1、必考问题 4 三角函数与三角变换【真题体验】1(2012江苏改编)已知 cos ，则 sin _.(x 3) 13 (6 x)解析 sin cos(6 x) (x 3) .13答案 132(2012江苏)设 为锐角，若 cos ，则 sin 的值为_( 6) 45 (2 12)解析 由条件可得 cos 2ccs 2 1 ，sin ，(2 3) ( 6) 725 (2 3) 2425所以 sin sin(2 12) (2 3) 4 .22(2425 725) 17250答案 172503(2011江苏)函数 f(x)Asin(x )，( A， ， 是常数，A0， 0)的部分图象如图所示，则 f(
2、0)_.解析 因为由图象可知振幅 A ， ，所以周期 T ，解得 2，将2T4 712 3 4 2代入，解得一个符合的 ，从而 y sin ，f(0) .(712， 2) 3 2 (2x 3) 62答案 624(2012南通、泰州、扬州调研) 已知角 的终边经过点 P(1，2)，函数 f(x)sin(x )(0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，则 f _.3 (12)解析 由图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，得 T 3，又角 的终3 23 2边经过点 P(1， 2)，所以 sin ，cos ，所以 f(x)sin(3x ) 25 15f sin .(12) (4 ) 22(15 25
3、) 1010答案 10105(2010江苏)定义在区间 上的函数 y6cos x 的图象与 y5tan x 的图象的交点(0，2)为 P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1 与 ysin x 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为_解析 线段 P1P2 的长即为 sin x 的值，且其中的 x 满足 6cos x5tan x，整理得6sin2x 5sin x 60，解得 sin x .线段 P1P2 的长为 .23 23答案 23【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)三角函数的有关知识大部分是 B 级要求，只有函数 yAsin(x)的图象与性质是A 级要求；(2)两
4、角和(差) 的正弦、余弦及正切是 C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是 B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活 应用试题类型可能是填空题，同时 在解答题中也是必考题， 经常与向量 综合考查，构成中档题【应对策略】三角函数既是重要知识，又是重要工具，作为知识，它与函数、平面向量有着密不可分的联系，三角函数的概念、基本性质及图象都是从函数的角度出发的重要基础知识，三角恒等变换是三角函数作为工具的重要体现，在 历年的高考试题 中占有重要地位，尤其是三角函数与向量的综合更是考查重点， 题型可能是填空题，也可能是解答题需要熟练掌握三角函数内部知识的综合及三角函数与向量的综合必备知识1三角函数的概念，如
5、象限角、轴线角、终边相同的角、三角函数的定义、定义域、符号法则、弧度制等；2同一个角的正弦、余弦、正切函数之间有平方关系和商数关系，平方关系：sin2cos 2 1，商数关系：tan .根据同角三角函数的基本关系，如果已知角 的sin cos 某一个三角函数值，就可以求出其它两个三角函数值，不过解的个数要根据角 所在的象限或范围确定3诱导公式揭示的是 k (kZ )与 的三角函数值之间的等量关系式，记忆口诀是2“奇变偶不变，符号看象限” 4正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等三角函数性质，要熟练掌握；5熟记两角和与差的三角函数、二倍角公式，掌握公式的常见
6、变形，如辅助角公式asin bcos sin()，降幂公式 cos2 ，sin 2 等a2 b21 cos 22 1 cos 22必备方法1解决三角函数实际应用问题的一般步骤是：(1)认真审题 ，找出自变量，分析出三角函数与自变量之间的函数关系，写出解析式，并且根据题意和实际意义确定函数定义域，简单地说，就是建立数学模型；(2)利用所学三角函数知识解决这一数学模型2三角函数在代数中的应用，一般是用换元法将三角函数看做一个整体 变量，利用其值域等性质限制函数定义域，再利用函数等代数知 识求解3三角恒等变形的基本思路(1)“化异为同” ，“切化弦” ，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧“化异为同
7、”是指“化异名为同名” ，“化异次为同次” ，“化异角 为同角” (2)角的变换是三角变换的核心，如 ()， 2( ) ()等命题角度一 三角变换与求值命题要点 给角求值；给值 求值； 给值求角【例 1】 (2011江苏)已知 tan 2，则 的值为 _(x 4) tan xtan 2x审题视点 听课记录审题视点 由已知条件先确定 tan x 的值，再化 简待求式，然后代入求得解析 由 tan 2，得 2，解得 tan x ，(x 4) tan x 11 tan x 13所以 .tan xtan 2x tan x2tan x1 tan2x 1 tan2x2 1 192 49答案 49给 角求值
