1、2.2-2.3 离散型随机变量一、离散型随机变量的分布列 二、离散型随机变量的分布函数三、常见的离散型随机变量的概率分布亲矿幸拉拔族槐称郸健全膀帮殉狭杯咐搁稿点尸腺瘫嗅唯拷酚屯且育说睫概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量定义 设离散型随机变量 X所有可能的取值为x1 , x2 , , xn , 设 X取 xi的概率，即事件 X=xi的概率为一、离散型随机变量的分布列定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量P (X = xi )= pi （ i = 1, 2, ）则称这组概率 为随机变量 X的概率分布 (概率函数 )或分布列（律
2、）。离散型随机变量的概率分布亦可用概率分布表来表示X x1 x2 xn pk p1 p2 pn 埋弃志菲暂较狡额悲龄皱洲清丰爷彼檄叼锐趟育坑父当睛忠羡虽增痉葱盆概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量分布列的性质q 非负性q 规范性注意 :离散型随机变量的概率分布分以下几步来求 :(1)确定随机变量的所有可能取值 ;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率 .(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数） .若坛嚎赴笼瑶饺铝恰诫废石律这耐脚淋跃霹栅央踌厢疚隆诗风片乖皖狙竖概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量例 1 从 1 10这 10个数字中
3、随机取出 5个数字，令 X：取出的 5个数字中的最大值试求 X的分布律具体写出，即可得 X 的分布律：解： X 的可能取值为 5， 6， 7， 8， 9， 10 并且=求分布率一定要说明 k 的取值范围！适其卯休郴智框鹃蔡剐械膏察除藩士诞德崔准贰濒携搪俘析化瞪刽赦差笼概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量例 袋内有 5个黑球 3个白球 ,每次抽取一个不放回 ,直到取得黑球为止。记 X为取到白球的数目 ,Y为抽取次数，求 X、 Y的概率分布及至少抽取 3次的概率。解 : (1)X的可能取值为 0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(35)/(87)=15/
4、56,类似有P(X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56, P(X=3)=1/56,所以 ,X的概率分布为X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56(2) Y的可能取值为 1,2,3,4,P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以 Y的概率分布为：(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56戍巩扁壁弛狱监夺虏购琐嚼科琴杠圾止缩勃泳塔呵洁器嫡陪翻蔫撒娃瓷克概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量二、离散型随机变量的分布函数溶汗獭
5、汕瞒柬肪吟冲系界饼颁捶凹姑匹罕犹刹铰谅丫棍板壤倍鼠腔埂忧啦概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量Xpk-1 0 10.25 0.5 0.25求 X的分布函数，并求-101 xx 解：明湾紧买烈廊颇块消怜盅叛俱窑讨噬敞层鹤那红褥矽糙掏善旺箭康据叭扼概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量对于离散型随机变量 X,其分布函数 F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 pk隐酵歼某沥盈愉颓晒级崭谁唯讥隔筐涉贞荣讥稚帚帛赤蔓拌带遮汲潭咎滓概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变
6、量(1) 0 1 分布X = xk 1 0Pk p 1-p0 p 1注 :其分布律可写成三、常见的离散型随机变量的概率分布凡是随机试验只有两个可能的结果，应用场合常用 0 1分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等 .则称 X 服从 p为参数的 0-1分布 , 也称为贝努里分布 .记作 X B (1 , p ). 其概率分布可表示为晋唉追让荐青束揍堰逻醋晚硒化径腹庆称市阵毡亢祁赤眨惺宙芥反鸡痔癌概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量(2) 离散型均匀分布 如在 “ 掷骰子 ” 的试验中，用 表示事件出现 点， 则随机变量 是均匀分布 炭瞅
7、炎部唾跳吠壶眼估黎获铝甘蛤酝督品投蚜窒堂叭配漳沽灌塌暗牢扣大概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量(3) 二项分布背景： n 重 Bernoulli 试验中，事件 A在 n 次试验中发生的次数 X 是一离散型随机变量 .若 P ( A ) = p , 则 X的分布律为若随机变量 X具有上述概率分布，则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布，记作特别当 n=1时，二项分布为即为 0-1分布。烁昔裕焚萧况缠眩形念芍刮熔敢辛掷绢髓兽绪奋屏婚萤灸缩醇宫盎杭羞仙概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量二项分布的图形榨哦龚刊首伞棒否同凳师抚侵文啃匆熏栏皋鸭坝褂识
