1、,6.2 CT技术的图像重建6.6 按年龄分组的人口模型,第六章 代数方程与差分方程模型,6.2 CT技术的图像重建,CT(计算机断层成像 )技术是20世纪50至70年代由美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的.,1971年第一代供临床应用的CT设备问世.,螺旋式CT机等新型设备被医疗机构普遍采用.,CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测等领域也得到了广泛的应用.,背景,什么是CT，它与传统的X射线成像有什么区别？,一个半透明物体嵌入5个不同透明度的球,概念图示,单方向观察无法确定球的数目和透明度,让物体旋转从多角度观察能分辨出5个球及各自的透明度,人体内脏,胶片,传统的X射线成像原
2、理,CT技术原理,探测器,X射线,X光管,人体内脏,CT技术: 在不同深度的断面上,从各个角度用探测器接收旋转的X光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线;,经过测量和计算将人体器官和组织的影像重新构建.,图像重建,X射线强度衰减与图像重建的数学原理,射线强度的衰减率与强度成正比.,I射线强度,l物质在射线方向的厚度,物质对射线的衰减系数,I0入射强度,射线沿直线L穿行, 穿过由不同衰减系数的物质组成的非均匀物体(人体器官).,X射线强度衰减与图像重建的数学原理,右端数值可从CT 的测量数据得到,多条直线L的线积分,FQ(q)与Q相距q的直线L的线积分Pf(L)对所有q的平均值,拉东变换,拉东逆变
3、换,图像重建,数学原理,实际上只能在有限条直线上得到投影(线积分).,图像重建在数学方法上的进展，为CT技术在各个领域成功的和不断拓广的应用提供了必要条件.,图像重建的代数模型,每个像素对射线的衰减系数是常数,m个像素(j=1, m),n束射线(i=1,n),Li的强度测量数据,j像素j的衰减系数,lj射线在像素j中的穿行长度,J(Li)射线Li穿过的像素j的集合,图像重建的代数模型,常用算法,设像素的边长和射线的宽度均为,中心线法,aij射线Li的中心线在像素j内的长度lij与之比.,面积法,aij射线Li的中心线在像素j内的面积sij与之比.,中心法,aij=1射线Li经过像素j的中心点.
4、,图像重建的代数模型,中心法的简化形式,假定射线的宽度为零, 间距,aij=1 Li经过像素j内任一点,根据A和b, 由 确定像素的衰减系数向量x,m和n很大且m n, 方程有无穷多解,+ 测量误差和噪声,在x和e满足的最优准则下估计x,代数重建技术(ART),6.6 按年龄分组的人口模型,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同.,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律.,假设与建模,种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象.,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡率为di,
5、 存活率为si=1- di,假设与建模,xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个bi0),稳定状态分析的数学知识,L矩阵存在正单特征根1，,若L矩阵存在bi, bi+10, 则,P的第1列是x*,特征向量,解释,L对角化,稳态分析k充分大种群按年龄组的分布, 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关., 各年龄组种群数量按同一倍数增减， 称固有增长率,3）=1时, 各年龄组种群数量不变, 1个个体在整个存活期 内的繁殖数量为1,稳态分析,存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比,（与si 的定义 比较）,3）=1时,人口模型,连续型人口模型的离散形式,xi(k)k年i 岁的女性人数(模型只考虑女性人口).,bi(k)k年i 岁女性生育率(每人平均生育女儿数).,dii 岁女性死亡率，si=1-di存活率,i1, i2生育区间,k年育龄女性平均生育女儿数,总合生育率(生育胎次),年龄分布向量,hi生育模式,人口模型,存活率矩阵,生育模式矩阵,x(k)状态变量, (k)控制变量,双线性方程(对x(k), (k)线性),原模型,