8、问题，一般方法是利用三角公式将非特殊角 转化为特殊角；给值求值问题，要观察已知与所求的关系，注意从角、三角函数名称等几个方面观察，应用角的变换、名称变换等寻找关系；给值 求角一般要有求两个方面，一是所求角的范围，二是所求角的某个三角函数值，很多时候还 需要缩小角的范围，使得所求三角函数在该区间上单调【突破训练 1】 (2012江西改编) 若 tan 4，则 sin 2_.1tan 解析 已知某个角的正切值，求关于正弦、余弦的齐次分式时，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，以达到简解的目的tan 4，4tan 1tan 2，1tan 1 tan2tan sin 22sin cos .2sin c
9、os sin2 cos2 2tan 1 tan2 2tan 4tan 12答案 12命题角度二 三角函数的图象与性质命题要点 已知函数图象求函数解析式；三角函数性质的 简单应用【例 2】 函数 yAsin(x ) 的一段图象(如图所示) ，求其解析(A 0， 0，| 2)式审题视点 听课记录审题视点 先由图象求出函数的周期，从而求得 的值，再由关键点求 ，最后将(0，)代入求 A 的 值2解 设函数的周期为 T，则 T ，34 78 8 34T， 2.2T又2 2k (kZ)，2k (kZ )，8 2 4又| ， .2 4函数解析式为 yA sin .(2x 4)又图象过点(0， )，Asin
10、 ，24 2 A ，A2.22 2所求函数的解析式为 y2sin .(2x 4)(1)已知函数 yAsin(x )(A0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；由图象上的关键点确定.(2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐 标与相邻零点差的绝对值为 个周期14【突破训练 2】 已知函数 yAsin(x ) 的图象的一部分如图所(A 0，| 2， 0)示(1)求 f(x)的表达式；(2)试写出 f(x)的对称轴方程解 (1)观察图象可知：A2 且点(0,1)在图象上
11、，所以 12sin(0)，即 sin ，因为| | ，所以 .12 2 6又因为 是函数的一个零点，且是图象上升穿过 x 轴形成的零点，所以1112 2 ，所以 2.1112 6故 f(x)2sin .(2x 6)(2)设 2x B，则函数 y2sin B 的对称轴方程为 B k，kZ，6 2即 2x k(kZ)，6 2解上式得 x (kZ)，k2 6所以 f(x)2sin 的对称轴方程为 x (kZ)(2x 6) k2 6命题角度三 三角函数的图象和性质的综合应用命题要点 三角函数的值域；三角函数的最小正周期；三角函数的单调区间；三角函数的对称性【例 3】 (2012南京、盐城模拟) 已知函
12、数 f(x) sin xcos xcos 2x (xR )312(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)在区间 上的函数值的取值范围0，4审题视点 听课记录审题视点 将三角函数化 为标准型，利用周期公式求解，再利用三角函数的性质求值域解 (1)因为 f(x) sin 2x cos 2xsin ，故 f(x)的最小正周期为 .32 12 (2x 6)(2)当 x 时，2x ，故所求的值域为 .0，4 6 6，3 12，32求解三角函数的周期，一般是化 为标准型后，再利用周期公式求解，或者利用三角函数图象求周期三角函数的 值域有几种常见类型：一是可以化 为标准型的，利用三角函数图
13、象求解；二是可以化为二次型的，利用 换元法求解，但要注意“新元”的取值范围【突破训练 3】 (2012苏州期中) 已知函数 f(x)cos 2sin sin .(2x 3) (x 4) (x 4)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)在区间 上的值域0，2解 (1)f(x) cos 2sin sin(2x 3) (x 4) (x 4) cos 2x sin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)12 32 cos 2x sin 2xsin 2x cos2x12 32 cos 2x sin 2xcos 2xsin .12 32 (2x 6)T .22(2)x ，
14、 2x 0，2 6 6，56sin max1，sin min(2x 6) (2x 6) 12即 f(x)sin 的值域为 .(2x 6) 12，14解决三角函数需注意的两个问题一、要充分挖掘题中隐含条件【例 1】 在ABC 中，如果 4sin A2cos B1,2sin B 4cos A3 ，则C 的大小3是_解析 两式平方相加并化简得 sin(AB) ，所以 sin C ，得 C 或 ，检验：当12 12 6 56C 时，A B ，则 A，B ，sin A ，cos B ，4sin A2cos B( ，4)与56 6 (0，6) (0，12) ( 32，1) 34sin A2cos B1 矛
15、盾，所以 C 舍去，即 C .56 6答案 6老师叮咛：在三角恒等式中，如果不充分挖掘题中条件，又没有对结果检验，很容易产生增根，如本题两式平方相加并化 简得 sinAB ，所以 sin C ，得 C 或 ，产生了12 12 6 56增根 .56二、给值求角时要注意缩小所求角的范围【例 2】 若 tan() ，tan ，且 ，(0 ，)，则 2 的值为12 17_解析 由上面解得 tan ，(0，)，所以 的范围 可以缩小为 ，同理，由 tan 13 (0，4) 以及 (0，)， 的范围可以缩小为 ，所以 2(，0)，又 tan(2) 1，所17 (2，)以 2 的值为 .34答案 34老师叮咛：题中角的范围太大，使得正切函数在 该区间上不 单调，如有同学求出2 ，得 2 的值为 或 或 ，这种错误主要是没有对 2 的范围进行缩小而24 34 4 54产生了增根，所以尽可能缩小角的范 围很重要.
