1、递推数列特征方程的来源与应用浙江省奉化二中 周 衡(315506)浙江省奉化中学 杨亢尔(315500)递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列的第 1 项（或前几项） ，且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那nana1na么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公
2、式写出数列的前几项” ，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。关于一阶线性递推数列： 其通项公式的求法一般采用如下的参数法 1，将递),1(,11cdaban推数列转化为等比数列：设 ，tctctannn )(),(11 则令 ，即 ，当 时可得d)()1(1cacnn知数列 是以 为公比的等比数列，n11)(n
3、ncdac将 代入并整理，得b11cdann对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法 2：设递推公式为 其特征方程为 ，,11nnqap 022 qpxqpx即1、 若方程有两相异根 、 ，则ABnBcA212、 若方程有两等根 则,n)(其中 、 可由初始条件确定。1c2很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受的，也是不负责任的。下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源” 。设 ，则 ,)(11nntasta 11)(nnstat令 （*）qstp（1） 若方程组（*）有两组不同的解 ,)(,21ts则 ,)(11nnatsat,22
4、1n由等比数列性质可得 ,121)(nnsatt,212a由上两式消去 可得,21t1n.nn ststsa212121.特别地，若方程组（*）有一对共扼虚根 通过复数三角形式运算不难求得此时数列的通项公式,sincor为 其中 、 可由初始条件求出。,sinco21ran12（2） 若方程组（*）有两组相等的解 ，易证此时 ，则21ts1ts，1212111 )( atasatsat nnnn ,即 是等差数列，211snn1由等差数列性质可知 ，211.satsan所以 nn tsta2121.这样，我们通过将递推数列转化为等比（差）数列的方法，求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（*）
5、消去 （或 ）即得 此方程的两根即为特征方程 的两根，ts ,0022 qptqps或 qpx2读者不难发现它们的结论是完全一致的，这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在。例 1、 斐波那契数列 ，求通项公式 。),3(,1121 naan na解 此数列对应特征方程为 即 ，解得 ，x02x251x设此数列的通项公式为 ，nnncca)51()51(2由初始条件 可知，21，解之得 ，1)25()251(cc 512c所以 。nnna)(）例 2、 已知数列 且 ，求通项公式 。,5,12a)2(411nann na解 此数列对应特征方程为 即 ，解得 ，x02x21x设此数列的通项公
6、式为 ，nnc)(21由初始条件 可知，,5,12a，解之得 ，4)(21c4321c所以 。23nna例 3 已知数列 且 ，求通项公式 。,1,021a)2(1nann na解 此数列对应特征方程为 即 ，2x0x解得 ，)4sico(1ix设此数列的通项公式为 ，)4sinc(21ann由初始条件 可知，,021，解之得 ，1)4sinco()202121c所以 。coiann最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。例 4、设数列 满足nannnaa求,7245,11解： 对等式两端同加参数 得t， ，代解 之 可 得令 ,5247,2547724572451 tattattat nnnn 1t2入 ，72)5(1nnatta得 相除得,729,131 nnn a,21321nnaa即 的等比数列，31,421公 比 为是 首 项 为 aan。2,3411nnnn解 得参考文献 杨亢尔一个数列递推公式和一类应用题的解法数学教学研究，2001.4. 沈文宣. 初等数学研究教程.湖南教育出版社，1996.
