1、1五 心 的 性 质三 角 形 的 五 心 有 许 多 重 要 性 质 ， 它 们 之 间 也 有 很 密 切 的 联 系 ， 如 ： （ 1） 三 角 形 的 重 心 与 三 顶 点 的 连 线 所 构 成 的 三 个 三 角 形 面 积 相 等 ； （ 2） 三 角 形 的 外 心 到 三 顶 点 的 距 离 相 等 ； （ 3） 三 角 形 的 垂 心 与 三 顶 点 这 四 点 中 ， 任 一 点 是 其 余 三 点 所 构 成 的 三 角 形 的 垂 心 ；（ 4） 三 角 形 的 内 心 、 旁 心 到 三 边 距 离 相 等 ； （ 5） 三 角 形 的 垂 心 是 它 垂 足
2、三 角 形 的 内 心 ； 或 者 说 ， 三 角 形 的 内 心 是 它 旁 心 三 角形 的 垂 心 ； （ 6） 三 角 形 的 外 心 是 它 的 中 点 三 角 形 的 垂 心 ； （ 7） 三 角 形 的 重 心 也 是 它 的 中 点 三 角 形 的 重 心 ； （ 8） 三 角 形 的 中 点 三 角 形 的 外 心 也 是 其 垂 足 三 角 形 的 外 心 （ 9） 三 角 形 的 任 一 顶 点 到 垂 心 的 距 离 ， 等 于 外 心 到 对 边 的 距 离 的 二 倍 . 下 面 是 更 为 详 细 的 性 质 ： 1、 垂 心三 角 形 三 边 上 的 高 的 交
3、 点 称 为 三 角 形 的 垂 心 。 三 角 形 垂 心 有 下 列 有 趣 的 性 质 ： 设 ABC 的 三 条 高 为 AD、 BE、 CF， 其 中 D、 E、 F 为 垂 足 ,垂 心 为 H。 性 质 1 垂 心 H 关 于 三 边 的 对 称 点 ， 均 在 ABC 的 外 接 圆 上 。 性 质 2 ABC 中 ,有 六 组 四 点 共 圆 ， 有 三 组 (每 组 四 个 )相 似 的 直 角 三 角 形 ， 且AHHD=BHHE=CHHF。 性 质 3 H、 A、 B、 C 四 点 中 任 一 点 是 其 余 三 点 为 顶 点 的 三 角 形 的 垂 心 (并 称 这
4、 样的 四 点 为 一 垂 心 组 )。 性 质 4 ABC, ABH, BCH, ACH 的 外 接 圆 是 等 圆 。 性 质 5 在 非 直 角 三 角 形 中 ,过 H 的 直 线 交 AB、 AC 所 在 直 线 分 别 于 P、 Q， 则 AB/APtanB+ AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。 性 质 6 三 角 形 任 一 顶 点 到 垂 心 的 距 离 ， 等 于 外 心 到 对 边 的 距 离 的 2 倍 。 性 质 7 设 O， H 分 别 为 ABC 的 外 心 和 垂 心 ， 则 BAO= HAC， ABH= OBC， BCO= HCA。 性 质 8
5、锐 角 三 角 形 的 垂 心 到 三 顶 点 的 距 离 之 和 等 于 其 内 切 圆 与 外 接 圆 半 径 之 和 的2 倍 。 性 质 9 锐 角 三 角 形 的 垂 心 是 垂 足 三 角 形 的 内 心 ； 锐 角 三 角 形 的 内 接 三 角 形 (顶 点在 原 三 角 形 的 边 上 )中 ， 以 垂 足 三 角 形 的 周 长 最 短 。 2、 内 心 三 角 形 的 内 切 圆 的 圆 心 简 称 为 三 角 形 的 内 心 ， 即 三 角 形 三 个 角 平 分 线 的 交点 。 内 心 有 下 列 优 美 的 性 质 ： 2性 质 1 设 I 为 ABC 的 内 心
