1、电话:03958853955 手机:13721338049(上课期间无法接听)QQ:343490668 邮箱:综合法与不等式的证明河南省临颍县南街村高中 赵先举 462600综合法证明不等式是证明不等式最常用的方法之一,它主要使用不等式的基本性质及不等式的变形证明不等式的一种方法.其证明过程是:由已知条件结合不等式的性质进行变形逐步推出要证不等式即 也就是“由因导果,顺藤摸瓜”的思路.其解决的12AB主要题型可以分为以下几种,下面结合具体例子加以说明.一、运用不等式的基本性质证明不等式不等式的基本性质反映了不等式在变形过程中的规律,它可以把不等式进行变形或者化简,对于证明一些简单的不等式也有很
2、重要的作用.例 1.已知 ,求证: .0cababc分析:要证不等式是一个分式不等式可以使用不等式的基本性质先证逐步变形即可.证明:因为 ,所以 , ,故 ,而 ,所以, 1cab0.即原不等式得证.abc点评:这类不等式的证明实际上就是根据不等式的性质把基本不等式进行变形.这类问题常用到整式与倒数的关系: 且 .这是把整式向分式转化的基础.ab01ab二、利用“均值不等式”及变形证明不等式我们知道,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这一结论通常叫做“均值不等式”,它有很多变形,在很多不等式的证明中都可以得到应用.例 2.设 是正实数, 且 .求证: .ab,xyR1ab22()ax
3、byx分析:题设条件中的 可以作为一个因式乘到不等式的左边,再展开进行变形,进而利用不等式的性质即可证明.证明: 22()(xyxy222()xy因为 ,且 是正实数,ab所以, = .故原不等式得证.222()axy22xaby2()axby点评:其实,很多时候用的不一定是 “均值不等式”,而是它的变形,这些变形常用的有:, , 等.在实际问题中要对这些公式进行合2b2ba1()4ab理的选择.例 3.已知 ,求证: .,ac(0.)33cc分析:这里要证的不等式的左边是分式的形式,而右边是整式,直接使用均值不等式( 或变形)又不具备条件,于是考虑先把不等式进行变形 .因为 ,所以,原不等式
4、可以,abc(0.)变形为 .44222abcabca证明:因为 ,把三式相加,两边再除以 2 可得:42cac.又 ,三式相加,再除以4422abb2224222abcabc2 可得 .22222cacabc于是可得 ,两边同时除以 即可得: 44babc.33acacb点评:本题其实是反复使用 进行放缩.这类问题的特点是,两边所有字母的次数2ba加在一起后次数相同,例如本题是 4 次,它们都可以看成 的2222abcabca变形.三、利用均值不等式证明不等式的小技巧不等式问题中判断取等号的条件往往是解决问题的关键.而有一类不等式问题,我们把它的条件和结论中的字母随意进行调换位置后整个问题不
5、发生任何变化.例如,已知 ,aR,且 ,求证: .若把问题中的 , 进行调换后,条件和结论仍然不变.bR1ab14aab我们把满足这种条件的问题叫做“轮换对称问题”.掌握这类不等式问题的特点,可以更加灵活地寻找证明不等式的方法.例 4. 已知 , , 且 ,求证: .00c1bc61613c分析:这道题可能会使我们有点无从下手的感觉.但是,它仍然属于“轮换对称问题”,那么我们可以猜测,当 时,不等式取等号.此时, .证13abab明: 613613613622cc.即 ,()29c(1)9abc故 .3abc点评:本题根据“轮换对称问题 ”的特点,把数值具体化,巧妙地配上 是解决问题地突破3口.实际上,很多“轮换对称问题”给出的不等式都是在所给字母相等时成立等号,利用这一性质还可以迅速地求解一些代数式的最值,特别是对一些选择题非常有效.总之,均值不等式是证明不等式的一种重要方法,在使用时既要合理使用不等式中的一些结论,还要不断总结一些小技巧,使得证明过程更加简洁.
