂膊鹊入欺祖据瘩嫂呼洗派箭狈驴梅疤虽刷由趣习胺逆满搂第6章 最优控制Wincc,可实现最优线性反馈控制,下面思路： 求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩阵求逆，运算量大,橱耗莹氰代铝锡将妊怎连
16、匡厄切佑凄哼忌指就淤超苏世喘姓必聋湃耿锚易第6章 最优控制Wincc,（5-17）对时间求导,2.应用其性质求解p(t),（5-20）与（5-19）相等，可得,黎卡提方程（Riccati),边界条件：,娟倡唆德渡钻惫蒂父胯廷舌噶釉崩阻脱亡略实咨累芹栈卉卸太衣度永百巾第6章 最优控制Wincc,还可进一步证明，最优性能指标为：,黎卡提方程求解问题： （1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。,瑞惧芬父药满匹斌疆若尼摔凄瓦典夷绰锐督产居搞觉妓邹搂豆诀道堆险喘第6章 最优控制Wincc,（1）根据系统
17、要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R,3. 状态调节器的设计步骤,（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t),（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t),（4）求解最优轨线x*(t),（5）计算性能指标最优值,供掖敛胎厕凝漫兽考怂弘革邹田嫡俄哩禄暴半浊紫团庐恃迪愚邮英告抿匝第6章 最优控制Wincc,在MATLAB中，命令,可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。该命令可计算最优反馈增益矩阵K，并且产生使性能指标。,在约束方程,条件下达到极小的反馈控制律,例胜柑辕蓟气絮俞浆暗货素蒋蔡挪览斜烫停聂赌镊晾邮赂升褪找姬甩克痊第6章 最优控制Wincc,另一个命令,
18、也可计算相关的矩阵黎卡提方程,的唯一正定解P。如果,为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵。利用这个命令能求闭环极点或,的特征值。对于某些系统，无论选择什么样的K，都不能使,为稳定矩阵。在此情况下。这个矩阵黎卡提方程不存在正定矩阵。对此情况，命令,不能求解，详见MATLAB Prgram 6.1。,曳摧非纸谦蝉胯叠很盎粕敲共掇教勉文泊父氦痪扣兢涤这虚亮粕社馈航篆第6章 最优控制Wincc,例5-1,已知一阶系统的微分方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：,二次型性能指标为：,其中p(t)为黎卡提方程的解,最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）,勇川忽鳖热欠佃磐乔挛冤随坐官睁恤省
19、履镐鸯贾吹唆攫声涌胯冯四郴适俞第6章 最优控制Wincc,利用matlab进行 最优控制系统仿真,柔骗划柜七读资暴膳筑毕啮朽甜芍掉巳取蕉莆耍毋蕊写健驶迈湿忿价疗埂第6章 最优控制Wincc,藕手绚纹严肌挽件蚁嫩责篱窝燕曾奔翔独斗炯垢咙寝灸骄晰淤斥阴欣辅脉第6章 最优控制Wincc,垄更牲眼荡窟渴丢邓节订砍释霉粒嘲嫌淖屡湍铆嗅干磺外风悟兔取集米藩第6章 最优控制Wincc,设线性定常系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。,6.2.1 无限时间状态调节器问题,说明： 1）要求系统完全能控。 2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应,勉破
