1、德阳市高中 2015 级“二诊”考试数学试卷（理工农医类）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 为虚数单位，实数 ， 满足 ，则 （ ）ixy(2)iyixyiA1 B C D2352.已知集合 ，集合 ，若|40xNx2|0Bxa，则 （ ）,23AA B C D 133.函数 的图象向右平移 个单位后所得的图象关于原点对称，则 可以()sin)fx6是（ ）A B C D 634234.为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分
2、析，发现本次听写测试成绩服从正态分布 .试根据正态分布的相关知识(78,16)N估计测试成绩不小于 90 的学生所占的百分比为（ ）A B C D0.13%1.33%3.参考数据：若 ，则 ，2(,)XN:()0682PX， .(20.954P9745.如图所示的三视图表示的几何体的体积为 ，则该几何体的外接球的表面积为（ ）32A B C D122436486.九章算术是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中 表示 除以 的余数，例如 .若输入 的值为 8(,)MODmnn(7,3)1MODm时，则输出 的值为（ ）iA2 B3 C4 D57.已知 ，
3、则 、 、 的大小排序为（ ）25logllog0xyz2x3yzA B35z 5C D2xy32zyx8.平面 过正方体 的顶点 ，平面 平面 ，平面 平面1ABCA/1ABD，则直线 与直线 所成的角为（ ）ABDllA B C D304560909.已知双曲线 的离心率为 ，其一条渐近线被圆21(0,)xyab2截得的线段长为 ，则实数 的值为（ ）2()4)xm mA3 B1 C D2210.已知函数 ，若 ，使得 成立，3()sinxfx,1()()0fxfk则实数 的取值范围是（ ）kA B C D(1,)(3,)(0,)(,1)11.如图，过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线 ，
4、 与抛物线及其准线从上到下24yxFl依次交于 、 、 点，令 ， ，则当 时， 的值为（ ）C1AB2312A3 B4 C5 D612.已知 、 是函数 （其中常数 ）图象上的两个动点，2,()()xaeff0a点 ，若 的最小值为 0，则函数 的最大值为（ ）(,0)PaP()fxA B C D21e1e2ee第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡上.13.已知实数 ， 满足条件 ，则 的最大值为 xy230xyxy14. 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是 1nx15.如图，在三角形 中， 、 分
5、别是边 、 的中点，点 在直线 上，且OPQMNOPQRMN，则代数式 的最小值为 Rxy(,)xR212xy16.已知 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 且 ， ，ABCCabc64sin5iBC有以下四个命题： 的面积的最大值为 40；满足条件的 不可能是直角三角形；当 时， 的周长为 15；2ACB当 时，若 为 的内心，则 的面积为 .OACAOB7其中正确命题有 （填写出所有正确命题的番号） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 满足 ， （ 为常数）.na112na（1）试探究数列 是否为等比数列，并求 ；na（2）当 时，求数列 的前 项和 .
