1、41 不定积分的概念与性质14 4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具有如下形式的函数: mmnnbxxbaaxQP110)(其中 m 和 n 都是非负整数a 0 a1 a2 an及 b0 b1 b2 bm都是实数 并且 a00 b00 当nm 时 称这有理函数是真分式 而当 nm 时 称这有理函数是假分式 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如 1)(12223 xxx真分式的不定积分 求真分式的不定积分时 如果分母可因式分解 则先因式分解 然后化成部分分式再积分 例 1 求 dx6532解 xdx)3(2d
2、x)256(6ln|x3|5ln|x2|C 提示 )3(2)(3)(2xBABxAxAB1 3A2B3 A6 B5 分母是二次质因式的真分式的不定积分 例 2 求 dx解 x3dx)32121(x22)(13)(1xd Cxarctn2ln2提示 31313)(12222 xxxx例 3 求 d)(41 不定积分的概念与性质2解 dxxdx)1(1)( 22Cx1|ln|提示 222 )1()1()( xxx 1二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算 由于各种三角函数都可以用 sin x 及 co
3、s x 的有理式表示 故三角函数有理式也就是 sin x 、cos x 的有理式 用于三角函数有理式积分的变换:把 sin x、 cos x 表成 的函数 然后作变换 2tan2tanxu 2221tansectosi2inx 2221sectincosuxx变换后原积分变成了有理函数的积分 例 4 求 dx)cos1(in解 令 则 x2arctan u 2tau2iu21cosudux21于是 dx)cos1(in)1(22ud)2( Cu|ln( Cxx|tan|l1ttan42解 令 则 2tanxu41 不定积分的概念与性质3duudx221)(1)cos1(inCu|)l2( xx
4、|2tan|ttan41说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如 Cxxdx)sin1l()si(i1sico三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去例 5 求 dx1解 设 即 则u12duudx 122C)arctn()1( xxarct2例 6 求 31d解 设 即 则ux223xdudud 1123Cu|)ln(3)( xx|2|223例 7 求 xd)1(解 设 xt 6 于是 dx 6t 5d t 从而41 不定积分的概念与性质4dttxd 2325316)1()1( Cttdt)arcn(6)1(2 Cx)arctn例 8 求 dx解 设 即 于是t112tddx)(tt1212Ct|lnxx1l2练习1 求 xdcos2解 作变换 则有 tandtx2121costxxdcos221tdt233)(32dt Ct3arnCx)tanrc(2 求 dx45cosi解 inxdcossin4xdcoscs)1(42)21( Cxx3cos1cos3 求 dx2341 不定积分的概念与性质5解 dxx231dx)1(23dx)427(747ln|x2|4ln|x1|C