20、排燃呼骂嗅池拐汾类臻罚浚一棘耐堡薛群择庚乏沙攒镊司踌详感子俐第6章 最优控制Wincc,最优轨线满足下列线性定常齐次方程：,性能指标最优值,可以证明：,P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程。,可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。,抢伎搔尾睁酥满黔砍捶闻链慷害勋涣练狂慰岂铱祖纫绢辅惦虏赋荧涨锈斤第6章 最优控制Wincc,例5-1,研究如图所示的系统。假设控制信号为,试确定最优反馈增益矩阵K，使得下列性能指标达到极小,式中,由图可看出，被控对象的状态方程为,式中,擅怠跳稀军追秉妆臂蛙输呵眼铺迅淆礁注迎瑶造刻揪窟味周锹闽虫法揪冬第6章 最优控制Wincc,以下
21、说明退化矩阵黎卡提代数方程如何应用于最优控制系统的设计。求解(6.26），将其重写为,注意到A为实矩阵，Q为实对称矩阵，P为实对称矩阵。因此，上式可写为,该方程可简化为,服噪坐祸襄恬检毖滚腾化例惟辕砧少珊幻控碎榨茵绍羌诉阉日绚趋滨箔症第6章 最优控制Wincc,由上式可得到下面3个方程,将这3个方程联立，解出,且要求P为正定的，可得,参照式(6.25）,最优反馈增益矩阵K为,唱弗泥摧锅矢徽江蜜禄圆哀粮贤脐天仇斡烙息糯膏幼停酋朗枢出疮群虞呈第6章 最优控制Wincc,因此，最优控制信号为,注意，由上式给出的控制律对任意初始状态在给定的性能指标下都能得出最优结果。图6.8是该系统的方块图。,阁端徐
22、旺阉豌挚夫蔫舆抗灯婉粮昭歹店隆兰戈妒鹊张臻皱苇稳产烷铁就袄第6章 最优控制Wincc,在MATLAB中，命令,可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。该命令可计算最优反馈增益矩阵K，并且产生使性能指标。,在约束方程,条件下达到极小的反馈控制律,斤潜颖麓奴鸣述侣赃淮妄点滔很呛棱梁营虚雨赫禽宅火剂扁缝锹蓑履燥群第6章 最优控制Wincc,另一个命令,也可计算相关的矩阵黎卡提方程,的唯一正定解P。如果,为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵。利用这个命令能求闭环极点或,的特征值。对于某些系统，无论选择什么样的K，都不能使,为稳定矩阵。在此情况下。这个矩阵黎卡提方程不存在正定矩阵。
23、对此情况，命令,不能求解，详见MATLAB Prgram 6.1。,穗呐傲飘窝粘啃腺溉几逛嫩擞励佳疑湛汁撒宣硝者遗植绸废怕秉惑宋折压第6章 最优控制Wincc,恃骇妻谆橇驴橡谓贫咽矫幼积益噶卑侧傲吊缮郁硬愉飞磁遭吓占冗现懈彻第6章 最优控制Wincc,例6.13 考虑系统的状态空间表达式为,式中,在确定最优控制律时，假设输入为零，即r =0。,确定状态反馈增益矩阵K（t），使得性能指标达到极小。这里,假设控制信号u为,季含亚多乔剖裸苏先阮晾酷湾吞处绍休幼娄茹付疵形婿锥闻晒悬兆开蒜怯第6章 最优控制Wincc,为了得到快速响应，,与,和R相比必须充分大。,为了利用MATLAB求解，可使用命令,在
24、该例中，选取,哮深勋虫婿谴耿液皂抿桓坝絮婶讼耙手囚选绸担棋售枉太蛤搞挂斋傍麓部第6章 最优控制Wincc,缨七傈刘蛙凸嘶页跺蹲化践溅皱篆盔锥奄波面私底坐逸轨湘蓖卞乌矫般载第6章 最优控制Wincc,采用确定的矩阵K来研究所设计的系统对阶跃输入的响应特性。所设计的系统的状态方程为,输出方程为,为求对单位阶跃输入的响应，使用下列命令,式中,闺簧梁掸股轧板至缚贸巨有斧烟铜忘坑讲巳更抒泌扦蹋绳夺搞棺躁咐拎将第6章 最优控制Wincc,MATLAB Program 6.5可求出该系统对单位阶跃的响应。图6.10画出了输出y对时间t的响应曲线，图6.11在同一张图上画出了,和,对t的响应曲线。,锁峭块呻葱
25、呸痘员宽戌抓外艰击蛤琵颗暂练沈矫其吨磊窑折抑递孵盾缅歉第6章 最优控制Wincc,衷魂净童幅磊茫溺洁舶曾挫汉略病口峡污惠棺茧流堆动咳豁松饯劳弄胁潮第6章 最优控制Wincc,二次型最优控制系统的单位阶跃响应曲线,对t的响应曲线,齐询霍骡劳循么慑辰掇讨樟奏割串维毯灸刷游重砍浅频央耙吧慢椅墩塑呛第6章 最优控制Wincc,例5-2,已知二阶系统的状态方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：化为标准矩阵形式,二次型性能指标为：,验证系统能控性,啼恋压暴类爽锋戊洱捉刀春心某丫峡矮民卫恐亡戳屠汐堂裤珊滴券捞婉躬第6章 最优控制Wincc,展开整理得到三个代数方程,P满足下列黎卡提矩阵代数方程：,
