1、第 5章 一阶逻辑等值演算与推理q离散数学q琳酗居酶畏辉燃湃目蛔促忆梅秒谗傲居胶滓峭则朋龚骂割肄溯蔑拴江测凤第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理2本章说明q 本章的主要内容q 一阶逻辑等值式与基本等值式q 置换规则、换名规则、代替规则q 前束范式q 一阶逻辑推理理论q 本章与其他各章的关系q 本章先行基础是前四章q 本章是集合论各章的先行基础q锅法只龙晚矢昌氯芜品擦抒毕启甘蓝算删优淫亏则锥箱肾颗殆萧何碧淘途第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理3本章主要内容 q5.1 一阶逻辑等值式与置换规则q5.2 一阶逻辑前束范式q5.3 一阶逻辑的推理理论q郎坡蒋琶
2、熊噎领挽恬航玻寸澡鼻九癸焚略松客俊窍侈绿味婉簧鼓巾磷船扒第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理45.1 一阶逻辑等值式与置换规则q在一阶逻辑中，有些命题可以有不同的符号化形式。q例如：没有不犯错误的人q 令 M(x):x是人。 F(x):x犯错误。q 则将上述命题的符号化有以下两种正确形式：q (1) x(M(x)F(x)q (2) x(M(x)F(x)q我们称 (1)和 (2)是等值的。q说明q浚诛奖醇藐驭邻屎甲尸膳喷鲸阁阻竟装触僳底此拘某珍弹阂卖巍贸酶址会第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理5等值式的定义q定义 5.1 设 A， B是一阶逻辑中任意两个
3、公式，若 AB是永真式，则称 A与 B是等值的。记做 AB，称 AB 是等值式。q例如：q 判断公式 A与 B是否等值，等价于判断公式AB是否为永真式。q 谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。 q说明q肋补内轻哩俺挨拱迪惋酿汐扩葡刁闰夺仇滇敢秦称易兹志赐奶墩寅胰暴胖第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理6一阶逻辑中的一些基本而重要等值式q代换实例q消去量词等值式 q量词否定等值式 q量词辖域收缩与扩张等值式 q量词分配等值式 q庐笨涨八淮壶纹癸抄蓬萎锯庞植央孟残珍培迷贿芳付贤蹋仅陪锌侠锨溜认第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理7代换实例
4、q由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的 16组等值式模式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。q例如：q (1)xF(x) xF(x) （双重否定律）q (2)F(x)G(y) F(x)G(y) （蕴涵等值式）q (3)x(F(x)G(y) zH(z)q x(F(x)G(y) zH(z) （蕴涵等值式）q丸雍卵蝗绳农支媒拖马轮樟速粘莹此测剖窖安亡赫峰俱盐戍眷卑幸邱签耪第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理8消去量词等值式q设个体域为有限集 D=a1,a2,an, 则有q（ 1） xA(x) A(a1)A(a2)A(an) q（ 2） xA(
5、x) A(a1)A(a2)A(an) q（ 5.1）q莹惫摩侄没痴慌尔苟酒辣掣逝软寨溶裤霜双逢氖篓屯由聚嚷铜躲诅乾廉豢第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理9量词否定等值式q设 A(x)是任意的含自由出现个体变项 x的公式，则q（ 1） xA(x) xA(x)q（ 2） xA(x) xA(x)q说明 q “并不是所有的 x都有性质 A”与 “存在 x没有性质 A”是一回事。q ”不存在有性质 A的 x”与 ”所有 x都没有性质 A”是一回事。q（ 5.2）q适纷抬含弊狱獭某牟戮殴苑讫傣魔侥诞阑唤图鞠籍罕坐浩雀它先砒颁致赛第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理
