1、第 6 章 扭 转本章要点 理解扭转的概念和实例 掌握外力偶矩的计算，扭矩、扭矩图 圆轴扭转时的应力和变形 扭转的强度计算和刚度计算6.1 扭转的概念1. 扭转工程实例汽车方向盘轴、传动轴等，如图 6-1 所示。图 6-1 扭转实例2扭转受力特点杆件发生扭转变形的受力特点是：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。图 6-2 所示的就是杆件受扭的最简单情况。3扭转变形特点当杆件发生扭转变形时，任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移，称为该两个横截面的扭转角，用 表示。图 6-2 中的 表示杆件右端的 B 截面相对于左端 A 截面的扭转角。图 6-2
2、 扭转变形6.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图6.2.1 外力偶矩的计算已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩为：（6-1）954PMn式中：M外力偶矩（Nm） ， P轴所传递的功率（kW） ，n轴的转速（r/min） 。如果轴所传递的功率单位为马力（1 马力=735.5W） ，则可按下式计算外力偶矩：（6-2）702式中：M外力偶矩（Nm） ， P轴所传递的功率（马力） ，n轴的转速（r/min） 。主动轮的输入功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相同； 从动轮的输出功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相反。6.2.2 扭矩和扭矩图1.内力偶矩杆件受扭时横截面上的内力是作用在该截面上的力偶，该力偶
3、之矩称扭矩，用符号 T 表示。2.扭矩的计算方法截面法用截面 m-m 将轴分成两部分，按右手螺旋法则把 M，T 表示为矢量，如图 6-3 所示，列出左部分平衡方程 M x=0，得到T=M对于杆件一侧作用多个外力偶矩情况，任一截面的内力偶矩等于其一侧所有外力偶矩的代数和：T=Mi 扭矩的正负号用右手螺旋法则确定：用右手四指弯向表示扭矩的转向，大拇指的指向离开截面时，扭矩规定为正，反之为负。如图 6-4 所示。图 6-3 截面法图 6-4 右手螺旋法则3.扭矩图表示杆件各横截面上的扭矩沿杆轴的变化规律，反应出T max 值及其截面位置，从而进行强度计算（危险截面） 。该图一般以杆件轴线为横轴表示横
4、截面位置，纵轴表示扭矩大小，如图6-5 所示。【例 6-1】：如图 6-6 所示，主动轮 A 输入功率 PA=50kW，从动轮输出功率PD=20kW ，P B=PC=15kW，n=300r/min ，试作扭矩图。解：（1）外力偶矩的大小： 50954912Nm3AAM47637NmBCD（2）求轴上各段的扭矩：Mx=0，T 1+MB=0 T1=- MB=-477 Nm；T2- MA +MB=0T2=1115 Nm；T3- MD =0T3= MD =637 Nm。主动轮与从动轮布置合理性的讨论主动轮一般应放在两个从动轮的中间，这样会使整个轴的扭矩图分布比较均匀。这与主动轮放在从动轮的一边相比，整
5、个轴的最大扭矩值会降低。图 6-7 主动轮与从动轮布置合理性如图 6-7 左图 a：T max=50Nm，右图 b：T max=25Nm，二者比较图 安置合理。b图 6-5 扭矩图图 6-6 作扭矩图6.3 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时，在已知横截面上的扭矩后，还应进一步研究横截面上的应力分布规律，以便求出最大应力。解决这一问题，要从三方面考虑。首先，由杆件的变形找出应变的变化规律，也就是研究圆轴扭转的变形几何关系。其次，由应变规律找出应力的分布规律，也就是建立应力和应变间的物理关系。最后，根据扭矩和应力之间的静力关系，求出应力的计算公式：（6-3）pTI式中： 横截面上任意一点的切应
6、力，T 横截面上的扭矩，I p截面对圆心 O 的极惯性矩， 所求应力点到圆心的距离。由以上公式，可以计算横截面上距圆心为 的任意点处的剪应力。由公式（6-3）可以看出，当横截面一定时，I p 为常量，所以切应力的大小与所求点到圆心的距离成正比，即呈线性分布。切应力的方向与横截面扭矩的转向一致，切应力的作用线与半径垂直。切应力在横截面上的分布规律，如图 6-8 所示。图 6-8 切应力在横截面上的分布规律显然，在圆截面的边缘上， 到达最大值 R，这时得到剪应力的最大值：（6-4）maxpTI把上式写成： maxnpMIR并引用记号：（6-5）npWIWn 称为抗扭截面模量，于是有：（6-6）ma
7、xnT在实心圆轴的情况下：（6-7）423023RpA DIdd式中 D 为圆截面的直径。由此求出：（6-8）316pnIWR在空心圆轴的情况下：（6-9）42342 132DdpA DI d（6-10）3441616pnIWR式中 =d/D，D 和 d 分别为空心圆截面的外径和内径， R 为外半径。强度条件：（6-11）max直轴时，可以写成：（6-12）axnTW式中：T max横截面上的最大扭矩。在静载荷的情况下，扭转许用剪应力 与许用拉应力 之间有如下的关系：钢： =(0.50.6) 铸铁： =(0.81) 【例 6-2】：汽车传动轴如图 6-9a 所示，外径 D=90mm，壁厚 t=
8、2.5mm，材料为 45 钢。使用时的最大扭矩为 T=1.5kNm。如材料的 =60MN/m2，试校核轴的扭转强度。图 6-9 校核轴的扭转强度解：计算抗截面模量： 902.594dD334439011.290m66nDW轴的最大剪应力为： 622max950N/5M/2401nT 所以传动轴满足强度条件。【例 6-3】：如把上例中的传动轴改为空心轴，如图 6-9 所示，要求它与原来的空心b轴强度相同。试确定其直径 d，并比较实心轴和空心轴的重量。解：因为要求与空心轴的强度相同，故实心轴的最大剪应力也为 51MN/m2。即：62max3150N/m6nTWd3.1510实心轴横截面面积是： 2
