1、第52讲 不等式选讲,江苏省如东高级中学,主要内容,一、聚焦重点 含绝对值不等式的解法.,二、廓清疑点如何选择合适的重要不等式,三、破解难点利用不等式求函数的最值.,聚焦重点：含绝对值不等式的解法,基础知识,常用结论：,设a0，则,基础知识,常见形式,问题研究,如何解含绝对值的不等式？,经典例题1,思路分析,思路一：,利用,思路二：,思路三：,两边同时平方，,求解过程,解 （根据思路一）,解之，得,故原不等式的解集为,原不等式等价于,求“交”？求“并”？,求解过程,解 （根据思路二）,回顾反思,基本策略: 去绝对值符号，转化为不等式（组）求解.,通法,简捷,思想方法：等价转化.,常用方法:,（
2、1）零点分段讨论法,（2）利用等价关系直接转化法,（3）平方法,拓展延伸,思路分析：,原不等式两边同时平方，可得,所以不等式的解集为,错因分析：,思路分析,思路一：通过零点分段讨论法，转化为 两个不等式组,思路二：借助绝对值的等价关系式，直 接转化为两个不等式,思维经济运算简捷,求解过程,解（按思路二）,原不等式等价于,不等式的解集为,经典例题2,思路分析,原不等式可化为,由此得原不等式的解集为(, 32,+).,思路一：,思路二： 零点分段讨论法.,思路分析,原不等式等价于,解,求解过程,求“交”？求“并”？,思维碰撞,原不等式可化为,所以，原不等式的解集为(, 32,+).,思路一：,思路
3、分析,x,1,2,-2,-3,A,B,A1,B1,设数轴上与2、1、x对应的点分别是A、B、P,所以原不等式的解集是,0,思路三：,利用绝对值的几何意义求解,解析,思路分析,可作出其图象(如右图所示).,思路四：,利用函数图象求解,解析,回顾反思,利用绝对值的意义，通过找零点分区间讨论， 去绝对值转化为不含绝对值的不等式（组）求解.,借助数轴，利用绝对值的几何意义求解.,构造函数，利用其图象求解.,通性通法,特殊手段,思想方法,等价转化，分类讨论，数形结合.,廓清疑点: 如何选择重要不等式,问题研究,如何证明不等式?,方法回顾,常用的证明不等式的方法,（1）比较法：作差 变形判断,作商 变形判
4、断,（2）分析法：执果索因,（3）综合法：由因导果,经典例题3,由于,（当且仅当 a=b=c 时等号成立）,所以,思路一：,左式右式比较法,思路分析,思路分析,思路二：,由基本不等式,从而左式,思路三：,由基本不等式，可得,求解过程,证明 由基本不等式，可得,上述三式相加，可得,（当且仅当 a=b=c 时等号成立）,(2),从两项的基本不等式出发证明结论-综合法,思路四：,基础知识,柯西不等式的一般形式,基础知识,排序不等式,柯西不等式的三维形式：,即可直接利用柯西不等式.,思路分析,解题关键：,思路五：,求解过程,由柯西不等式，可得,关键：合理准确地构造两个元素个数相同的数组.,易错点,证明
5、,思路分析,不难得证.,排序不等式的三维形式,解题关键：,思路六：,求解过程,由排序不等式，可得,不妨设,对两组数 a，b，c；a，b，c ，,是其顺序和，,（ b，c， a，是该数组的一个排列）.,解题关键：恰当地构造两个元素个数相同的有序数组.,证明：,思路分析,思路七： 要证原式成立，即证,亦即证,设,解题关键：函数思想在证明不等式中的应用,即证,回顾反思,(2)解题关键: 选择柯西不等式或排序不等式证明 不等式的关键是抓住不等式特征，合理构造数组， 准确使用公式.,(1)方法扫描: 比较法、分析法、综合法、 放缩法，函数法等.,(3)思想方法：分析比较，合理联想，主元意识，函数思想,回
6、顾反思,注意各重要不等式的适用条件以及等号 成立条件.,(2) 一般地，柯西不等式和排序不等式用于 理科选学部分中的不等式问题的处理.,特别提醒,破解难点： 利用不等式求函数最值,问题研究,如何灵活运用均值不等式求函数的最值？,基础知识,基础知识,平均值定理,经典例题4,思路一：,思路分析,若a，b为正数，则 ，当且仅当 a=b 时，“=”成立.,并非定值,此法错误！,思路调整,若a，b，c为正数，则,当且仅当 时，“=”成立,想法一：,将 2x2 拆成 x2 + x2.,思路二：,“积”非定值,此路不通!,思路分析,所以,想法二：,将 拆成两项.,求解过程,则,回顾反思,利用均值不等式求函数的最值问题时需注意: (1) “一正、二定、三相等”这三者缺一不可. (2) 注重等价变形，合理“配项、凑项”, 正确 使用均值不等式.,总结提练,一、聚焦重点： 含绝对值不等式的解法.,二、廓清疑点：证明不等式中，如何选择合适的重要不等式,三、破解难点：利用不等式求函数的最值.,总结提练,（2）倡导通性通法，力求简捷手段,（3）增强目标意识，适时调整思路,（1）深刻领会知识，确保步步有据,（4）强化数学思想，优化解题思路,再 见,同步练习,答案,参考答案,“为什么”答案：当2x 1时，不等式无解.,