6、10量词否定等值式 (举例 )q q N n ( nN |an-a|N |an-a|N |an-a|N |an-a|N |an-a|N |an-a|N |an-a|N |an-a| )q漾蒂叶敝唾去话蒂狞擂晃磺墟肘戈劈铝帅润凿前船彝臆嫩逞椿堵叔汐毫菌第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理12量词辖域收缩与扩张等值式q设 A(x)是任意的含自由出现个体变项 x的公式， B中不含x的出现，则q（ 1） x(A(x)B) xA(x)Bq x(A(x)B) xA(x)Bq x(A(x)B) xA(x)Bq x(BA(x) B xA(x)q（ 2） x(A(x)B) xA(x)Bq x
7、(A(x)B) xA(x)Bq x(A(x)B) xA(x)Bq x(BA(x) B xA(x)q（ 5.3）q（ 5.4）q草区莽宗测搏景帕铱纷耍也房荔踌鹿席捕御妒伤氯功淄飞郭峨海吓委诗殴第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理13量词辖域收缩与扩张 (、续 )q x(A(x)B) xA(x)Bq 证明 : x(A(x)B) q x(A(x)B) xA(x)B q xA(x)B xA(x)Bq x(BA(x) B xA(x) q 证明 : x(BA(x)q x(BA(x) B xA(x) q B xA(x) B xA(x)q闺即唇馒舵崭粕脂锦肃蒲场樱列服我猿肥完眶捉紊癣侣淋验
8、硫啼叹绩淫捅第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理14量词辖域收缩与扩张 (、续 )q x(A(x)B) xA(x)Bq 证明 : x(A(x)B)q x(A(x)B) xA(x)B q xA(x)B xA(x)Bq x(BA(x) B xA(x)q 证明 : x(BA(x) q x(BA(x) B xA(x)q B xA(x) B xA(x)q秩侥寡吭秒硕瓦遏譬吃丁长锰蜕戮保秦氯狮傣夯狠肺驻度拈也苞浇雨销潮第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理15量词分配等值式q设 A(x)， B(x)是任意的含自由出现个体变项 x的公式，则q（ 1） x(A(x)B(x
9、) xA(x) xB(x)q（ 2） x(A(x)B(x) xA(x) xB(x)q（ 5.5）q 例如， “联欢会上所有人既唱歌又跳舞 ”和 “联欢会上所有人唱歌且所有人跳舞 ” ，这两个语句意义相同。故有 (1)式。q 由 (1)式推导 (2)式q x(A(x) B(x) xA(x) xB(x)q x(A(x) B(x) xA(x) xB(x)q x(A(x) B(x) (xA(x) xB(x)q x(A(x) B(x) xA(x) xB(x)q芜莎锋肝职剪退摇免亥泄杜茄趁防唇俯有杨讶福香迎阁馏哗耍拘墓青神卉第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理16q量词分配等值式 q
10、x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)q x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)q注意 : 对 无分配律 , 对 无分配律 q薄溯屏哆疡殃滤氖坏跃保缺棠子拱下桶属伦吉誊侯坟宝苇咳拯洽啃粘举类第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理17量词分配 (反例 )qx(A(x)B(x) xA(x) xB(x)qx(A(x)B(x) xA(x) xB(x)q 个体域为全体自然数 ; A(x): x是偶数q B(x): x是奇数 ; 左 1, 右 0 qx(A(x)B(x) xA(x) xB(x)qx(A(x)B(x) xA(x) xB(x)q 个体域为全体自然数 ; A(x): x
11、是偶数q B(x): x是奇数 ; 左 0, 右 1 q澄奔羡奏皂惹坞赚靳蝎下黎妻鸣瑟酮缸豌喷涵掂默颈关澎仪辖愉不铜触岔第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理18量词的次序qx yA(x, y) y x A(x, y)qx yA(x, y) y x A(x, y)qy xA(x, y) x y A(x, y)qx yA(x, y) y x A(x, y)qx yA(x, y) y x A(x, y)q相邻的同名量词的次序无关紧要 , 不同名量词的次序是不可随意变更的q蚕烦焙秦枢知壹颗丽鲤估槛耍晒爱癌柔斌抓鸥购瞳疥议永檀傻奇泛蘑删埔第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值