6、()nT18.第 23 届冬季奥运会于 2018 年 2 月 9 日至 2 月 25 日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时） 0,1),2),3),4),5),6)收看人数 14 30 16 28 20 12（1）若将每天收看比赛转播时间不低于 3 小时的教职工定义为“体育达人” ，否则定义为“非体育达人” ，请根据频数分布表补全 列联表：2男 女 合计体育达人 40非体育达人 30合计并判断能否有 的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；90%（2）
7、在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取 6 名，再从这 6 名“体育达人”中选取 2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为 ，求的 分布列与数学期望.附表及公式： 20()PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828.22()(nadbc19.如图，在四棱锥 中，底面 为边长为 2 的菱形， ，PABCDAB60DAB，面 面 ，点 为棱 的中点.90ADFPD（1）在棱 上是否存在一点 ，使得 面 ，并说明理由；ABE/AFPCE（2）当二面角 的余弦值为 时，求直线
8、与平面 所成的角.DFC14BAD20.已知长度为 的线段 的两个端点 、 分别在 轴和 轴上运动，动点 满足32xyP，设动点 的轨迹为曲线 .BPAP（1）求曲线 的方程；C（2）过点 且斜率不为零的直线 与曲线 交于两点 、 ，在 轴上是否存在定点(4,0)lCMNx，使得直线 与 的斜率之积为常数.若存在，求出定点 的坐标以及此常数；若不TMTNT存在，请说明理由.21.已知函数 且 .2()lnfxa()fxa（1）求实数 的值；（2）令 在 上的最小值为 ，求证： .()xfga,)m6()7f请考生在 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的
9、第一题记分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系 中，直线 ： （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴正xOyl2xty x半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 ： .Csin（1）求直线 的极坐标方程及曲线 的直角坐标方程；l（2） 记射线 与直线 和曲线 的交点分别为点 和点 （异于0,2lCMN点 ） ，求 的最大值.ONM23.已知函数 .()1fx（1）解关于 的不等式 ；2()fx（2）若关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围.x1aa德阳市高中 2015 级“二诊”试题数学参考答案（理工农医类）一、选择题1-5: DABAC 6-10
10、: BACDA 11、12：CB二、填空题13. 8 14. 15 15. 16. 24三、解答题17.解：（1） ， .12na12()nna又 ，所以当 时， ，数列 不是等比数列.0此时 ，即 ；0nnn当 时， ，所以 .1aa所以数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列.n1此时 ，即 .()n1()nn（2）由（1）知 ，所以 ，na2na23nT2n41-得： 23nnn12(1)11nn.()2所以 .1nnT18.解：（1）由题意得下表：男 女 合计体育达人 40 20 60非体育达人 30 30 60合计 70 50 120的观测值为 .2k2120(6)754706所以有
11、 的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.9%（2）由题意知抽取的 6 名“体育达人”中有 4 名男职工，2 名女职工，所以 的可能取值为 0，1，2.且 ， ， ，246()CP51426()CP8526()CP15所以 的分布列为0 1 2P258515.28()015E1319.解：（1）在棱 上存在点 ，使得 面 ，点 为棱 的中点.ABE/AFPCEAB理由如下：取 的中点 ，连结 、 ，PCQ由题意， 且 ， 且 ，/FD12C/AED12故 且 .AE所以，四边形 为平行四边形.Q所以， ，又 平面 ， 平面 ，/FEPCAFPEC所以， 平面 .A（2）由题意知 为正
12、三角形，所以 ，亦即 ，BDDBD又 ，90P所以 ，且面 面 ，面 面 ，PDAPABCDPABCD所以 面 ，故以 为坐标原点建立如图空间坐标系，BC设 ，则由题意知 ， ， ， ，Fa(0,)(,0)Fa(,20)(3,1)， ，(0,2)31设平面 的法向量为 ，BC(,)mxyz则由 得 ，0F03a令 ，则 ， ，1xy2za所以取 ，3,m显然可取平面 的法向量 ，DFC(1,0)n由题意： ，所以 .1cos,423a1由于 面 ，所以 在平面 内的射影为 ，PABCPABCDB所以 为直线 与平面 所成的角，D易知在 中 ，从而 ，Rttan145P所以直线 与平面 所成的角
13、为 .PBA4520.解：（1）设 ， ， ，(,)Pxy(,0)Am(,)Bn由于 ，所以 ，2B,2,xy(2,)mxy即 ，所以 ，2xmyn32xny又 ，所以 ，从而 .32AB21829184xy即曲线 的方程为： .C2xy（2）由题意设直线 的方程为： ， ， ，l4m1(,)Mxy2(,)Ny由 得： ，2418xmy2()80y所以 .12228463()0ym故 ，1212()8xy24，1212124m268m假设存在定点 ，使得直线 与 的斜率之积为常数，则(,0)TtMTNMTNk12()yxt122()tt.228()4()tmt当 ，且 时， 为常数，解得 .0MTNk 2t显然当 时，常数为 ；当 时，常数为 ，2t324t34