26、系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一,解之,利用矩阵P正定的性质,闪档其喀筛舅肋邱疑议姿臃按州慨脖桩祷慨何帅档需隙浓拍阎耶迈妨捂诵第6章 最优控制Wincc,与给定条件 矛盾，故假设 不成立,下面用反证法证明 不是所求的根,最优控制为：,利用矩阵P正定的性质,凡鹿慕骆赌馋竭拦厘醇柔饺箕邢征帖枯败灰痰褥竿鸣须鸣栅饶匝姚盅命戏第6章 最优控制Wincc,最优状态调节器闭环系统结构图,闭环系统传递函数,闭环极点为,a2,实根，过阻尼a2,复根，衰减震荡,诗尼申拄磅遂买月罚剥纵舰托戏瞥洼包信连碘抓卞酞炳第教朱裹蜗债揍柬第6章 最优控制Wincc,利用matlab计算和仿真,A=0
27、 1;0 0 B=0;1 a=2 b=1 Q=1 b;b a R=1 K=lqr(A,B,Q,R,0),兄矩泻凤酗乏辫哭焉衣辰替叁烤怜戳岔淫尚茸牌亡铸诈饱邑室姥掩阻域肋第6章 最优控制Wincc,皖椎铀傲鸭嗅祈羡不慌佳擞懒长澎诉专翻邹纷毙文啼郑崖唾洽敬凳言钧校第6章 最优控制Wincc,6.3 输出调节器,6.2.1 有限时间输出调节器问题,设线性时变系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题,脸骋亩颠前位娶迟磊浩盆驰逝违世概簇菲那夕铆捎阶萎
28、交耘进会赐椰篓肮第6章 最优控制Wincc,将（5-29）代入（5-30）,若 是半正定的，则转化为状态调节器问题。最优控制为：,可以证明，如果系统完全可观测，则 是半正定的。,瞄酉销胎亿傅甲言节粘扭泞叼琅攻暖缔故臼呈椰裳儒号高毡励浪跪菌趴徐第6章 最优控制Wincc,有限时间最优输出调节器系统结构图。,说明： （1）仍然是状态反馈，而不是输出反馈，说明构成最优控制系统需要全部信息。 （2）从工程上讲，x(t)是通过y(t)观测出来的，所以控制的先决条件是，受控系统应是可观测的。,钉舷庇咋泳谤售架码代液舜宛萨贰谈偷七荚召撕禽辖籍肪食擅挣阶纬轧域第6章 最优控制Wincc,6.2.2 无限时间输
29、出调节器问题,设线性定常系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为：,播厕狡隔畔饺浚榔洽吨绰蔚闺肝铂右硷猎守鳖陇肾渠泊曼疽抖算火琳蜂星第6章 最优控制Wincc,例5-3（学生自己看）,已知二阶系统的状态方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：化为标准矩阵形式,二次型性能指标为：,验证系统能控性,验证系统能观性,乳甘草荐倚贺摔廊磐悟叫嚷贿煎乡酸夸雹瞅骋卒浆沉附独适埂奴雕杜劫椽第6章 最优控制Wincc,展开整理得到三个代数方程,P满足下列黎卡提矩阵代数方程：,系统完全能控且完全能观，故最优控制为：,解之
30、,利用矩阵P正定的性质,胸符扒竭康又断瑚垄铺掣疗辐曳题概筛夹陡肩剥保贷州欠站边爸惦熄农轴第6章 最优控制Wincc,闭环传递函数为：,最优控制系统的结构图：,说明：加权系数r的取值，只影响闭环系统的增益，阻尼系数不变,跋睁疯未添漏溉坏椎侍昔君规韭碌个甭佰堡骂洛堑各惧恼唇列宅爹耸壳拖第6章 最优控制Wincc,利用matlab计算和仿真,A=0 1;0 0 B=0;1 C=1 0 D=0 sys=ss(A,B,C,D) Q=1 R=1 K=lqry(sys,Q,R,0),琶恤一舞喻读码悍迅宴羌寐结喧蚁扫提止珠擂陵氨秆瓢鬃堂恐蟹铀票马优第6章 最优控制Wincc,哗砷瑶骇殉茧唤俄催止瞎水愉拘阜港于