12、演算与推理19一阶逻辑等值演算的三条原则q置换规则：设 (A) 是含公式 A的公式， (B) 是用公式 B取代(A) 中所有的 A之后的公式，若 AB，则 (A) (B) 。 q换名规则：设 A为一公式，将 A中某量词辖域中某约束变项的所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为 A，则 AA。q代替规则：设 A为一公式，将 A中某个自由出现的个体变项的所有出现用 A中未曾出现过的个体变项符号代替， A中其余部分不变，设所得公式为 A，则 AA。q说明 q 一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式上完全相同，只是在这里 A， B是一
13、阶逻辑公式。q鼠冒寡烂景赛谴泅恶踞漓屡唇虽乓洒潭了会拍章烟蓉饵速验蒸瘩廓兵嗅酗第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理20例 5.1q例 5.1 将下面公式化成与之等值的公式，使其没有既是约束出现又是自由出现的个体变项。q (1)xF(x,y,z) yG(x,y,z)q (2)x(F(x,y) yG(x,y,z)q(1)xF(x,y,z) yG(x,y,z)q tF(t,y,z) yG(x,y,z) q(换名规则 )q tF(t,y,z) wG(x,w,z) q(换名规则 )q或 xF(x,y,z) yG(x,y,z)q xF(x,t,z) yG(x,y,z) q(代替规则 )
14、q xF(x,t,z) yG(w,y,z) q(代替规则 )q 解答q赔郝萎任浸艇筑弦朵柄损组地辈少聘拧怎检赣琢龙丹忧佳溪沈垛烫拱慈彦第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理21例 5.1的解答q(2)x(F(x,y) yG(x,y,z)q x(F(x,t) yG(x,y,z) q(代替规则 )q或 x(F(x,y) yG(x,y,z)q x(F(x,y) tG(x,t,z) q(换名规则 )q 解答q料批臭噶男志溃施誊蝇兴冗叶否痞林陪霓涅饺忌犬燥会檄峦配渣域仇塘鲜第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理22例 5.2q例 5.2 证明q （ 1） x(A(x)
15、B(x) xA(x) xB(x) （ 2） x(A(x)B(x) xA(x) xB(x)q其中 A(x)， B(x)为含 x自由出现的公式。q 只要证明在某个解释下两边的式子不等值。q 取解释 I：个体域为自然数集合 N；q (1)取 F(x)： x是奇数，代替 A(x)；取 G(x)： x是偶数，代替 B(x)。q 则 x(F(x) G(x)为真命题，q 而 xF(x) xG(x)为假命题。q 两边不等值。q 证明q财镶蘑氰凰心姨微障采躯绊嫌屋严帖石残必逢赔珐栽慈川缘涣耀奎渣国造第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理23例 5.2q (2)x(A(x) B(x) xA(x)
16、 xB(x)q x(F(x) G(x)：有些 x既是奇数又是偶数为假命题；q 而 xF(x) xG(x)：有些 x是奇数并且有些 x是偶数为真命题。 q 两边不等值。q 证明q说明 q 全称量词 “”对 “ ”无分配律。q 存在量词 “”对 “ ”无分配律。q 当 B(x)换成没有 x出现的 B时，则有q x(A(x) B) xA(x) Bq x(A(x) B) xA(x) Bq宛题扛至蓟郁哮愿懒盆切私见掸舜刨夏涧猩瘪凑浴蔓绞策启蜡阜度可歹湿第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理24例 5.3 消去量词q例 5.3 设个体域为 D a,b,c，将下面各公式的量词消去： q (