6、 ,则 I 为 其 内 心 的 充 要 条 件 是 ： 到 ABC 三 边 的 距 离 相 等 。性 质 2 设 I 为 ABC 的 内 心 ， 则 BIC=90+12 A， 类 似 地 还 有 两 式 ； 反 之 亦 然 。性 质 3 设 I 为 ABC 内 一 点 ， AI 所 在 直 线 交 ABC 的 外 接 圆 于 D。 I 为 ABC 内心 的 充 要 条 件 是 ID=DB=DC。 性 质 4 设 I 为 ABC 的 内 心 ， BC=a， AC=b， AB=c， I 在 BC、 AC、 AB 上 的 射 影 分别 为 D、 E、 F； 内 切 圆 半 径 为 r， 令 p= (
7、1/2)(a+b+c)， 则 (1)S ABC=pr； (2)r=2SABC/a+b+c ； (3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c； (4)abcr=pAIBICI。 性 质 5 三 角 形 一 内 角 平 分 线 与 其 外 接 圆 的 交 点 到 另 两 顶 点 的 距 离 与 到 内 心 的 距 离相 等 ； 反 之 ， 若 I 为 ABC 的 A 平 分 线 AD(D 在 ABC 的 外 接 圆 上 )上 的 点 ， 且DI=DB， 则 I 为 ABC 的 内 心 。 性 质 6 设 I 为 ABC 的 内 心 ， BC=a， AC=b， AB=c， A 的
8、 平 分 线 交 BC 于 K,交 ABC 的 外 接 圆 于 D， 则 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。 3、 外 心三 角 形 的 外 接 圆 的 圆 心 简 称 三 角 形 的 外 心 .即 三 角 形 三 边 中 垂 线 的 交 点 。 外 心 有如 下 一 系 列 优 美 性 质 ： 性 质 1 三 角 形 的 外 心 到 三 顶 点 的 距 离 相 等 ， 反 之 亦 然 。 性 质 2 设 O 为 ABC 的 外 心 ， 则 BOC=2 A， 或 BOC=360-2 A(还 有 两 式 )。性 质 3 设 三 角 形 的 三 条 边 长 ， 外 接 圆
9、 的 半 径 、 面 积 分 别 为 a、 b、 c,R、 S ， 则R=abc/4S 。 性 质 4 过 ABC 的 外 心 O 任 作 一 直 线 与 边 AB、 AC(或 延 长 线 )分 别 相 交 于 P、 Q 两点 ， 则 AB/AP sin2B+ AC/AQsin2C=sin2A+sin2B+sin2C。 性 质 5 锐 角 三 角 形 的 外 心 到 三 边 的 距 离 之 和 等 于 其 内 切 圆 与 外 接 圆 半 径 之 和 。 4、 重 心性 质 1 设 G 为 ABC 的 重 心 ， ABC 内 的 点 Q 在 边 BC、 CA、 AB 边 上 的 射 影 分 别为
10、 D、 E、 F， 则 当 Q 与 G 重 合 时 QDQEQF 最 大 ； 反 之 亦 然 。 性 质 2 设 G 为 ABC 的 重 心 ， AG、 BG、 CG 的 延 长 线 交 ABC 的 三 边 于 D、 E、 F,则 S AGF=S BGD=S CGE； 反 之 亦 然 。 性 质 3 设 G 为 ABC 的 重 心 ， 则 S ABG=S BCG=S ACG= (1/3)S ABC； 反 之 亦然 。 5、 旁 心 31、 三 角 形 一 内 角 平 分 线 和 另 外 两 顶 点 处 的 外 角 平 分 线 交 于 一 点 ， 该 点 即 为 三 角 形的 旁 心 。 2、 每 个 三 角 形 都 有 三 个 旁 心 。 3、 旁 心 到 三 边 的 距 离 相 等 。