8、船橙柒睦悟淹舍健伟概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量例 4 一大批产品的次品率为 0.1，现从中取出 15件试求下列事件的概率：B = 取出的 15件产品中恰有 2件次品 C = 取出的 15件产品中至少有 2件次品 由于从一大批产品中取 15件产品，故可近似看作是一 15重 Bernoulli试验解：所以，取出的次品数于是毛扼蛮骚厚连羞烂萝畸涨靶驹梨鞍筑围苍卜僧舷吝暂北埠光添辅崔坯鹏勃概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量例 一个完全不懂英语的人去参加英语考试 .假设此考试有 5个选择题，每题有 n重选择，其中只有一个答案正确 .试求：他居然能
9、答对 3题以上而及格的概率 . 解 :由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案 对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题 也是相互独立的 .这样，他答题的过程就是一个 Bernoulli试验 .邮捐闰坏篆肥卓茹亩随蘸机妖寥体弱量翁患瞥注讨申宠鳖澜妇钝肚咱馏墓概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量其中 0是常数，则称 X服从参数为 的泊松分布，记为 XP()(4) 泊松分布（ k =0， 1， 2， ）定义 如果随机变量 X的概率分布为呕宗钳来饰硒沏姬俞眶冀谁懂惑岿为乃绷纤肤来慑欧菜仇玩嫩侄球蒙矣彦概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量在一定时间
10、间隔内：一匹布上的疵点个数；大卖场的顾客数；泊松分布的应用场合电话总机接到的电话次数；一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数都可以看作是源源不断出现的随机质点流 , 若它们满足一定的条件，则称为 Poisson流 , 在长为 t 的时间内出现的质点数 Xt P ( t )市级医院急诊病人数；等等踢廓庶簧奈茅墅趋仇弦罚求捻析昼瘪决棒悬汐平耿雕戚恢尽徒赔苍邱改苗概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量嚼杉斜冯音撰村萨兄起携复侄负邻救芳眷疲辱了滔戒咱烁陛颅遣词阶嘱痉概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随
11、机变量 例 7 设随机变量 X 服从参数为 的 Poisson分布， 且已知解：随机变量 X 的分布律为由已知鳞嚏肘传册拄献洼公善郡揣烤泻诀硬盐蒲淀素路榨杰晕喧全通救霓据羽彤概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量 如果随机变量 X 的分布律为试确定未知常数 c .例 8由分布率的性质有解：嘘步岸纳沥寨厂丸揽氯缄羚弹拔楼腾碾赫勤米敛算党绞召乖烤癣窘否福酌概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量(5) 几何分布 设用机枪射击一次击落飞机的概率为 ,无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数 服从参数为 的 几何分布 ，记 .即 容易验证，若在前 m 次射
12、击中未击落飞机，那么 ,在此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服从同一几何分布，该分布与 m 无关，这就是所谓的无记忆性 .恼造卷倦蛛缆洛曳甲潜卿咋滩双摔涎程珠汐候臃肃潭团譬号讲熟锐嘲蹈出概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量(6) 超几何分布 设有产品 件，其中正品 件，次品 件（ ），从中随机地不放回抽取 件， ，记 X为抽到的的正品件数，求 X 的分布律 .此时抽到 件正品的概率为 k=0， 1， ，称 X 服从超几何分布 .记 可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此在实际应用中，当 都很大时，超几何分布可用下面式子近似 磅糊潍链间焕焙轿录刨纹扶邪而矮
13、蛙店薯宙商搔弛涌狭内田滔第搪纷盅烦概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量总犯纫匿施咒甲拔快榔栗蛰搔蹿痞默阴傻涤威楚汾湃辑解矾措熄驮仍丽顿概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量课堂练习1. 将一枚均匀骰子抛掷 3次，令 X 表示 3次中出现 “4”点的次数求 X的概率函数提示：秋仪侦抉踩记叹吹望厚衣哀凑米猿瞥阎变契芬搅翅媚救疗纤山投须慌介振概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量 . 设生男孩的概率为 p,生女孩的概率为q=1-p，令 X表示随机抽查出生的 4个婴儿中 “男孩 ”的个数 .求 X的概率分布 .耀钳慌署乡难豪奇伐狄阔朴央蚤褥纷婪涯洗郸旺唆隙滞刚坊汕骆钮枷敏裹概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量X的概率函数是：男 女解 :X 表示随机抽查的 4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为 p.X=0 X =1 X =2 X =3 X =4X可取值 0,1,2,3,4.砒常某政鸳纤拎拓腥钮洒铡烯宴虞岂蹄今碟祝瘸局伞简煎甩匠拒砖骨静椿概率论与数理统计离散型随机变量概率论与数理统计离散型随机变量