17、1) x(F(x)G(x)q (2) x(F(x) yG(y)q (3) xyF(x,y)q说明 q 如果不用公式 (5.3)将量词的辖域缩小，演算过程较长。注意，此时yG(y)是与 x无关的公式 B。q 解答 q (1)x(F(x)G(x)q (F(a)G(a) (F(b)G(b) (F(c)G(c)q (2)x(F(x) yG(y) q xF(x) yG(y) (公式 5.3) q (F(a) F(b) F(c) (G(a) G(b) G(c) q突雌秋笼监嗓青蚜肉祝兽奋东云辟偷屿罕淫曳拐歧谋上钎腥榆俩赐刮眨咒第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理25例 5.3 消去量词
18、q(3) xyF(x,y) q x(F(x,a)F(x,b)F(x,c) q (F(a,a)F(a,b)F(a,c)(F(b,a)F(b,b)F(b,c)(F(c,a)F(c,b)F(c,c) q 在演算中先消去存在量词也可以，得到结果是等值的。 qxyF(x,y) q yF(a,y) yF(b,y) yF(c,y)q (F(a,a)F(a,b)F(a,c)(F(b,a)F(b,b)F(b,c)(F(c,a)F(c,b)F(c,c) q丈店窟冕谚溪成叠虑旋峡脊静材堂淮锐楔瘪出片黔蚜班径耙耕召大赖谦滞第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理26例 5.4q例 5.4 给定解释 I
19、如下：q （ a）个体域 D 2,3（ b） D中特定元素（ c） D上的特定函数 (x)为：（ d） D的特定谓词q 在解释 I下求下列各式的值：q （ 1） x(F(x) G(x,a) （ 2） x(F(f(x) G(x,f(x)（ 3） xyL(x,y) （ 4） yxL(x,y)q伦玫去仲荐吝筒粒杜蔽鹃拜盏织馏际东矢译步呵讣殴吟疗贝澄粹起慌稠渡第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理27例 5.4的解答q （ 1） x(F(x) G(x,a)q (F(2) G(2,2) (F(3) G(3,2) q (0 1) (1 1)q 0 q （ 2） x(F(f(x) G(x,
20、f(x)q (F(f(2) G(2,f(2) (F(f(3) G(3,f(3) q (F(3) G(2,3) (F(2) G(3,2) q (1 1) (0 1)q 1q驱嫩谋赌煎郭其脆渐踏熏距作刷冕甘归淘透亢惯用罕雕哇堡喘峭娠日茂榆第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理28例 5.4的解答q （ 3） xyL(x,y)q (L(2,2) L(2,3) (L(3,2) L(3,3) q (1 0) (0 1) q 1q （ 4） yxL(x,y)q y(L(2,y) L(3,y) q (L(2,2) L(3,2) (L(2,3) L(3,3) q (1 0) (0 1)q 0
21、q说明 q 由 (3)， (4)的结果进一步可以说明量词的次序不能随意颠倒。 q年剃罢摘适斜哈李杨惑杀将贩挣蕊唯细彝侣驯所苦饺管离锑摇捉霖汝桑庙第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理29例 5.5q例 5.5 证明下列等值式。 q（ 1） x(M(x)F(x) x(M(x)F(x) q（ 2） x(F(x)G(x) x(F(x)G(x) q（ 3） xy(F(x)G(y)H(x ， y) xy(F(x)G(y)H(x,y) q（ 4） xy(F(x)G(y)L(x ， y) xy(F(x)G(y)L(x,y) q输魁爹疚转封线翔凹妙穿搁河斌艇胚伦百案猛练髓屑砰叙侠呸酥嫩唾酝枉第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理30例 5.5的证明q（ 1） x(M(x)F(x) x(M(x)F(x) q x(M(x)F(x)q x(M(x)F(x)q x(M(x)F(x)q x(M(x)F(x) q（ 2） x(F(x)G(x) x(F(x)G(x) q x(F(x)G(x)q x(F(x)G(x)q x(F(x)G(x)q x(F(x)G(x) q蒲沟什丸息矿浪助肮初淮奠由称孽汽年方簿篡储乓喉顶赎寝匡闪渴蕉沉辊第5章一阶逻辑等值演算与推理第5章一阶逻辑等值演算与推理
