1、例谈等边三角形问题的证明河北 王福善等边三角形是特殊的三角形，它三边相等、三个角均为 ，为我们提供了丰富的自60然条件在竞赛中，以等边三角形为题材的问题很多，在此列举几种证明方法一、旋转法当题目出现有公共顶点的两个等边三角形时，我们常常从旋转图形中得到解题的途径例 1 如图 1，已知 是等边三角形， 是 延长ABC EAC线上一点，选择一点 ，使得 是等边三角形，如果D是线段 的中点， 是线段 的中点MN求证： 是等边三角形分析：把 绕点 逆时针旋转 ，便 转到了 60的位置，相应的中线 转到了 的位置，所以CBE M，由于旋转了 ，所以 与 的夹角为 ，60CN60由此可知 是等边三角形简证
2、：易证 ，从而 ，于是可得ADBEADCBE ，再由 分别是 的中点，可得 ， ， ， AMBN所以 ，所以 ，同时减去 ，便得N ， C到 ，所以 是等边三角形60MC说明：用旋转法分析的问题，一般在 证明时用 SAS 证明二、直角三角形法由于 的余角是 ，所以问题中出现直角时，往往利用“在直角三角形中，3的角所对的直角边等于斜边的一半”来解决问题30例 2 如图 2， 中， ， ABC CAED，相交于 ， 于 ADBE， PQD求证： 分析：由图形可知，欲证 ，只 须证明2BP，也就是 ，而30PBQ60Q，只要证明 即可可以利用 SAS 判断AACD问题得证 ECD 证明（略）三、拼接
3、法在证明线段和差问题时，往往采用拼接的方法，利用等边三角形的特点进行证明例 3 如图 3， 是边长为 1 的等边三角形，AB是顶角 的等腰三角形，以 为顶点BDC 120DDEN图 1图 2ACBDQEPEBCDMNA图 3做一个角 ，角的两边分别交 于 ，交 于 ，连接 形成一个三角形60ABMCNM求证： 的周长等于 2AN分析：证明 的周长等于 2，注意到 的边长为 1，实际上所求证的问题 AB是 为此，延长 至 ，使 ，只须证明 即可为此MBCEEN我们要证 ，现在只有公共边 ，我 们还应该 再找到其他条件我们从D D题目条件中很容易发现 ，再 结合等 边三角形的每个内角都是 ，30 60便可得到 ，而 ，所以 ，90C， DBC 所以 ，由于 ，所以E， 6MN于是 ，即 所以6N60，因此 ，从而 ， E EN证明（略）
