1、7 不变子空间定义 7 设 A 是数域 p 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间。如果 W 中的向量在 A 的象仍在 W 中，换句话说，对于 W 中任一向量 ，有 A ，我们就称 W 是 A 的不变子空间，简称 A-子空间。例 1 整个空间 V 和零子空间0，对于每个线性变换 A 来说都是 A-子空间。例 2A 的值域与核都是 A-子空间。按定义，A 的值域 AV 是 V 中的向量在 A 下的象的集合，它当然也包含 AV 中向量的象，所以 AV 是 A 的不变子空间。A 的核是被 A 变成零的向量的集合 ,，核中向量的象是零，自然在核中，因此核是不变子空间。例 3 若线性变换 A
2、与 B 是可交换的，则 B 的核与值域都是 A-子空间。在 B 的核 V中任取一个向量 ，则0.0AB所以 A 在 B 下的象是零，即 A 。这就证明了 是 A-子空间.在 B 的值域 BV 中任0V取一向量 B ，则因此 BV 也是 A-子空间.因为 A 的多项式 是和 A 交换的，所以 的值域与核都是 A-子空间，这种 A-f Af子空间是经常碰到的。例 4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间。这是由于，按定义子空间对于数量乘法是封闭的。特征向量与一维不变子空间之间有着紧密的关系。设 W 是一维 A-子空间， 是 W 中任何一个非零向量，它构成 W 的基。按 A-子空间的定义， ，它必
3、定是的一个倍数： .0A这就说明 是 A 的特征向量，而 W 即是由 生成的一维 A-子空间。反过来，设 是 A 属于特征值 的一个特征向量，则 以及它的任一倍数在 A 下的0象是原象的 倍，仍就是 的一个倍数，这说明 的倍数构成一个一维 A-子空间。0显然，A 属于特征值 的特征子空间 也是 A 的不变子空间。00V我们指出，A-子空间的和与交换是 A-子空间。设 A 是线性空间 V 的线性变换，W 是 A 的不变子空间。由于 W 中向量在 A 下的象仍在 W 中，这就使得有可能不必在整个空间 V 中来考虑 A，而只在不变子空间 W 中考虑A，即把 A 看成是 W 的一个线性变换，称为 A
4、在不变子空间 W 上引起的变换。为了区别起见，我们用符号 A|W 来表示；但是在很多情况下，仍然可用 A 来表示而不致引起混倄。必须在概念上弄清楚 A 和 A|W 的异同：A 是 V 的线性变换，V 中每个向量在 A 下都有确定的象；A|W 是不变子空间 W 上的线性变换，对于 W 中任一向量 ，有.|但对于 V 中不属于 W 的向量 来说,(A|W) 是没意义的。例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换，而是特征子空间 上引起0V的变换是数乘变换 。0不难看出，如果线性空间 V 的子空间 W 是由向量组 生成的，即s,.21，则 W 是 A-子空间的充分必要条件为 全属于 W.sLW
5、,.21 sA,.必要性是显然的。现在来证充分性。如果 全属于 W，由于 W 中每个向sA,.21量 都可以被 线性表示，即有 s,.21 21skk所以 21kAkAs下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。1.设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换， W 是 V 的 A-子空间。在 W 中取一组基，并它扩充为 V 的基k,2(1).,.11n那么，A 在这组基下的矩阵就具有下列形状(2).0.0. . 2311, ,1,11 1,1 Aaaaanknkknkkk并且作上角的 k 级矩阵 就是 A|W 在 W 的基 下的矩阵。A12,k这是因为 W 是 A-子空间，所以象 仍在
6、W 中。它们可以通过 W 的基A线性表示12,k1121, ,kAaa2 212.kkkaa从而 A 在基(1)下的矩阵具有形状(2),A|W 在 W 的基 下的矩阵是 。12,k 1A反之，如果 A 在基(1)下的矩阵(2),那么不难证明，由 生成的子空间 W 是,A 的不变子空间。2.设 V 分解成若干个 A-子空间的直和：21sW在每一个 A-子空间 中取基i12,iin ,s并把们合并起来成为 V 的一组基 I。则在这组基下，A 的矩阵具有准确对角形状,.21SA其中 就是 A| 在基(3)下的矩阵.(1,)is iW反之，如果线性变换 A 在基 I 下的矩阵是准对角形(4),则由(3
7、)生成的子空间 是 A-子iW空间。这个证明与 1)相仿由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的。下面我们应用哈密尔顿-凯莱定理将空间 V 按特征值分解成不变子空间的直和。定理 12 设线性变换 A 的特征多项式为 ，它可分解成一次因式的乘积f12.srrrf则 V 可分解成不变子空间的直和 12,s其中 .,0| VEAiri 证明略。习题二1、证明： 是 的两个线性变换，并求121212(,)(,)(,)(,)TxxTxR， 及 .22、对任一 ， 又给定 ，定义变换 T 如下：nAPnCP(),TA证明：（1）T 是 的线性变换；n（2）对任意 有 .,nABP(
8、)()BT3、设 是 的两个线性变换，它们定义为:,S3R()(,0)(,)(,)TxyzzSxyzx试证 的象集是 ，即 .33TR4、设 的 的线性变换，它定义为R,(,)(0)xyzy求 的象集及核.2T5、在 中，求下列各线性变换 在指定基下的矩阵：3T（1） 在基121231(,)(,)xxx下的矩阵；30,0（2）已知线性变换 在基 下的矩阵为T123(,)(,0)(,1),求 在基 下的矩阵.T123(,0)(,10)(,1)6、给定线性空间 的两个基：3R123(,)(,)(,)12,1.又设 是 的线性变换，且 .试求：T3RiiT（1）从基 到基 （三元集）的过渡矩阵；ii（2） 在基 下的矩阵；Ti（3） 在基 下的矩阵.i7、若矩阵 可逆，证明 与 相似.ABA8、若 ， ，试证:CDD:9、 （1）证明 是线性空间 的线性变换，且121(,.)(0,.)nnTxxnP（零变换） ；0nT（2）求 的核 的维数及象集 的维数.1()()TV