9、2421m4dA空心轴横截面面积为： 2242290856.710D在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。而： 216.7.3A可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的 31%，其减轻重量节约材料是非常明显的。这因为横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布，圆心附近的应力很小，如图6-8 所示，材料没有充分发挥作用。若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大 Ip 和 Wn，提高轴的强度。6.4 圆轴扭转时的变形和刚度条件扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的相对转角，亦即扭转角。其计算公式为：（6-13） pTlGI式中 GIp 称为圆杆的抗扭强度；
10、G 为比例常数，材料的切变模量，单位 GPa； 一般就称为长为 l 的等直圆杆的扭转角。若在两截面之间的 T 值发生变化，或者轴为阶梯轴，I p 并非常量，则应分段计算各段的扭转角，然后相加，得到：（6-14）1niipTlGI今后用 表示变化率， 为相距 1 单位的两截面之间的相对转角，称为单位长度扭转角。其单位为弧度/米，记为 rad/m。若圆轴的截面不变，且只在两端作用外力偶矩，则有：（6-15）pTlI扭转的刚度条件为：（6-16）maxrd/pGI工程上， 的单位习惯上度 /米，记为 /m。把上式中的弧度换算成度，得（6-17）max180/pTI精密机器的轴： =(0.250.50
11、)/m 一般传动轴： =(0.51)/m 精度要求不高的轴： =(12.5)/m 【例 6-4】：阶梯形圆轴直径分别为 d1=40mm，d 2=70mm，轴上装有三个皮带轮，如图6-10 a 所示。已知由轮 3 输入的功率为 P3=30kW，轮 1 输出的功率为 P1=13kW,，轴作匀速转动，转速 n=200r/min，材料的许用剪应力 =60MPa，G=80GPa，许用扭转角 =2/m。试校核轴的强度和刚度。图 6-10 校核轴的强度和刚度解：计算外力偶矩的大小：11 39549620.7NmPMn22 8133 43.0轴上各段的扭矩大小：AC、CD 段： ， 段：162.7NmTDB2
12、1.4NmT作阶梯轴的扭矩图，如图 6-10 b 所示。强度校核：AC 段的最大切应力： 1max3620.749.MPa60PaACnAW AC 段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。CD 段的扭矩与 AC 段的相同，但其直径比 AC 段的大，所以 CD 段也满足强度要求。DB 段的最大切应力： 2max314.2.Pa60Pa076DBnBT 故 DB 段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。刚度校核：AC 段的最大单位长度扭转角： 1max 49620.7180.7/m2/83ACpTGI AC 段的最大单位长度扭转角小于许用单位长度扭转角，满足刚度要求。DB 段的最大
13、单位长度扭转角： 2max 4912.180.3/2/7803DBpTGI DB 段的最大单位长度扭转角小于许用单位长度扭转角，满足刚度要求。6.5 习题6-1 试求题 6-1 图所示各轴在指定横截面 1-1、2-2 和 3-3 上转矩。题 6-1 图6-2 试绘出题 6-2 图示各轴的转矩图。题 6-2 图6-3 题 6-3 图所示圆轴，直径d=100mm，l=500mm，M 1=7000Nm，M 2=5000Nm，G=8 104MPa。题 6-3 图 题 6-4 图作扭矩图；求轴上的最大剪应力，并指出其位置；求截面 相对于截面 的扭转角 。CACA6-4 如题 6-4 图所示，传动轴的直径
14、 d=40mm，许用剪应力 =60MPa，许用单位长度扭转角 =0.5/m，轴材料的切变模量 G=80GPa，功率 P 由 B 轮输入，A 轮输出 2P/3，C 轮输出 P/3，传动轴转速 n=500r/min。试计算轮输入的许可功率 P。6-5 如题 6-5 图所示传动机构中， AB 轴的转速 n=120r/min，从 B 轮输入功率 N=60马力，功率的一半通过锥形齿轮给垂直轴 C，另一半由水平轴 H 输出。已知D1=600mm，D 2=240mm，d 1=100mm，d 2=80mm，d 3=60mm， =20MPa。试对各轴进行强度校核。题 6-5 图 题 6-6 图6-6 题 6-6
15、 图所示圆轴的 AC 段为实心圆截面，CB 段为空心圆截面，外径 D=30mm，空心段内径 d=20mm、外力偶矩 T=200Nm，试计算 AC 段和 CB 段横截面外边缘的剪应力，以及 CB 段内边缘处的剪应力。6-7 齿轮轴上有四个齿轮见题 6-7 图，已算出各轮所受外力偶矩为TA=52Nm、T B=120Nm、T C=40Nm、T D=28Nm。已知各段轴的直径分别为、d AB=15mm、 dBC=20mm、d CD=12mm。作该轴的扭矩图；求 1-1、2-2、3-3 截面上的最大剪应力。题 6-7 图6-8 发电量为 15000kW 的水轮机主轴如题 6-8 图所示。 D=550mm，d=300mm ，正常转速 n=250r/min。材料的许用剪应力 =50MPa。试校核水轮机主轴的强度。题 6-8 图 题 6-9 图6-9 如题 6-9 图所示的传动轴的转速为 n=500r/min，主动轮 1 输入功率 N1=500 马力，从动轮 2、3 分别输出功率 N2=200 马力，N 3=300 马力。已知 =70MPa， =1/m， G=80Gpa。试确定 AB 段的直径 d1 和 BC 段的直径 d2。若 AB 和 BC 两段选用同一直径，试确定直径 d。主动轮和从动轮应如何安排才比较合理？