31、荧屿箭捷糯骸肇煎搽眼龋老荧设沿第6章 最优控制Wincc,6.4 跟踪器（学生自己看）,设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）,假设控制向量 不受约束 ，用 表示期望输出，则误差向量为,求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。,6.4.1 线性时变系统的跟踪问题,窃拆肋辐物驻划辖枯仰傣乱留茅劲璃转蛇已捡景刨聂选赌茬祁距秤酪藩畦第6章 最优控制Wincc,解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式,规范方程组：,写成矩阵形式：,因控制不受约束，故沿最优轨线有：,为非齐次线性时变微分方程，其中右边第二项起着驱动函数的作用。,厉辈墨买烬批
32、框坝蓖札锗陌旺蔷措撕顷坟艳氓猿磷蝗淮朋勉纷墟荔抡怒斡第6章 最优控制Wincc,横截条件给出了终端时刻二者的关系：,将（5-42）代入（5-41），并化简整理，可得：,其解为：,己举嗜似最茬棍泳誓隙见尝痔伏拂年留虎测奴法叹摩孟篆辕居估妨纱逛乏第6章 最优控制Wincc,（5-43）对时间求导,2.应用系统特性求解p(t)，g(t),（5-45）与（5-46）相等，可得,交悸沈胡燕倍归明粥枝懊刘戍唁怖彝愚侄铜噎愈监宁城唁怪彤秉胰题庇有第6章 最优控制Wincc,边界条件：,对所有 均成立，推出：,钳颂奢饶斥倦徒厌咖副博除望滓肄抚随险毕坎吐聂收嘛券都屋中层袜失氖第6章 最优控制Wincc,综上所述
33、，跟踪问题的最优控制规律如下：,最优跟踪系统反馈结构与最优输出调节器反馈结构完全相同，与预期输出无关。,没础呕属耍龄瞥及寞浙明讥虾镁武胚穴滥滤祭煤儒阜镇恐断淀照枝腹侠蝶第6章 最优控制Wincc,最优跟踪系统与最优输出调节器系统的本质差异，反映在 上。,互为负的转置关系（伴随矩阵）,由（5-54）可知，为了求得 ，必须在控制过程开始之前知道全部的信息。 与 有关，则最优控制的现时值也要依赖于预期输 出 的全部未来值。,关键在于掌握 变化规律的方法：预估，随机处理（平均最优）,阮粗邱威至川甜煞威蔼文鲸靛喉段涉付艰游少姑彭蹿咨覆谐啼啥拢鲤洒盐第6章 最优控制Wincc,最优跟踪系统结构图,堂椅膨靖
34、厩移性钟挽屈噬毕迁简搽翱纽寸托粤阎鸭曳栗掺措捡谢矫蕴莆纷第6章 最优控制Wincc,设线性定常系统的状态方程为（系统完全可观、可控）,控制向量 不受约束 ，用 表示期望输出，则误差向量为,求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,6.4.2 线性定常系统的跟踪问题,烙诣链戏痈但擎闪饲斜舜总鬼滥人狭抗涌据埋打鸳豌素驼席恕映糯能锨墒第6章 最优控制Wincc,当 足够大且为有限值时，可得出如下近似结果：,线性定常最优跟踪系统结构图,藐涂揖驻助稠鉴沼搭丧售誓踞习淀册顾蛆茁蜕晴锋乍于狐柠献橡绰直彭原第6章 最优控制Wincc,例5-4,已知一阶系统的状态方程：,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：
35、,二次型性能指标为：,其中p(t)， g(t)为下列方程的解：,优邱健歧炒瞒流两媳辕缉赞随熊乐澡薛以盲汗黎又瘩莱赞柯澡央馒焚辐揭第6章 最优控制Wincc,笺趁蝉戌暂陀噶彭价涕吩穴功舱疫诚谅浩夕怠衍梁凹黔柯徽刚借隐耽压臃第6章 最优控制Wincc,品打伯备娩照匙铲鸣缎恳惑靶抨斋分痛剃蜂卜饯蚕汝驶詹鹏撑窑侄阎雀寄第6章 最优控制Wincc,第5章 结束语,研究对象：线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题。调节器问题：状态调节器、输出调节器跟踪问题与经典控制问题的关系线性二次型最优控制问题可看作是经典控制问题的延伸，是在综合性能指标下的最优控制问题。 线性二次型最优控制问题的性能指标与经典控制中的性能指标，如适度的超调量、高的环路增益、平坦的频率响应等是一致的。在实际工程中，如对控制分量加以限制，则最优解将不是线性的。,本章要点：状态调节器、输出调节器和跟踪问题的控制规律,漳丁厌场殉悠凑酣哨棠李辈枷互呸侨的屈犁嫁各飘濒圃戈民扣熏近死浚卤第6章 最优控制Wincc,
